защита 1-5

1. Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — это метод позволяющий найти наибольший общий делитель двух целых чисел

1. Для двух чисел a и b (где a ≥ b) вычисляется остаток от деления a на b: a = b * q₀ + r₁, где q₀ — частное, а r₁ — остаток.

2. Затем число b заменяется на r₁, и процесс повторяется: b = r₁ * q₁ + r₂.

3. Этот процесс продолжается до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. Последний ненулевой остаток и будет НОД.

Пример:

Найдем НОД чисел 1071 и 462:

• 1071 = 462 * 2 + 147

• 462 = 147 * 3 + 21

• 147 = 21 * 7 + 0

Поскольку остаток стал равным нулю, последний ненулевой остаток (21) и есть НОД чисел 1071 и 462

2. Расширенный алгоритм Евклида 3. Коэффициенты безу

Расширенный алгоритм Евклида — это модификация стандартного алгоритма Евклида, позволяющая не только находить наибольший общий делитель (НОД), но дополнительно найти коэффициенты безу

Общий вид:

a = b*q0+r1 r1 = a-q0b

b = r1*q1+r2 r2 = b-r1*q1=b-(a-q0b)*q1

r1 = r2*q2+r3 r3 = r1-r2*q2=a-q0b-((a-q0b)*q1)=a-q0b-aq1+(q0+q1)*b

4. Аддитивная инверсия

Противоположным к числу a по модулю n называется такое число b, что: a+b = 0 mod n. b записывают в виде положительного числа.

5. Мультипликативная инверсия (через расширенный алгорим Эвклида)

Если НОД(a,b)=1, то существуют целые числа α и β, для которых верно равенство α·a+β·b = 1 (соотношение Безу). Данные числа (α и β) могут быть найдены по расширенному алгоритму Эвклида (см. предыдущую лабораторную работу).

Рассматривая соотношение α·a+β·b = 1, приведем его по модулю b: (α·a) mod b +(β·b) mod b= 1 => α·a= 1 mod b, т.е. коэффициент α и есть мультипликативная инверсия (обратный элемент).

Пример. Найдите обратный элемент a^-1 для a=17 по модулю 91.

1. Проверяем, что НОД(17,91)=1, значит обратный элемент существует.

2. Находим соотношение Безу для чисел a=17 и b=91. =>  91·3+17· (-16)=1, получаем: 17⋅ (−16)=1mod91. Ответ: a^-1=-16=75 mod 91.

3. Проверка 75*17 mod 91= 1.

6. Мультипликативная инверсия (через теорему Эйлера)

Теорема Эйлера. Для любого модуля «m» и целого числа «a», взаимно простого с «m», справедливо сравнение a^φ(m) ≡ 1mod m. Следствие: (a^-1∙a^φ(m) )≡ a^-1mod m или a^-1 ≡ a^φ(m)-1 mod m для взаимнопростых «a» и «m», где φ(m) – функция Эйлера от m.

Пример. Найдите обратный элемент a^-1 для a=3 по модулю 13.

1. Проверяем, что НОД(3,13)=1, значит обратный элемент существует.

2. Находим φ(13)=12 (так как 13 простое число, а для простого p: φ(p)=p-1) Вычисляем a^φ(m)-1 = 3^φ(13)-1=3¹¹=9 mod 13. Ответ: a^-1=9 mod 13.

3. Проверка 3*9 = 27 =1 mod 13.

7. Операции по модулю

9. Вычет. Классы вычетов

10. Каноническое представление числа

11. Функция Эйлера (определение) вычисление из определения

Функция Эйлера — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших или равных n и взаимно простых с ним.

12. Теорема Эйлера

13. теорема Ферма (малая)

14. Представление отношения натуральных чисел в виде цепной дроби