Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО.pdf
Сравнивая выражение (47.4) с законом Ома для участка цепи, видим, что
ωC
1
+
2
π
ωtsin
величина
ХС =
(47.5)
играет роль сопротивления участка цепи, и ее называют (реактивным) емкост-
ным сопротивлением. Как видно из (47.5) емкостное сопротивление ХС зависит
от частоты ω. В частности, для постоянного тока (ω = 0) ХС → ∞, а для очень
больших частот (ω → ∞) ХС → 0.
3. Индуктивность L в цепи переменного тока (рисунок 61). Если бы сопротивление катушки индуктивности было равно R, то закон Ома для неоднородного участка цепи записывается так:
UL = IR − E.
На схеме R = 0, а ЭДС самоиндукции равна
E = − LI′.
Тогда
UL = LI′ = L(I0sinωt)′ = I0ωLcosωt = U
0
, (47.6)
где
U0 = I0ωL (47.7)
– амплитудное значение напряжения. Сравнивая выражения (47.1) и (47.6) видим, что колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе
колебаний тока на π/2. Это показано на векторной диаграмме (см. рисунок 59).
Сравнивая выражение (47.7) с законом Ома для участка цепи, видим, что
величина
ХL = ωL (47.8)
играет роль сопротивления участка цепи, и ее называют (реактивным) индук-
тивным сопротивлением. Как видно из (47.8) индуктивное сопротивление
ХL прямо пропорционально частоте ω. Поэтому для постоянного тока (ω = 0) Х
L
= 0, а для очень больших частот (ω → ∞) ХL → ∞.
3. Закон Ома для цепи переменного тока. Рассмотрим цепь переменного
тока, состоящую из последовательно соединенных сопротивления R, емкости С
181
и катушки индуктивности L (см. рисунок 62). В цепи протекает переменный
p
U
−
ωC
1
ωL
2
p
2
R
UU
+
( )
2
2
0
2
0
C
1
LIRI
ω
−ω+
2
2
C
1
LR
ω
−ω+
Рисунок 62
I
∼I(t)
L
C
R
I
U
U
U
0
U
p
U
ток, вызывающий на R, L, C соответствующие падения напряжения UR, UL, UC.
Для получения амплитуды результирующего напряжения на входе цепи
воспользуемся векторной диаграммой напряжений, используя результаты, изложенные ранее. На векторной диаграмме (см. рисунок 62) отложены амплитуды падений напряжений на резисторе UR, катушке индуктивности UL, емкости UC.
ϕ
Складывая UL и UC, получим одно гармоническое колебание, изображае-
мое вектором
Up = UL − UC = I
, имеющим модуль
0
= I0(XL − XC) = I0X, (47.9)
где Х – называют реактивным сопротивлением цепи.
XL и XC − называют реактивными сопротивлениями потому, что в отличие от
активного сопротивления R, на XL и XC не выделяется джоулево тепло, которое,
как известно, Q = I2Rt.
Полное напряжение U0 на входе цепи равно
U0 =
= I0
=
=
= I0 Z, (47.10)
педансом, Up – называют реактивной составляющей напряжения, UR – активной
составляющей напряжения.
входе:
182
где Z – называют полным сопротивлением цепи переменного тока или им-
Складывая Up и UR. получаем гармонические колебания напряжения на
U(t) = U0sin(ωt + ϕ), (47.11)
где ϕ - сдвиг по фазе между напряжением и током (см. (47.1) и (47.11)).
Напряжение U(t) на входе цепи равно ЭДС генератора Е(t).
R
C
1
L
R
X
R
XX
U
UU
U
U
CL
R
CL
R
p
ω
−ω
==
−
=
−
=
Z
R
C
1
LR
R
U
U
2
2
0
R
=
ω
−ω+
=
2
2
0
C
1
LR
U
ω
−ω+
R
U
0
C
1
Lω−ω
LC
1
LC
1
C
L
R
U
0
C
L
R
1
C
L
Из векторной диаграммы (рисунок 62) видно, что
tgϕ =
, (47.12)
и
cosϕ =
. (47.13)
Величину cosϕ при вычислении мощности в цепи переменного тока называют
коэффициентом мощности. Записанные выше уравнения (47.10) и (47.12) выра-
жают закон Ома для цепи переменного тока.
Уравнение (47.10), выражающее закон Ома для цепи переменного тока,
можно выразить как функциональную зависимость силы тока I от частоты ω:
I0(ω) =
. (47.14)
Функция I0(ω) достигает максимального значения, равного
= 0, из которого находим значение частоты ω = ω0 =
, при условии
, соответ-
ствующей максимуму функции I0(ω). При совпадении частот вынужденных (ω)
и собственных (ω0) электромагнитных колебаний, т.е. при ω = ω0, в колебатель-
ном контуре наблюдают явление электрического резонанса. В случае резонанса
напряжения на конденсаторе UC и катушке индуктивности UL противоположны
по фазе и равны по амплитуде:
(UL)
где Q =
= (UC)
рез
= I0ω0L = I
рез
0
L = I
=
0
− добротность колебательного контура.
= U0Q, (47.15)
Поскольку добротность обычных колебательных контуров Q > 1, то согласно
соотношению (47.15) амплитуды напряжений (UL)
и (UC)
рез
больше амплитуды
рез
напряжения U0 на входе цепи в Q раз.
183
Таким образом, при резонансной частоте ω = ω0 амплитуда тока достигает
=
−
=ϕ
0
R
XX
tg
CL
2
1
2
1
максимального значения, а разность фаз между током и напряжением становит-
ся равной нулю
, т.е. контур для переменного тока пред-
ставляет чисто активное сопротивление R. При рассмотренном случае резонанса, который называют резонансом напряжений, напряжения на катушке индуктивности (UL)
и конденсаторе (UC)
рез
, равные по модулю, в Q раз превышают
рез
напряжение U0 на входе цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используют в технике радиосвязи для усиления колебаний напряжения какой-либо
определенной частоты (из многих сигналов различных частот). В радиосхемах
усиленное напряжение обычно снимают с конденсатора или катушки индуктивности.
Так как при резонансе напряжений в колебательном контуре напряжения
(UL)
на индуктивности и (UC)
рез
на емкости в Q раз больше, чем входное
рез
напряжение, то при большой добротности Q колебательного контура может
произойти пробой. Поэтому явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции колебательных контуров.
Когда говорят, что в цепи отсутствует емкость (индуктивность), это нужно
понимать как XC = 0 (XL = 0).
Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное (т.е. в Омах), между ними существует принципиальное различие. Оно заключается в том, что только активное сопротивление определяет необратимые
процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.
§ 9.48 Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
Мгновенная мощность, выделяемая в цепи переменного тока, равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:
P(t) = I(t)⋅U(t), (48.1)
где I(t) = I0cosωt; U(t) = U0cos(ωt + ϕ); ϕ - разность фаз между напряжением
и силой тока.
Используя известное из тригонометрии уравнение
cosα⋅cosβ =
[cos(α + β) + cos(α − β)],
можно представить произведение
cosωt⋅ cos(ωt + ϕ) =
[cos(2ωt + ϕ) + cosϕ].
184
Тогда, соотношение (48.1) для мгновенной мощности запишется в виде
2
1
∫
T
0
dt)t(P
T
1
2
1
( )
ϕ+ϕ+ω
∫ ∫
T
0
T
0
dtcosdtt2cos
T
1
2
1
2
I
0
2
U
0
2
1
P(t) = I(t)⋅U(t) =
I0U0[cos(2ωt + ϕ) + cosϕ]. (48.2)
Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а
ее среднее значение за продолжительное время. Так как мы имеем дело с периодическим процессом, то для нахождения среднего значения мощности Р достаточно вычислить ее среднее значение за период колебаний Т:
P =
=
I0U0⋅
=
I0U0⋅cosϕ. (48.3)
где I0 и U0 – амплитудные значения силы тока и напряжения.
Используя эффективные (действующие) значения силы тока IЭ и напряжения UЭ, равные
IЭ =
, UЭ =
,
имеем выражение для средней мощности:
P =
I0U0⋅cosϕ = IЭUЭ⋅cosϕ, (48.4)
где множитель cosϕ − называют коэффициентом мощности.
Формула (48.4) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного
тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от
сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то
cosϕ = 1 и Р = IЭUЭ.
Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), то cosϕ = 0
и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. В этом случае количество энергии, предаваемое за четверть периода от генератора во внешнюю цепь, в точности равно энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующей четверти периода, и вся энергия колеблется между генератором и внешней цепью.
Зависимость мощности от cosϕ учитывают при проектировании линий
электропередач на переменном токе. Когда нагрузки имеют большое реактивное сопротивление (например, двигатели, имеющие значительную индуктив-
ность), то cosϕ может быть значительно меньше единицы. В этих случаях для
передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока IЭ, что приводит к возрастанию выделения тепла Джоуля-Ленца в линии, или нужно увеличивать сечение проводов, т.е. их вес, что повышает
185
стоимость линий электропередач. Поэтому на практике всегда стремятся распределить нагрузки (лампы, двигатели, печи и т.д.) таким образом, чтобы зна-
чение cosϕ было близко к единице (наименьшее допустимое значение cosϕ для
промышленных установок составляет примерно 0,85). Иногда в электродвигателях (с большим реактивным индуктивным сопротивлением) для увеличения
cosϕ достаточно подключения конденсатора значительной емкости.
Контрольные вопросы
1 Какие токи называют квазистационарными? Сформулируйте два условия
квазистационарности.
2 Запишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в LC − контуре, его решение. Как изменяются со временем ток и
напряжение в LC − контуре? Как изменяются со временем энергии электрического и магнитного полей в LC − контуре?
3 Запишите формулу Томсона.
4 Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в
колебательном контуре?
5 Запишите дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных
колебаний и его решение. Проанализируйте его.
6 По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?
7 Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?
8 Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?
9 При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
10 Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Проведите его анализ.
11 От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний (закон Ома для
цепи переменного тока)? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.
12 Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?
13 Что называется резонансом напряжений? Какова его роль?
14 От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление? Что называется реактивным сопротивлением?
15 Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать с помощью векторных диаграмм.
16 Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного
тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и
конденсатором.
186
17 Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что
называется коэффициентом мощности?
Тесты
1. Период электрических колебаний в контуре Т=10 мкс. При подключении
параллельно конденсатору контура дополнительного конденсатора емкостью
С1=30 нФ период колебаний увеличился в два раза. Определите емкость С первого конденсатора.
А) 15 нФ В) 20 нФ С) 30 нФ Д) 10 нФ Е) 60 нФ
2. После того, как конденсатору колебательного контура был сообщен заряд 1 мкКл, в контуре происходят затухающие электромагнитные колебания.
Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания полностью затухнут? Емкость конденсатора 10 нФ.
А) 7 мкДж В) 5 мкДж С) 5 мДж Д) 50 мкДж Е) 70 мкДж
3. Действующее значение напряжения на конденсаторе в контуре равно
100 В. Определите максимальное значение энергии конденсатора (электрического поля), если электроемкость конденсатора равна 10 пФ.
А) 0,001 мкДж В) 0,01 мкДж С) 0,1 мкДж Д) 1 мкДж Е) 10 мкДж
4. В идеальном колебательном контуре сила тока изменяется по закону
I=0,4⋅cos104t, А. Если в этом контуре индуктивность катушки равна 0,01 Гн, то
емкость конденсатора равна …
А) 10
2
−
мкФ
В) 1 мкФ С) 10 мкФ
Д) 10
1
−
мкФ
Е) 102 мкФ
5. В колебательном контуре максимальное напряжение на конденсаторе
120 В. Определите максимальную силу тока, если индуктивность катушки
5 мГн, а емкость конденсатора 10 мкФ. Считайте, что активное сопротивление
пренебрежимо мало.
А) 5,37 А В) 4,12 А С) 3,42 А Д) 2,13 А Е) 1,08 А
6. В процессе колебаний в идеальном колебательном контуре в момент
9
времени t заряд конденсатора q=4⋅10
ке равна I=3 мА. Период колебаний Т=6,3⋅10
−
Кл, а сила электрического тока в катуш-
6
−
с. Найдите амплитуду колебаний
заряда.
А) 5 нКл В) 6 нКл С) 7 нКл Д) 8 нКл Е) 9 нКл
187
7. Конденсатор емкости С заряжается до напряжения U0 и замыкается на
0
U
LC
LC
U
0
LC
C
L
U
0
L
C
U
0
8
1
6
1
12
1
2
1
4
1
8
1
катушку с индуктивностью L. Чему равна амплитуда I0 силы тока в образовавшемся колебательном контуре? Активным сопротивлением контура пренебрегайте.
С) U
А)
В)
0
Д)
Е)
8. Заряженный конденсатор подключается к идеальной катушке. Какая
доля энергии останется в конденсаторе через
периода свободных колебаний
в контуре?
А)
В)
С)
Д)
Е)
9. Найдите коэффициент мощности cosϕ электрической цепи, если генератор отдает в цепь мощность Р=8 кВт. Амплитуда тока в цепи I0=100 А и амплитуда напряжения на зажимах генератора U0=200 В.
А) 0,4 В) 0,5 С) 0,6 Д) 0,7 Е) 0,8
10. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы электрического тока в катушке индуктивности I0=5 мА, а амплитуда напряжения на
конденсаторе U0=2 В. В момент времени t сила тока в катушке I=3 мА. Найдите напряжение на конденсаторе в этот момент.
А) 1,8 В В) 1,6 В С) 1,4 В Д) 1,2 В Е) 1 В
11. В сеть переменного тока действующим напряжением U=220 В последовательно включены конденсатор емкостью С=2 мкФ, катушка индуктивностью
L=0,51 Гн и активным сопротивлением R=100 Ом. Определите силу тока при
наступлении резонанса.
А) 0,51А В) 1 А С) 2,2 А Д) 44 А Е) 2 А
12. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в
катушке I0=5 мА, а амплитуда колебаний заряда конденсатора равна
q0 =2,5 нКл. В момент времени t заряд конденсатора q=1,5 нКл. Найдите силу
тока в катушке в этот момент.
А) 4 мА В) 3 мА С) 1 мА Д) 2 мА Е) 5 мА
13. Каким выражением определяется амплитуда колебаний силы тока I0 в
последовательной цепи переменного тока с частотой ω при амплитуде колебаний напряжения U0 на катушке индуктивности L?
188
А) U0ωL
ωL
U
0
0
U
ωL
ω
LU
0
L
ωU
0
ωC
U
0
C
ωU
0
ω
CU
0
LC
U
0
L
C
LC
LC
U
0
LC
U
0
C
L
В)
С)
Д)
Е)
14. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин
конденсатора частота колебаний увеличилась в n=2 раза. Определите работу,
совершенную против сил электрического поля.
А) 0,4 мДж В) 0,8 мДж С) 0,1мДж Д) 0,05 мДж Е) 0,6 мДж
15. Каким выражением определяется амплитуда I0 колебаний силы тока в
последовательной цепи переменного тока с частотой ω при амплитуде колеба-
ний напряжения U0 на конденсаторе электроемкостью С?
А)
В)
Д)
Е)
16. Максимальное напряжение в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L=5 мкГн и конденсатора емкостью С=13,4 нФ,
U0=1,2 В. Сопротивление контура ничтожно мало. Определите действующее
значение силы тока в контуре.
А) 33 мА В) 44 мА С) 55 мА Д) 66 мА Е) 77 мА
17. Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения U0 и замкнули на катушку индуктивностью L. Пренебрегая сопротивлением контура, определите
амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре.
С) U0ωC
В) U
А) U
0
0
С)
Д)
Е) U
0
18. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний контура,
если между пластинами воздушного конденсатора, входящего в контур, внести
пластину из диэлектрика (ε=4), толщина которой вдвое меньше расстояния
между пластинами конденсатора?
А) 0,58 В) 0,65 С) 0,72 Д) 0,79 Е) 0,86
19. В электрической цепи переменного тока соединены последовательно
резистор с активным сопротивлением 4 Ом, идеальная катушка с индуктивным
сопротивлением 2 Ом и идеальный конденсатор с емкостным сопротивлением
1 Ом. Какая мощность выделяется в электрической цепи при амплитудном значении силы тока 2 А?
189
А) 10 Вт В) 4 Вт С) 20 Вт Д) 16 Вт Е) 8 Вт
2
2
20. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков
N=100 индуктивностью L=10 мкГн и конденсатор емкостью С=1 нФ. Максимальное напряжение U0 на обкладках конденсатора составляет 100 В. Определите максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку.
А) 1⋅10
3
−
Вб В) 1⋅10
5
−
Вб С) 1⋅10
7
−
Вб Д) 1⋅10
4
−
Вб Е) 1⋅10
−
6
Вб
21. Катушка индуктивностью L=31 мГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины S=20 см2 и расстоянием между ними
d=1 см. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды ε, заполняющей
пространство между пластинами, если амплитуда силы тока I0= 0,2 мА, а ам-
12
плитуда напряжения U0=10 В? Электрическая постоянная ε0=8,85⋅10
−
Ф/м.
А) 3 В) 4 С) 5 Д) 6 Е) 7
22. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=0,2 Гн и
5
конденсатора емкостью С=10
−
Ф. Конденсатор зарядили до напряжения U=2 В,
и он начал разряжаться. Какой будет сила тока в тот момент, когда энергия окажется поровну распределенной между электрическим и магнитным полем?
А) 10 мА
В) 10
мА С) 5
мА
Д) 20 мА Е) 40 мА
23. В колебательном контуре происходят свободные колебания. Зная, что
максимальный заряд конденсатора q0=1 мкКл, а максимальная сила тока
I0=10 А, найдите частоту колебаний этого контура.
А) 0,16 МГц В) 1,6 МГц С) 1,0 МГц Д) 3,14 МГц Е) 0,314 МГц
24. Катушка индуктивностью 30 мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин 0,01 м2 и расстоянием между ними 0,1 мм. Найдите
диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между
пластинами, если контур настроен на частоту 400 кГц. Электрическая постоян-
12
ная 8,85⋅10
−
Ф/м.
А) 3 В) 4 С) 5 Д) 6 Е) 7
25. Концы катушки подключили к источнику переменного напряжения с
частотой ν=50 Гц. Действующие значения напряжения и силы тока в цепи при
этом, соответственно, равны 50 В и 0,2 А. Найдите индуктивность L катушки.
Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
А) 0,2 Гн В) 0,4 Гн С) 0,5 Гн Д) 0,6 Гн Е) 0,8 Гн
26. В электрическом колебательном контуре емкость конденсатора равна
1 мкФ, а индуктивность катушки 1 Гн. Если для свободных незатухающих ко-
190