Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электродинамика высокочастотных разрядов емкостного типа. Учебное пособие
.pdf
Глава 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО
21
ФАКЕЛЬНОГО РАЗРЯДА
В данной главе на основе модели факельного разряда в виде однородного проводящего цилиндра проведен анализ джоулевых потерь,
возникающих в результате диссипации различных типов электромагнитных волн, способных распространяться в плазме разряда. Показано,
что в широком диапазоне частот и мощностей, вкладываемых в разряд,
доминирующей электромагнитной волной является ТМ «основная волна». Проведен ан
плазме ВЧ факельного разряда с учетом неоднородности радиального
профиля удельной электропроводности плазмы разряда. Получено выражение для волнового числа электромагнитной волны, распространяющейся вдоль канала разряда. Проведен сравнительный анализ коэффициента затухания для случаев однородного и неоднородного разрядного канала. Показано, что использование кана
димостью в качестве модели факельного разряда в ранее опубликованных работах приводило к существенным ошибкам при определении характеристик разряда.
Приведены результаты измерений амплитудно-фазовых характеристик электромагнитного поля факельного разряда в ближней зоне его излучения. Показано, что интенсивность поля мало меняется в пределах зоны каналирования разряд
публикаций [5, 7, 14–17, 19–22, 26–29, 40–42, 56, 61, 62, 64, 76, 79, 89–91].
ализ распределения компонент поля и их затухания в
ла с однородной прово-
а. Глава изложена в основном по материалам
2.1. Электромагнитные волны, распространяющиеся в высокочастотном
факельном разряде
Определение типа доминирующей в разряде электромагнитной волны является принципиально важным вопросом при теоретическом описании ВЧФР. Отметим, прежде всего, тот факт, что в качестве доминирующей электромагнитной волны мы должны, по-видимому, рассматривать
леб
такой тип электромагнитных ко
осуществляется процесс горения разряда. В связи с тем, что в ВЧФР диссипация электромагнитной энергии носит столкновительный характер
[41], доминирующую электромагнитную волну мы можем определить по
наибольшим джоулевым потерям, вызываемым ею в плазме разряда.
Проведем анализ джоулевых потерь, возникающих в результате диссипации или иного типа электромагнитной во
няться в ВЧФР. При этом будем рассматривать канал ВЧФР (рис. 2.1)
аний, за счет диссипации которых
лны, способной распростра-
в виде неидеального цилиндра бесконечной длины с однородной прово-
22
димостью, как в осевом, так и в радиальном направлениях. Отметим, что в
зоне диффузионной оболочки ВЧФР диссипация электромагнитной энергии несущественная [11], что в свою очередь позволяет исключить ее из
дальнейшего анализа. На рис. 2.1 показаны осевая H
и аксиальная H со-
z
ставляющие магнитного поля разряда. Одновитковая рамка, присоединенная к осциллографу, позволяет оценивать магнитное поле разряда.
H
z
H
3
z
H
φ
2
4
H
H
φ
1
Рис. 2.1. Диаграмма пространственного распределения компонент
электромагнитного поля:
1 – электрод; 2 – канал; 3 – диффузная оболочка;
4 – рамка
В плазме ВЧФР с постоянной либо слабо меняющейся в осевом
направлении комплексной диэлектрической проницаемостью могут возбуждаться симметричные поперечно-электрические (ТЕ) и поперечномагнитные (ТМ) волны, а также несимметричные волны, являющиеся
гибридными (рис. 2.2). Так как в большинстве случаев электродом ВЧФР
служит цилиндрический стержень из хорошо проводящего материала, по
которому может распространяться только ТМ-вол
на симметричного типа, мы будем в дальнейшем рассматривать только случай симметричного
возбуждения разряда. Среди всех ТМ-волн симметричного типа выделим
так называемую «основную» ТМ-волну, которая характеризуется
наименьшим коэффициентом затухания. Остальные ТМ-волны быстро
затухают при распространении вдоль канала разряда и называются «побочными» [83]. Итак, определим мощность джоулевых потерь в ВЧФР,
приходящуюся на ка
ждый вышеуказанный тип электромагнитной волны.
Рассмотрим три следующих варианта [19]:
A
23
1. ТМ «основная» волна. Компоненты напряженности E
и Ez
r
электрического поля ТМ «основной» волны [83] запишутся следующим
образом:
где J
и J
0
jhA
EJrKhe
r
1
– соответственно функция Бесселя нулевого порядка и ее
0
22
Kh
1
EAJrKhe
, (2.2)
z
01
01
первая производная; j – комплексная единица; K
22
22
jt jhz
jt jhz
; (2.1)
– постоянная распро-
1
странения электромагнитной волны в проводящей среде; h – волновое
число ТМ «основной» волны; r – радиальная координата; z – осевая координата; A – коэффициент, зависящий от свойств источника электро-
магнитного поля; – угловая частота.
Учитывая, что в нашем случае аргумент бесселевой функции
22
hKr
1
величина малая, имеем:
;
EE
zr
AeE
z
jhztj
. Мощ-
ность W, выделяющуюся в результате диссипации ТМ «основной» волны найдем, следуя работе [11], путем интегрирования джоулевых потерь по всему объему канала разряда:
WEdV
V
2
(2.3)
,
где – проводимость канала ВЧФР; |E| – действующее значение напряженности электрического поля.
Заметим, что в настоящее время не существует достаточно корректных зависимостей, определяющих длину канала ВЧФР. Так, например, определение длины канала разряда, приведенное в работе [11],
находится в противоречии с экспериментальными результатами [72] того же автора. Однако с учетом того, что длина канала разряда, согласно
работе [7
2], не мен
ьше величины |Imh|
–1
, можно, не допуская при этом
какой-либо существенной ошибки, взять в интеграле (2.3) в качестве
верхнего предела интегрирования в осевом направлении бесконечность.
В связи с этим интеграл (2.3) запишется в следующем виде:
1
WAaxdxedz
22
2
00
2Im
hz
2Im
22
a
, (2.4)
h
где x = r/a – отношение радиальной координаты к радиусу канала
ВЧФР; |Imh| – модуль мнимой части волнового числа ТМ «основной»
волны.
2. ТМ «побочные» волны.
H
E
24
При проводимостях, соответствующих температурам, большим
3
, что всегда реализуется в канале ВЧФР, волновое число ТМ «по-
310
бочных» волн определяется [83] из уравнения
122
01
0.JKha
(2.5)
С учетом того, что |K1| |h|, решение уравнения (2.5) даст нам
следующий бесконечный ряд волновых чисел:
i
где
hJ i
H
h
– волновое число ТМ «побочных» волн;
; ( 1,2...)
a
, (2.6)
– корни функции Бес-
i
селя первого порядка.
Компоненты напряженности электрического поля [83] для случая
ТМ «побочных» волн будут иметь вид:
jt jhz
Так как |E|
EAJ xe
ri
EAJ xe
zi
2
= |Er|2 + |Ez|2, то мощность джоулевых потерь WH, при-
1
0
0
H
jt jhz
; (2.7)
H
. (2.8)
ходящаяся на ТМ «побочные» волны, найдется, с учетом выражений
(2.6), (2.7), (2.8), следующим образом:
1
W Aa x J x e J x e dxdz
2
Hii
21
00
ii
00
11
22
ii
zz
aa
. (2.9)
Интегрируя (2.9) с учетом свойства ортогональности бесселевых
функций и суммируя получаемый при этом ряд вида
J
0
i
1
1
2
i
, по-
i
лучаем
232
H
6,7 10
WaA
. (2.10)
3. TE-волны. Волновое число TE-волны [83] определяется анало-
гичным образом, как и в случае ТМ «побочных» волн:
i
hj i
E
; ( 1,2...)
a
. (2.11)
Для единственной компоненты [83] электрического поля имеем:
ja
BJx
i
'
0 i
, (2.12)
где B – коэффициент, зависящий от свойств источника электромагнитного поля; – абсолютная магнитная проницаемость канала ВЧФР.
Мощность джоулевых потерь
A
25
W
, приходящаяся на ТЕ-волны,
E
найдется, с учетом выражений (2.11) и (2.12), следующим образом:
1
WBax Jxedxdz
Ei
2
21
00
Интегрируя (2.13) и суммируя ряд
WaB
E
a
i
1
35 222
1,65 10
0
i
'
J
i
1
1
2
i
z
a
1
2
i
3
i
. (2.13)
, получаем
. (2.14)
Используя полученные зависимости (2.10), (2.14), (2.18), найдем
отношения мощности джоулевых потерь ТЕ-волн и мощности джоулевых потерь ТМ-волн к тепловой мощности, выделяющейся в результате
диссипации ТМ «основной» волны:
W
H
0,134 Im
1
W
WB
E
2
3,3 10 Im
WA
ah
3223
ha
; (2.15)
2
. (2.16)
2
Конкретно для ВЧФР, горящего в свободной атмосфере [11, 72],
при вкладываемых в него мощностях 1…2 кВт мы имеем: |Imh| = 30м
7
= 1,510–3 м;
a
3
610
1
;
0
410
2
8
410Г / м
B
2
; = 108 рад–1. В этом случае
. Для электродов цилиндрической формы
–1
B
A
что
1Ом
1
, а это означает, что
.
WWW
EH
12
и в то же время говорит о том,
С целью проверки отсутствия существенного вклада ТЕ-волн в
энергетический баланс ВЧФР нами был проведен следующий эксперимент. В ближнюю зону электромагнитного излучения разряда вносилась
круглая одновитковая рамка (рис. 2.1). При этом расстояние от оси разряда варьировалось от 50 до 120 мм. Сигнал с рамки по линии с двойной экранировкой подавался на вход осциллографа.
Заметим, что для ТЕ-волн характерно наличие только осевой состав
щей магнитного поля
ляю
сиальной составляющей
H
H
, а для ТМ-волны – наличие только ак-
z
. При вращении же рамки относительно оси,
составляющей прямой угол с осью ВЧФР и одновременно находящейся
в ней в одной плоскости (рис. 2.3), сигнал (величина напряжения), очевидно, будет меняться по закону:
cos sin
HH
z
, как это видно из
рис. 2.2.
;
26
H
z
φ
H
φ
Рис. 2.2. Расположение рамки относительно компонент магнитного поля
Измерения на различных расстояниях от оси разряда показали, что
сигнал по току меняется по закону синуса, а следовательно,
H
-компонента магнитного поля и, соответственно, ТЕ-волна в элек-
z
тромагнитном поле ВЧФР практически отсутствуют. Типичный вид зависимости наводимого на рамке напряжения от угла поворота рамки
показан на рис. 2.3. Смещение кривой относительно оси абсцисс объяс-
няется наводками электрической компоненты поля, появление которой
связано с неидеальностью формы рамки и недостаточной экранировкой
подводящих проводов.
I,
мВ
200
100
0
0
π/2
π
3π/2
2π
φ, рад
Рис. 2.3. Зависимость величины ЭДС рамки от угла её поворота
Итак, насколько это видно из результатов теоретических и экспериментальных исследований, для ВЧФР небольшой мощности при слабом скин-эффекте мы можем записать следующее соотношение:
WWWW
,
0EH
где
W
– полная тепловая мощность ВЧФР [19].
0
Отметим также, что согласно выражениям (2.15) и (2.16) вклад ТМ
27
«побочных» волн в энергетический баланс ВЧФР при увеличении диаметра канала разряда и частоты электромагнитной волны меняется незначительно, в то время как вклад ТЕ-волны быстро растет, и вследствие этого
должен учитываться при рассмотрении мощного факельного разряда.
Таким образом, доминирующей электромагнитной волной, за счет
диссипации которой проходит горение ВЧФР, является ТМ «основная»
волна. Этот вывод подтверждается проведенным нами экспериментом
для ВЧФР при слабом скин-эффекте и остается справедливым для широкого диапазона вкладываемых в разряд мощностей [19].
2.2. Распределение компонент электромагнитного поля и их затухание
в канале высокочастотного факельного разряда
Определив характер доминирующей электромагнитной волны на
основе модели разряда, представляемого в виде однородного пров
одящего цилиндра, перейдем к анализу процесса распространения ТМ «основной» волны вдоль неоднородного по радиусу плазменного цилиндра.
Заметим, что оправданная в случае оценочных расчетов модель однородного цилиндра дает мало информации о разряде, в частности, исходя
из нее невозможно определить зависимость максимальной температуры
разряда от его мо
щности. Очевидно, для того чтобы определить эту зависимость и ответить на другие вопросы, которые ставятся перед теорией разряда, необходимо решать систему уравнений, включающей в себя
уравнения Максвелла, уравнения теплопроводности и газодинамики.
При разработке аналитической модели разряда на основе вышеуказанной системы уравнений неизбежно возникает задача определения радиального распределения компонент электромагнитного поля и их затухания в
неоднородном проводящем цилиндре [20].
Рассмотрим решение данной задачи для ВЧФР при слабом скинэффекте [20]. Следуя работе [6], с целью более общего решения задачи,
возьмем в качестве зависимой переменной не температуру, а тепловой
потенциал . В результате получается следующее уравнение:
2
где
dd
dr r dr
– зависимость удельной электропроводности плазмы от ее теп-
1
2
E
2
0
, (2.17)
лового потенциала; |E| – действующее значение напряженности элек-
трического поля в канале разряда; r – радиальная координата.
Данные экспериментальных измерений и теоретических расчетов
[82] зависимостей удельной электропроводности и коэффициента теп-
лопроводности воздушной плазмы от температуры позволяют считать,
28
что в относительно небольших интервалах температур (порядка нескольких гардусов) взаимосвязь удельной электропроводности с тепловым потенциалом можно представить в виде
c
, (2.18)
be
где b и c – коэффициенты, определяемые при экстраполяции вышеуказанной зависимости методом наименьших квадратов. Конкретно для
воздушной плазмы в интервале (3,5…4,2)10
значения: b = 10
3
Ом–1, c = 6 10
–3
м/Вт.
3
К будем иметь следующие
Решение уравнения (2.17) с учетом зависимости (2.18) по аналогии
с работой [6] имеет следующий вид:
2
r
, (2.19)
2
где
a
8
2
cE
2
1
2
,
– удельная электропроводность воздуха на оси ка-
0
ln 1
0
ca
нала ВЧФР.
Отсюда для центральной зоны разряда получим зависимость, описывающую радиальный профиль удельной электропроводности:
0
2
2
1
x
r
;.
x
(2.20)
a
Из соотношения (2.20) следует, что удельная электропроводность
плазмы разряда при x = 2 в 25 раз меньше
, что соответствует паде-
0
нию температуры примерно на 600…700 К. Таким образом, взаимосвязь
удельной электропроводности с тепловым потенциалом, определяемая
выражением (2.18), и зависимость
от x , определяемая соотношением
(2.20), справедливы только в области x 2.
Заметим также, что в области разряда, где x 2, температура падает
столь сильно, что наряду с нарушением механизма термической ионизации нарушается и условие термодинамического равновесия. Поэтому
для вышеуказанной области мы не можем использовать понятие об единой температуре разряда, к тому же при этом удельная электропроводность становится сущест
венно комплексной величиной, что затрудняет
решение электродинамической задачи.
Однако нетрудно показать, что в периферийных областях разряда
(x 2) происходит диссипация менее 20 % всей тепловой мощности
ВЧФР, следовательно, они не играют существенной роли в энергетическом балансе разряда. Действительно, джоулевы потери, приходящиеся
на единицу длины разряда для области x 2 и для области 0 x ,
x
E
29
определяются [11], применительно к рассматриваемым условиям, следующим образом:
1
z
xdx
2
0
x
1
2
z
0
xdx
0
2
2
x
z
|
22
2
x
2
0
1
Wz EdV Ea e dz
|
02
x
Vz
Wz Ea e dz
00
0
2Im
hz
2
2
0
1
2Im
hz
0
; (2.21)
, (2.22)
где |Imh| – коэффициент затухания электромагнитной волны; z – осевая
координата.
В соотношениях (2.21) и (2.22) учитывается следующее: электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль разряда, является плоской,
неоднородной; действующее значение напряженности электрического
поля |E| в зоне преимущественной диссипации электромагнитной энергии меняется слабо, а на периферии разряда уменьшается, согласно известному из электродинамики условию излучения.
Взяв интегралы в выражениях (2.21) и (2.22) получим, что для любого
участка разряда, имеющего координату z, справедливо соотноше-
ние
|
zW
x
|
zW
00
x
20
1
, что в свою очередь доказывает справедливость
5
вышеприведенного утверждения. Это позволяет (с некоторым приближением) проводить решение задачи без учета профиля удельной электропроводности ВЧФР при
, как показано на рис. 2.4.
2
Перейдем теперь непосредственно к решению электродинамической задачи для ВЧФР в соответствии с этой моделью. Запишем уравнения Максвелла для монохроматического поля [81] с использованием
символического метода:
где
и H – комплексные амплитуды векторов напряженностей соот-
ветственно электрического и магнитного поля;
μ – магнитная проницаемость;
μω 0rotE j H
ω 0rotH j E
; (2.23)
, (2.24)
ω
– угловая частота;
– комплексная диэлектрическая про-
ницаемость.
В цилиндрической системе координат уравнения (2.23) и (2.24), за-
0
, распадутся
писанные с учетом аксиальной симметрии задачи
на две независимые друг от друга системы из трех уравнений для шести
компонент поля, одна из которых соответствует поперечно-
E
E
H
H
j
H
j
30
электрическим, другая – поперечно-магнитным волнам. Учитывая тот
факт, что удельная электропроводность канала ВЧФР достаточно велика и вследствие этого поперечно-электрические волны быстро затухают
при распространении вдоль разряда, в дальнейшем будем рассматривать
только группу уравнений, соответствующую поперечно-магнитным
волнам, которая с учетом уравнений (2.23) и (2.24) будет иметь вид:
H
; (2.25)
jE
z
0
r
HjE
rr
1
EE
где
и
r
– комплексные амплитуды соответственно радиальной и
z
rz
zr
осевой компонент напряженности электрического поля;
H
jH
; (2.26)
0
z
0
, (2.27)
– ком-
плексная амплитуда аксиальной компоненты напряженности магнитного поля; – радиальная координата; z – осевая координата.
Преобразуем систему уравнений (2.25)–(2.27), полагая постоянство
комплексной диэлектрической проницаемости в осевом направлении.
Получим:
22
HHH
22
zrrr rr
111
βωβ0
rH r
11
EH
z
ω
rr
2
; (2.29)
; (2.28)
E
где
r
ddr
.
r
r
ω
, (2.30)
z
Разделяя независимые переменные r и z в уравнении (2.28), приведем его к уравнению в полных производных:
1
111
где
22
kjHyre
ωω;;
00
rrr
22
jhz
– абсолютная диэлектрическая
, (2.31)
0yy r ykh r
проницаемость; h – постоянная разделения (волновое число).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]