Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО.pdf
тать большой по сравнению с его диаметром, индуктивность выражается
l
N
2
dt
dФ
( )
LI
dt
d
dt
dI
L
dt
dI
L
формулой:
L = µ
S = µ0n2V, (30.2)
0
где µ0 – магнитная постоянная, N – полное число витков, l – длина соленоида, S – площадь сечения соленоида, n=N/l – число витков на единицу длины, V
= Sl – объем соленоида.
При изменении силы тока в контуре согласно (27.2) возникает ЭДС самоиндукции Ei:
E
= −
i
= −
(30.3)
Если при изменении силы тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигурация контура, отсутствуют ферромагнитные сердечники), то
E
= −
i
(30.4)
.
.
Знак минус показывает, что в соответствии с правилом Ленца электродвижущая
сила самоиндукции направлена таким образом, чтобы препятствовать изменению силы тока. Из (30.4) опять можно определить единицу измерения индуктивности L: 1 Гн – индуктивность такого контура, в котором изменение тока на
1 А за 1 с возбуждает в нем ЭДС самоиндукции 1 В.
В замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС Е, катушку индуктивности и резистор с сопротивлением R, закон Ома имеет вид:
IR = Ei −
(30.5)
Из (30.5) следует, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока
при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Этот эффект тем
заметней, чем больше индуктивность L, и он связан с тем, что дополнительные
токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы
противодействовать изменениям тока в цепи. Причем в цепях, содержащих катушки с большой индуктивностью (электромагниты, электродвигатели, электрогенераторы, трансформаторы), и в которых после размыкания цепи остаются замкнутые контуры, возникают экстратоки размыкания значительной силы.
.
121
Это может привести к образованию электрической дуги между контактами вы-
0
L
L
l
N
2
R2
I
0
π
µ
R2
I0µ
0
В
Н
0
В
Н
0
В
Н
ключателя. Для предотвращения разрушительного действия больших экстратоков в подобных цепях ставят реостаты, с помощью которых перед выключением рубильников значительно увеличивают сопротивления контуров.
Индуктивность любого контура зависит от свойств среды, в которой он находится. Если обозначить L0 – индуктивность контура в вакууме, а L − индуктивность того же контура в однородном веществе, то отношение
= µ (30.6)
называют магнитной проницаемостью вещества. Магнитная проницаемость µ
характеризует магнитные свойства вещества и зависит от рода вещества. Отсюда следует, что индуктивность соленоида с сердечником из вещества с магнит-
ной проницаемостью µ будет равна (см. (30.2)):
L = µL0 = µµ
S = µµ0n2V. (30.7)
0
Поскольку индуктивность контура пропорциональна магнитной проницаемости µ окружающей среды, то и магнитный поток, пронизывающий контур,
также будет пропорционален µ. Следовательно, и магнитная индукция В в среде с магнитной проницаемостью µ будет в µ раз больше, чем в вакууме В0, т.е.
В = µВ0. (30.8)
Тогда выражения для магнитных индукций прямого тока (сравните с
(22.4)) и в центре кругового тока (сравните с (22.5)) в среде с магнитной прони-
цаемостью µ принимают вид:
В = µ
Из выражения
= µ
0
; В = µ
(22.6), связывающего
. (30.9)
и
в вакууме, и (30.8)
получаем для однородной изотропной среды соотношение, связывающее вектор магнитной индукции с напряженностью магнитного поля (см. (34.9)):
= µµ
. (30.10)
0
Используя соотношения (30.1) и (30.7), с учетом того, что полный магнитный поток через соленоид равен Ф = NBS, приходим к выражению для магнитной индукции внутри соленоида:
122
B = µµ
l
N
I
I = µµ0nI. (30.11)
0
§ 6.31 Взаимная индукция
Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2 (рисунок 40), расположенных
достаточно близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток I1, он создает через
контур 2 магнитный поток (линии индукции, создающие этот поток, на рисунке
изображены сплошными линиями) Ф2, пропорциональный току I1:
Ф2 = L21I1. (31.1)
Совершенно так же, если в контуре 2
течет ток I2, он создает магнитный поток Ф
1
через контур 1, причем
Ф1 = L12I2. (31.2)
Коэффициенты пропорциональности
L12 и L21 называют коэффициентами взаим-
1 2
ной индукции или взаимной индуктивностью контуров. Очевидно, взаимная индук-
Рисунок 40
тивность численно равна магнитному потоку сквозь один из контуров, создаваемому единичным током в другом контуре. Коэффициенты L12 и L21 зависят от
формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной
проницаемости окружающей среды. Эти коэффициенты измеряются в тех же
единицах, что и индуктивность L (т.е. в генри).
Соответствующий расчет дает, а опыт подтверждает, что при отсутствии
ферромагнетиков коэффициенты L12 и L21 одинаковы:
L12 = L21. (31.3)
Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято называть теоре-
мой взаимности. Благодаря этой теореме можно не делать различия между L12 и
L21 и просто говорить о взаимной индуктивности двух контуров.
Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при
всяком изменении тока в одном из контуров в другом возникает ЭДС индукции. Это явление называют взаимной индукцией.
Согласно основному закону электромагнитной индукции ЭДС, возникающие в контурах 1 и 2 при изменении силы тока в соседнем контуре, равны, соответственно:
123
E
dt
dФ
1
dt
dI
L
2
12
dt
dФ
2
dt
dI
L
1
21
dt
dI
L
1
1
dt
dI
L
2
12
n
L
12>
0
L
12<
0
= −
1
= −
; E2 = −
= −
. (31.4)
В соотношениях (31.4) предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетиков поблизости нет.
С учетом явления самоиндукции ток в контуре 1 при изменении токов в
обоих контурах определяется по закону Ома как
I1R1 = E1 −
−
, (31.5)
где E1 − сторонняя ЭДС в контуре 1 (помимо индукционных ЭДС), L1 − индуктивность контура 1.
Аналогичное уравнение можно записать и для силы тока I2 в контуре 2.
На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов −
устройств, служащих для преобразования токов и напряжений.
В отличие от индуктивности L, которая, как было сказано, является всегда
положительной величиной, взаимная индуктивность L12 – величина алгебраическая (в
частности, равная нулю). Это связано с тем,
что, например, в (31.1) величины Ф2 и I1 относятся к разным контурам. Из рисунка 40 сразу
видно, что знак магнитного потока Ф2 при данном направлении тока I1 будет зависеть от выбора нормали к поверхности, ограниченной
контуром 2 (или от выбора положительного
а)
Рисунок 41
б)
направления обхода этого контура).
Положительные направления для токов (и ЭДС) в обоих контурах всегда
можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура
однозначно – правилом правого винта – связано направление нормали
к поверхности, ограниченной контуром, т.е. в конечном счете, знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину L12 мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контур оказываются также положительными, т.е. совпадают по знаку
с потоками самоиндукции.
Другими словами L12 > 0, если при положительных токах в обоих контурах
они «подмагничивают» друг друга, в противном случае L12 < 0. В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода конту-
ров, чтобы получить желательный знак величины L12 (рисунок 41).
§ 6.32 Энергия магнитного поля
Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен
магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появ-
124
лением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, яв-
∫
⋅⋅
I
0
dIIL
2
1
2
1
2
1
l
IN
22
2
1
( )
l
NI
2
V
2
В
0
2
µ µ
ляется носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного
поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.
Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным
контуром сцеплен магнитный поток (см. (30.1)) Ф = L⋅I, причем при изменении
тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L⋅dI. Однако для изменения
магнитного потока на величину dФ (см. § 5.25) необходимо совершить работу
dA = I⋅dФ = L⋅I⋅dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна
A =
=
LI2. (32.1)
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром, равна
W =
LI2. (32.2)
Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия
магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.
Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим
частный случай − однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.
Подставив в формулу (32.2) выражение (30.6), получим
W =
µµ
0
S =
µµ
0
S. (32.3)
Так как в случае длинного соленоида магнитная индукция внутри него (см.
(30.10)) равен:
В=µµ0nI, (32.4)
где n=N/l – число витков на единицу длины, V = Sl – объем (см. § 6.30), то выражение (32.3) примет вид
W =
. (32.5)
В (32.3) N – число витков, I – сила тока измеряется в амперах. Поэтому часто
говорят, что произведение NI определяет число ампер-витков соленоида. Соот-
125
ветственно, в (32.4) произведение nI называют числом ампер-витков на едини-
V
W
0
2
2Вµ µ
0
2
2Вµ µ
2
Н
2
0
µ µ
2
ВН
цу длины (метр).
Магнитное поле длинного соленоида однородно и отлично от нуля только
внутри него. Следовательно, энергия (32.5) локализована внутри соленоида и
распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно
найти, разделив W на V:
w =
=
. (32.6)
Так как В = µµ0Н (30.10), то соотношение (32.6) можно представить в виде:
w =
=
=
. (32.7)
Выражение (32.7) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет
вид, аналогичный формуле (15.3) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем
магнитными. Формула (32.7) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (32.7) справедливо только для
сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к
пара- и диамагнетикам (см. главу 7).
Контрольные вопросы
1 В чем заключается явление электромагнитной индукции? Что является
причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре? От
чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?
2 Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
3 Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.
4 Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем
контуре в нем возникает ЭДС индукции? индукционный ток?
5 Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно
движущейся в однородном магнитном поле?
6 Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?
7 Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно
вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
8 Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
9 Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
10 В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции?
11 Какая физическая величина выражается в генри? Дайте определение
генри.
126
12 В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаим-
4
1
π4
1
2
1
π2
1
ной индуктивности двух контуров? От чего они зависят?
13 Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность
энергии электромагнитного поля?
17 Индукция магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля?
18 Какие меры необходимо предпринимать для предотвращения разрушительных последствий при замыкании и размыкании цепей, содержащих катушки с большой индуктивностью (электромагниты, электродвигатели, электрогенераторы, трансформаторы)?
Тесты
1. Катушка длиной L=50 см и диаметром d=5 см содержит N=200 витков.
По катушке течет ток I=1 А. Определите индуктивность катушки. Магнитная
7
постоянная µ0=4π⋅10
−
Гн/м.
А) 177 мкГн В) 187 мкГн С) 197 мкГн Д) 207 мкГн Е) 217 мкГн
2. В магнитном поле, индукция которого равна В, вращается стержень дли-
ной L с постоянной угловой скоростью ω. Ось вращения перпендикулярна
стержню, проходит через его конец и параллельна линиям индукции магнитного поля. ЭДС индукции, возникающая в стержне, равна …
А) BL2ω
В)
BL2ω
С)
BL2ω
Д)
BL2ω
Е)
BL2ω
3. Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причем индуктивности этих катушек L1=0,64 Гн и L2=0,04 Гн. Определите, во сколько раз число
витков первой катушки больше, чем у второй.
А) 4 раза В) 8 раз С) 16 раз Д) 128 раз Е) 256 раз
4. Плоская горизонтальная фигура площадью S=0,1 м2, ограниченная проводящим контуром, имеющим сопротивление R=5 Ом, находится в однородном
магнитном поле. Какой заряд протечет по контуру за большой промежуток времени, пока проекция магнитной индукции на вертикаль равномерно меняется с
В1Z=2 Тл до В2Z=-2 Тл?
А) 0,04 Кл В) 0,06 Кл С) 0,08 Кл Д) 0,1 Кл Е) 0,12Кл
5. Чему равна индуктивность соленоида, если при протекании по виткам
соленоида тока силой 5 А, его пронизывает магнитный поток 0,5 Вб?
127
А) 10 мГн В) 100 мГн С) 1 000 мГн Д) 250 мГн Е) 25 мГн
с
Тл
с
Тл
с
Тл
с
Тл
с
Тл
3
м
Дж
3
м
Дж
3
м
Дж
3
м
Дж
3
м
Дж
6. По длинному соленоиду с немагнитным сердечником (µ=1) сечением
S=5 см2, содержащему N=1 200 витков, течет ток силой I=2 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида В=10 мТл. Определите его индуктивность.
А) 1 мГн В) 2 мГн С) 3 мГн Д) 4 мГн Е) 5 мГн
7. Однородное магнитное поле с индукцией В перпендикулярно к плоскости кольца, изготовленного из медной проволоки. Радиус кольца R=10 см. Диаметр проволоки d=2 мм. С какой скоростью должна изменяться во времени магнитная индукция В, чтобы индукционный ток в кольце равнялся 10 А? Удель-
8
ное сопротивление меди ρ=1,7⋅10
−
Ом⋅м.
А) 1,02
В) 1,08
С) 1,14
Д) 1,20
Е) 1,26
8. Катушка без сердечника длиной l=50 см содержит N=200 витков. По катушке течет ток I=1 А. Определите объемную плотность энергии магнитного
7
поля внутри катушки. Магнитная постоянная µ0=4π⋅10
А) 0,5
В) 0,4
С) 0,3
Д) 0,2
−
Гн/м.
Е) 0,1
9. Энергия магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 1 Вб, равна …
А) 25 Дж В) 5 Дж С) 10 Дж Д) 20 Дж Е) 100 Дж
10. Металлический диск радиусом r=10 см, расположенный перпендикулярно магнитному полю с индукцией В=1 Тл, вращается вокруг оси, проходя-
1
щей через центр, с частотой ν=100 с
−
. Два скользящих контакта (один на оси
диска, другой – на окружности) соединяют диск с реостатом сопротивлением
R=5 Ом. Чему равна тепловая мощность, выделяемая на реостате?
А) 0,5 Вт В) 1 Вт С) 2 Вт Д) 4 Вт Е) 5 Вт
11. В однородном магнитном поле, индукция которого В=50 мТл, вращает-
ся стержень длиной L=1 м с постоянной угловой скоростью ω=20 рад/с. Ось
вращения проходит через конец стержня и параллельно силовым линиям поля.
Найдите ЭДС индукции, возникающую на концах стержня.
А) 4,5 В В) 3,5 В С) 2,5 В Д) 1,5 В Е) 0,5 В
128
12. Медный куб с длиной ребра а=10 см скользит по столу с постоянной
с
АВ
⋅
2
А
сВ
⋅
сВА⋅
А
сВ
⋅
В
сА
⋅
скоростью V=10 м/с, касаясь стола одной из плоских поверхностей. Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль поверхности стола перпендикулярно
вектору скорости куба. Найдите модуль вектора напряженности электрического
поля, возникающего внутри металла, если модуль вектора индукции В=0,2 Тл.
А) 2 000 В/м В) 200 В/м С) 20 В/м Д) 2 В/м Е) 0,2 В/м
13. Определите магнитный поток через площадь поперечного сечения ка-
тушки (без сердечника), имеющей на каждом сантиметре длины n=8 витков. Радиус соленоида r=2 см, а сила тока в нем I=2 А. Магнитная постоянная µ0=4π⋅10
7
−
Гн/м.
А) 1,53 мкВб В) 2,53 мкВб С) 3,53 мкВб Д) 4,53 мкВб Е) 5,53 мкВб
14. Как выражается единица индуктивности в системе СИ через единицы
напряжения, силы тока и времени?
А)
В)
С)
Д)
Е)
15. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения катушки перпендикулярна
оси катушки и направлению магнитного поля. Угловая скорость вращения катушки равна 10 рад/с. Чему равна максимальная ЭДС, возникающая в катушке?
А) 10 В В) 8 В С) 4 В Д) 2 В Е) 1 В
16. Какова индуктивность катушки, если при равномерном увеличении
тока в ней от 1 до 3 Ампер за 0,1 с возникает ЭДС самоиндукции, равная 40 В?
А) 20 Гн В) 0,1 Гн С) 0,2 Гн Д) 1 Гн Е) 2 Гн
17. По двум направляющим параллельным проводникам, расстояние между которыми L=15 см, движется с постоянной скоростью V=0,6 м/с перемычка
перпендикулярно магнитному полю с индукцией В=1 Тл. В замкнутую цепь
включен резистор сопротивлением R=2 Ом. Определите силу индукционного
тока I в цепи.
А) 45 мА В) 50 мА С) 60 мА Д) 75 мА Е) 80 мА
129
18. Если магнитный поток через проводящий контур увеличивается на
0,02 Вб в результате изменения силы тока в контуре с 4 А до 8 А, то индуктивность контура L равна …
А) 1 мГн В) 5 мГн С) 4 мГн Д) 2 мГн Е) 8 мГн
19. Индуктивность соленоида при длине l=1 м и площади поперечного сечения S= 20 см2 равна L=0,4 мГн. Определите силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна
w=0,1 Дж/м3.
А) 0,2 А В) 0,4 А С) 0,5 А Д) 0,8 А Е) 1 А
20. Чему равна индуктивность катушки, если при изменении тока в ней с
12 А до 8 А энергия магнитного поля уменьшается на 2 Дж?
А) 25 мГн В) 40 мГн С) 50 мГн Д) 64 мГн Е) 80 мГн
21. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, имеющей
n=1 000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля за время
τ=100 мс в катушке возникает ЭДС индукции Е = 10 В?
А) 10 мВб В) 5 мВб С) 0,5 мВб Д) 1 мВб Е) 0,1 мВб
22. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к
другу, диаметром d=0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на
картонный цилиндр диаметром D=1,5 см, чтобы получить однослойную катуш-
7
ку индуктивностью L=100 мкГн? Магнитная постоянная µ0=4π⋅10
−
Гн/м.
А) 200 В) 225 С) 250 Д) 275 Е) 300
23. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты
вверху проводником. По этим стержням без трения и нарушения контакта
скользит перемычка длиной L=5 см и массой m=10 г. Вся система находится в
однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл, перпендикулярной плоскости рамки. Установившаяся скорость V=1 м/с. Найдите сопротивление перемычки. Сопротивлением стержней и провода пренебрегайте. Ускорение свободного падения g=10 м/с2.
А) 2,5⋅10
3
−
Ом В) 25⋅10
3
−
Ом С) 5⋅10
3
−
Ом Д) 50⋅10
3
−
Ом Е) 12,5⋅10
3
−
Ом
24. Прямолинейный проводник длиной 20 см перемещают в однородном
магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Проводник, вектор его скорости и вектор
индукции поля взаимно перпендикулярны. С каким ускорением нужно переме-
130