Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО.pdf
В интервале времени от
2
Т
Т
4
3
Т
4
3
Т
4
3
C
q
dt
dI
C
q
L
R
LC
1
до
конденсатор будет снова разряжаться.
При этом в контуре возникает ток, направленный противоположно току в пре-
дыдущей стадии процесса. В момент времени t =
конденсатор полностью
разряжается, т.е. напряжение U между его обкладками становится равным нулю
(соответственно, q = 0 и Е = 0), а ток I0 и индукция В0 магнитного поля достигают максимальных значений. В этот момент вся энергия электрического поля
снова превращается в энергию магнитного поля.
В интервале времени от
до Т возникшая в катушке индуктивности
ЭДС самоиндукции поддерживает убывающий ток и перезаряжает конденсатор, и через промежуток времени, равный периоду колебаний (t = Т), электрическое состояние контура будет таким же, как и в момент t = 0.
После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. При отсутствии энергетических потерь процесс взаимных периодических превращений энергий электрического поля и магнитного поля будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электро-
магнитные колебания. При этом в контуре периодически изменяются (колеб-
лются) заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и
сила тока I, текущего через катушку индуктивности.
Для получения уравнения колебаний заряда q в контуре вначале положим,
что контур обладает активным сопротивлением R. Тогда согласно закону Ома
UR + UC = E,
где UR = IR – напряжение на сопротивлении,
UC =
E = - L
- напряжение на конденсаторе,
= - LIt′ = - Lq′′tt , (I = q′t, It′ = q′′tt),
Е – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке.
Итак,
IR +
= - Lq′′,
откуда, поделив все слагаемые на L, имеем:
q′′ +
q′ +
q = 0. (45.1)
171
Поскольку в колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, то
LC
1
LC
1
0
2ωπ
LC
T
1
LC21π
С
1
C
0
q
C
0
q
рассмотренные электромагнитные колебания представляют собой свободные
колебания. Если сопротивление контура R = 0, то уравнение (45.1) примет вид:
q′′ +
или, обозначая ω0 =
, получим
q = 0. (45.2)
q′′ + ω
2
q = 0. (45.3)
0
Уравнение (45.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных
гармонических колебаний заряда в контуре, которое, как легко проверить
подстановкой, имеет решение:
q(t) = q0cos(ω0t + α), (45.4)
где q0 – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора, ω0 − циклическая частота колебаний (собственная частота контура), α − начальная фаза.
Период свободных колебаний в идеальном контуре (т.е. при R = 0) равен:
Т =
= 2π
. (45.5)
Формула (45.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой
Томсона. Частота колебаний
ν =
=
. (45.6)
В выражении (45.4) значения амплитуды колебаний заряда q0 и начальной фазы
α определяют из начальных условий, т.е. значениями силы тока I(0) и заряда
q(0) (или напряжения U(0) = q(0)/С) в момент времени t = 0.
Напряжение на обкладках конденсатора равно:
UC = U(t) =
где U0 =
− амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе.
q(t) =
cos(ω0t + α) = U0cos(ω0t + α), (45.7)
Сравнивая выражения (45.4) (45.7) убеждаемся, что заряд q(t) и напряжение U(t) колеблются в фазе друг с другом.
Сила тока в колебательном контуре равна:
172
I(t) = I = q′t = − ω
2
π
2
π
2
π
LC
000
t
t
t
U
(t)
q
-qU-U
I0-I
0
sin(ω0t + α) = I0cos(ω0t + α +
0q0
), (45.8)
где I0 = ω0q0, − амплитуда силы тока.
Сопоставляя выражения (45.4) и (45.8) заключаем, что колебания тока
опережает по фазе колебания заряда на
, т.е. когда ток достигает максималь-
ного значения, заряд равен нулю, и наоборот.
Уравнения (45.4), (45.7), (45.8) для α = 0 записываются так:
q(t) = q0cosω0t, UC(t) = U0cosω0t, I(t) = I0cos(ω0t +
),
и графики этих зависимостей q(t), UC(t), I(t) представлены на рисунке 55.
q(t)
Т
Т
I(t)
Т
Рисунок 55
Если в формуле Томсона Т = 2π
индуктивность измерять в генри ([
L] = Гн), емкость в фарадах ([С] = Ф), то период колебаний будет измеряться в
секундах ([Т] = с).
Из закона сохранения энергии следует, что в идеальном контуре (R = 0)
максимальные значения энергии электрического и магнитного полей равны, т.е.
173
2
LI
C2
2
0
2
0
=
q
LC
1
С2
1
C2
2
0
q
C2
2
0
q
2
)t(2cos1
0
α+ω+
4
1
C
2
0
q
2
1
2
1
2
1
2
)t(2cos1
0
α+ω−
4
1
2
LI
C2
2
0
2
0
=
q
2
1
2
1
, (45.9)
откуда с учетом того, что I0 = ω0q0, опять приходим к результату
ω
2
=
0
. (45.10)
Для произвольного момента времени энергии электрического поля и магнитного поля равны, соответственно:
Wэл(t) =
q2(t) =
cos2(ω0t + α) =
=
=
Wм(t) =
(1 + cos(2ω0t + 2α)), (45.11)
LI2(t) =
2
LI
sin2(ω0t + α) =
0
LI
2
0
=
=
2
LI
(1 −cos(2ω0t + 2α)). (45.12)
0
Из уравнений (45.11) и (45.12) следует, что энергии электрического поля и магнитного поля в контуре изменяются с частотой, в два раза превышающей частоту гармонических электрических колебаний (заряда, силы тока, напряжения) в
контуре.
Полная энергия W контура складывается из энергий электрического и магнитного полей и равна максимальному значению энергии электрического или
магнитного поля:
W = Wэл(t) + Wм(t) =
. (45.13)
Полная энергия W остается постоянной, т. е. неизменной со временем.
Уравнения колебаний энергий электрического поля Wэл(t) и магнитного
поля Wм(t), т.е. выражения (45.11) и (45.12), для α=0 с учетом соотношения
(45.13) для полной энергии W принимают вид:
Wэл(t) =
W⋅(1 + cos2ω0t), Wм(t) =
W⋅(1 − cos2ω0t),
и графики этих зависимостей Wэл(t) и Wм(t) представлены на рисунке 56.
174
2
1
Рисунок 57
С
LI+
+
−
−
R
W
W
W
W
0
T T
T
T
t
W
W
0
t
видно из гра-
Рисунок 56
Как
фиков энергии Wэл(t) и Wм(t) совершают гармонические колебания в противо-
фазе по отношению друг другу около равновесного положения
W (W – пол-
ная энергия контура) с частотой в два раза превышающей частоту гармонических колебаний в контуре.
ческое сопротивление катушки, включенной в контур, равно нулю. Создать идеальный колебательный контур на практике не
удается, так как и катушка индуктивности и
соединительные провода имеют отличное
от нуля активное (омическое) сопротивление R (через R обозначим их суммарное сопротивление). Таким образом, в реальном
колебательном контуре (см. рисунок 57) на-
§ 9.46 Свободные затухающие колебания
В § 9.45 мы предполагали, что электри-
175
ряду с процессом перехода энергии электрического поля конденсатора в энер-
L
R
LC
1
L
R
LC
1
βte−
2
2
0
β−ω
2
L2
R
LC
1
−
teβ−
teβ−
гию магнитного поля катушки и обратно происходит выделение тепла ДжоуляЛенца на сопротивлении R. Электромагнитные колебания в реальном контуре
описываются уравнением (45.1):
q′′ +
q′ +
q = 0. (46.1)
Вводя обозначения
= 2β,
= ω
2
, (46.2)
0
перепишем уравнение (46.1)
q′′ + 2βq′ + ω
2
q = 0. (46.3)
0
В уравнении (46.3) величину ω0 называют собственной частотой контура,
β - коэффициентом затухания. Так как в схеме, приведенной на рисунке 57,
внешние переменные ЭДС Е отсутствуют, а R ≠ 0, то уравнение (46.3) описывает свободные затухающие колебания (колебательная система, в которой проис-
ходят затухающие колебания, называется диссипативной). При β < ω0 решение
этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
q(t) = q0
где ω =
q
и α - постоянные, определяемые из начальных условий, а величина
0
=
А = q0
cos(ωt + α), (46.4)
, (46.5)
(46.6)
− амплитуда затухающих колебаний.
Зависимость (46.4) показана на рисунке 58 сплошной линией, а зависимость (46.6) − штриховыми линиями. Затухающие колебания не имеют определенного значения периода колебаний. Но при малом затухании небольшие ин-
тервалы зависимости q(t) можно принять за отрезки соответствующей синусоиды и считать затухающие колебания как гармонические колебания, амплитуда
которых непрерывно уменьшается с течением времени по закону q0
. В
этом случае условный период затухающих колебаний равен:
176
Т =
ω
π
2
2
2
0
2
β−ω
π
C
0
q
teβ−
teβ−
teβ−
22
βω
+
teβ−
Рисунок 58
Т
=
. (46.7)
С увеличением сопротивления контура R частота ω уменьшается, а период
колебаний Т увеличивается. Через время Т достигаются максимальные и минимальные значения заряда (а также силы тока и напряжения).
Разделив функцию (46.4) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:
U(t) =
cos(ωt + α) = U
cos(ωt + α), (46.8)
0
Чтобы найти силу тока, продифференцируем (46.4) по времени
I(t) = q′ = q0
[− βcos(ωt + α) − ωsin(ωt + α)].
Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим
и разделим это выражение на ω0 (
= ω0), а затем введем угол δ по фор-
мулам
−β/ω0 = cosδ, ω/ω0 = sinδ. (46.9)
После этого выражение для силы тока примет вид
I(t) = ωq0
cos(ωt + α + δ). (46.10)
Из (46.9) следует, что угол δ лежит во второй четверти (π/2 < δ < π). Это означа-
q
ет, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре
q0
опережает по фазе напряжение
(46.8) на конденсаторе более чем на
0
π/2 (при R=0 опережение составляет δ = π/2).
t
177
Графики зависимостей U(t) и I(t) имеют вид, аналогичный зависимости q(t)
)Tt(
)t(
ln
+
q
q
τ
Т
e
N
1
LC
0
ω
2π
L2
R
0
ω
2π
0
Lω
πR
L
C
R
π
)Tt(W)t(W
)t(W
+−
λ
π
(см. рисунок 58).
Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации (е ≈ 2,72). Из формулы (46.4) легко определить, что
τ = 1/β. (46.11)
Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декре-
ментом затухания. Он определяется как натуральный логарифм отношения
двух значений амплитуд заряда (или тока, напряжения), взятых через период
колебания Т:
λ =
= βТ =
=
, (46.12)
где λ − логарифмический декремент затухания; Ne − число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Логарифмический декремент затухания − постоянная для данной колебательной системы величина.
Если затухание мало (β << ω0), то ω ≈ ω0 = 1/
λ ≈ β⋅
=
=
=
и согласно (46.12)
. (46.13)
Для характеристики затухания контуров вводят понятие добротности коле-
бательного контура Q, пропорциональной отношению энергии, запасенной в
контуре, к ее изменению ∆W за период Т:
Q = 2π
. (46.14)
Энергия, равная ∆W = W(t) − W(t + T), рассеивается на сопротивлении R за время Т в виде теплоты Джоуля-Ленца. В реальных контурах значение добротности лежит в интервале 50 – 200. Добротность также равна
Q =
= π Ne, (46.15)
где λ - логарифмический декремент затухания.
178
Из формулы (46.15) следует, что добротность пропорциональна числу колеба-
C
L
R
1
C
L
2
ний Ne, совершаемых системой за время релаксации. Чем меньше затухание,
тем больше Q. При слабом затухании (β << ω0) согласно (46.13) добротность
равна
Q =
. (46.16)
В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний растет, и при β ≥ ω0 вместо колебаний происходит
апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором ко-
лебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим.
Значение критического сопротивления Rкр определяется из условия β = ω0 и,
подставляя значения β и ω0 из (46.2), имеем
Rкр =
. (46.17)
Для получения длительно существующих электрических (также и механических) колебаний большое значение имеют так называемые автоколебатель-
ные системы. Автоколебательные системы реальные устройства, сопротивле-
ние которых не равно нулю.
В автоколебательных системах незатухающие колебания возникают под
влиянием процессов, происходящих внутри системы, и для их поддержания не
требуется никаких внешних воздействий. В состав автоколебательной системы
входит источник энергии (в случае механических колебаний – сжатая пружина,
поднятый груз и т.д., в случае электрических колебаний – источник тока). Этот
источник периодически включается самой системой и вводит в нее определенную энергию, компенсирующую потери на выделение тепла Джоуля-Ленца, что
и делает колебания незатухающими.
§ 9.47 Вынужденные электрические колебания
Для получения в реальном контуре незатухающих колебаний нужно
компенсировать потери энергии электромагнитного поля, связанные с ее переходом в теплоту, подключив контур к источнику внешней переменной ЭДС.
Считая токи в контуре квазистационарными, будем применять к мгновенным
значениям всех электрических величин законы постоянного тока (переменные
токи можно считать квазистационарными, если время τ, в течение которого
электрические величины принимают установившиеся значения, мало по срав-
нению с периодом колебаний Т, т.е. должно быть τ<<Т). Будем предполагать,
что колебания в контуре являются установившимися, т.е. с момента начала колебаний прошло достаточно продолжительное время, так что амплитуды заряда, тока и напряжения достигли постоянного значения. В этом случае имеем
вынужденные электромагнитные колебания в контуре с частотой внешнего ис-
179
точника. Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи, содер-
R
U
=−==
∫ ∫
tωcos
ω
I
tdtωsinIdt)t(I
0
0
−
2
π
ωtsin
ω
I
0
C
q
−
2
π
ωtsin
ωC
I
0
−
2
π
ωtsin
ωC
1
I
Рисунок 61
∼I(t)
L
I
U
L
π/2
I
Рисунок 60
∼I(t)
C
I
U
π/2
I
Рисунок 59
∼I(t)
R
I
U
жащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, если в цепи имеется
переменный ток, сила которого изменяется по синусоидальному закону
I(t) = I0sinωt. (47.1)
1. Сопротивление R в цепи переменного тока (рисунок 59). Применяя к
рассматриваемому участку цепи закон Ома, имеем:
UR = IR = I0Rsinωt = U0sinωt, (47.2)
где U0 = I0R – амплитудное значение напряжения.
Для наглядного изображения соотношений между током и напряжением
воспользуемся методом векторных диаграмм. Так как разность фаз между то-
ком I и напряжением UR на резисторе равна нулю, то вектор
направим
вдоль оси тока (см. рисунок 59).
2. Емкость С в цепи переменного тока (рисунок 60). Напряжение UC на
конденсаторе равно UC = q/C, где
q =
.
Следовательно,
UC =
=
= U
0
, (47.3)
где
U0 = I
(47.4)
0
– амплитудное значение напряжения. Сравнивая выражения (47.1) и (47.3) видим, что колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний
тока на π/2. Это показано на векторной диаграмме (см. рисунок 60).
180