Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО.pdf
Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут
Н
∫
L
ldН
∫
∂
∂
+
S
Sd
t
D
J
∫
⋅SSdD
∑
i
q
∫
⋅SSdD
∫
⋅ρVdV
∫
⋅SSdВ
∫
L
ldЕ
∫
⋅
∂
∂
Sd
t
B
∫
⋅SSdD
∫
⋅ρVdV
∫
L
ldН
∫
∂
∂
+
S
Sd
t
D
J
∫
⋅SSdВ
быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные
поля.
2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора
(см. (41.7)):
Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо
движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.
3. Теорема Остроградского − Гаусса для электрического поля (см. (9.4)):
Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с
объемной плотностью ρ, то формула (42.3) запишется в виде
4. Теорема Остроградского − Гаусса для магнитного поля (см. (25.3)):
=
=
=
. (42.2)
. (42.3)
. (42.4)
Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:
(42.6)
Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов.
ков, в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно
медленно меняющихся в пространстве и во времени между ними существует
следующая связь:
= −
=
Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми.
Для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнети-
;
;
= 0. (42.5)
=
= 0.
;
161
ED
0
ε ε=
HB
0
µ µ=
EJσ=
∫
L
ldЕ
∫
⋅SSdD
∫
L
ldН
∫
⋅SSdВ
∫
⋅LldA
∫
⋅SSdArot
∫
⋅SSdA
∫
⋅VdVAdiv
t
B
Erot
∂
∂
−=
ρ=
Ddiv
t
D
JHrot
∂
∂
+=
0Bdiv
=
где ε0 и µ0 − электрическая и магнитная постоянные, соответственно; ε и µ
− диэлектрическая и магнитная проницаемости, соответственно; σ − удельная
проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля
могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов.
Для стационарных полей (Е = const и В = const) уравнения Максвелла примут вид
;
;
, (42.7)
(42.8)
Т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного − только токи проводимости. В
данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что
и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.
Гаусса
можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциаль-
ной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):
= 0;
= I;
Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и
=
и
= q;
= 0.
=
(42.9)
Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы записи уравнений Максвелла − интегральная и дифференциальная − эквивалентны. Однако когда имеются поверхности разрыва − поверхности, на кото-
162
;
;
;
.
рых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма
εμ
00
με
v
,В,Е
Е
В
уравнений является более общей.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все
величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь
математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная
форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены ранее (см. § 2.10 и § 7.37):
D1n = D2n ; Е
τ
1
= Е
; В1n = В
τ
2
2n ;
Н
= Н
τ
1
. (42.10)
τ
2
Первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет
ни свободных зарядов, ни токов проводимости.
Уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию, и поэтому являются наиболее общими уравнениями для электромагнитного поля в покоя-
щихся средах. Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существова-
нии принципиально нового физического явления: электромагнитное поле
способно существовать самостоятельно − без электрических зарядов и токов.
При этом переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им элек-
трическим полем, и обратно, переменное электрическое поле всегда связано с
порождаемым им магнитным полем. Одним из важных выводов теории Максвелла явилось существование магнитного поля токов смещения (§ 8.41), что
позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн −
переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с
конечной скоростью. Таким образом, электрическое и магнитное поля нераз-
рывно связаны друг с другом, − они образуют единое электромагнитное поле,
распространяющееся в пространстве – электромагнитные волны.
Теория Максвелла не только предсказала возможность существования
электромагнитных волн, но и позволила установить их общие свойства:
- скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнит-
ной среде v = c/
, с = 1/
,где с – скорость распространения свободного
электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме (она
равна скорости света в вакууме с = 3⋅108 м/с;
- векторы
− образуют взаимно перпендикулярную правовинтовую
систему;
- в электромагнитной волне векторы
и
колеблются в одинаковых фа-
зах.
Максвелл также показал, что электромагнитное поле обладает энергией и
импульсом. Электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на
которые они падают, оказывают на них давление.
Максвелл блестяще развил электромагнитную теорию света. Свет представляет собой электромагнитные волны определенного диапазона частот.
163
Максвелл предсказал, что колебания заряда в резонансном контуре приве-
JJ
см
−=
const
=
v
H
H
R
v
H
[ ]
R
v
А
0
дут к испусканию электромагнитных волн, т.е. Максвелл предсказал возможность радиосвязи задолго до открытия радиоволн.
Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г.
Герцем (1857−1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория
Максвелла получила полное блестящее экспериментальное подтверждение.
Контрольные вопросы
1 Что является причиной возникновения вихревого электрического поля?
Чем оно отличается от электростатического поля?
2 Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?
3 Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу
представляет?
4 Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.
5 В каком смысле можно сравнивать ток смещения и ток проводимости?
6 Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.
7 Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах и объясните их физический смысл.
8 Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособленно друг от друга? Запишите для них уравнение Максвелла в обеих формах.
9 Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?
10 Какие основные выводы можно сделать на основе теории Максвелла?
Упражнения для самоконтроля
8.1. Пространство между двумя концентрическими металлическими сфера-
ми заполнено слабо проводящей средой с удельным сопротивлением ρ и диэлектрической проницаемостью ε. В некоторый момент заряд на внутренней
сфере равен q. Найти: 1) связь между векторами плотностей токов смещения и
проводимости в каждой точке среды; 2) ток смещения в данный момент через
произвольную поверхность в среде, охватывающую внутреннюю сферу.
[1)
8.2. Точечный заряд q движется с нерелятивист-
ской скоростью
по окружности (см. рисунок), найти
как функцию радиуса-вектора
[
= q
8.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми на-
ходится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отклю164
; 2) Iсм = q/εε0ρ]
/4πR3]
. Взяв циркуляцию вектора
в точке А
и скорости
заряда.
R
q
v
чили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать,
ω
В
Erot
ω
В
Erot
[ ]
Вω
−
v
В
что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует. [Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения]
8.4. В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется вращаю-
щееся с угловой скоростью
магнитное поле, индукция которого равна
.
Найти
в этой области как функцию векторов
и
. [
=
]
8.5. Плоский воздушный конденсатор (ε = 1), площадь каждой пластины
которого S = 100 см2, включен последовательно в цепь переменного тока.
Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если ам-
1
плитуда синусоидального тока Im = 1,0 мА и частота тока ω = 1,6⋅107 с
−
.
[Em = Im/ε0ωS = 7 В/см]
8.6. Большая пластина из неферромагнитного металла
движется со скоростью v = 90 см/с в однородном магнитном
поле с индукцией В = 50 мТл, как показано на рисунке.
Найти поверхностную плотность электрических зарядов,
возникающих на пластине вследствие ее движения. [σ = ε0vB = 0,40 пКл/м2 ]
8.7. Определите силу тока смещения между квадратными пластинами конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля изменя-
ется со скоростью 4,52 МВ/(м⋅с). [ Iсм = 0,1 мкА ]
§ 43 Относительность электрического и магнитного полей
В предыдущей главе мы выяснили, что электрическое и магнитное поля
всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет
относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от систе-
мы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в
одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Рассмотрим некоторые примеры.
Заряд движется в инерциальной К-системе отсчета с постоянной скоростью v. В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и
магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если
же перейти в инерциальную К′-систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то
в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.
Два одинаковых заряда движутся в К-системе отсчета навстречу друг
другу с одинаковой скоростью v. В этой системе отсчета мы будем наблюдать и
электрическое и магнитное поля, оба переменные. Найти такую К′-систему, где
наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.
В К-системе существует постоянное неоднородное магнитное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в К′-системе, движущей-
ся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное и
электрическое поля.
Таким образом, становится ясно, что соотношение между электрическим
полем и магнитным полем оказывается разным в различных системах отсчета.
165
При переходе от одной системы отсчета к другой поля
Е
В
Е
В
Е
В
ЕВ
ЕВ
Е
В
ЕВ
Е
′
В
′
Е
В
ЕВ
Е
′
В
′
Е
В
ЕВ
Е
′
В
′
Е
В
и
определенным
образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По
этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы.
Поскольку векторы
и
, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета, возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е.
не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля (инвариант обозначают inv; см. например, (43.1)).
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие
собой комбинации векторов
и
, это
= inv; E2 − c2B2 = inv, (43.1)
где с – скорость света в вакууме.
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и
просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
Приведем наиболее важные из них:
- из инвариантности скалярного произведения
случае, когда в какой-либо системе отсчета
других инерциальных системах отсчета
⊥
⊥
, т.е.
;
сразу следует, что в
= 0, то и во всех
- из инвариантности E2 − c2B2 следует, что в случае, когда E = cB (т.е. когда
E2 − c2B2 = 0), то и в любой другой инерциальной системе отсчета E′ = cB′;
- если в какой-либо системе отсчета угол между векторами
(или тупой), − это значит, что
векторами
и
также будет острым (или тупым) во всякой другой системе
больше (либо меньше) нуля, - то угол между
и
острый
отсчета;
- если в какой-либо системе отсчета E > cB (или E < cB) – это значит, что
E2 − c2B2 > 0 (либо E2 − c2B2 < 0), то и в любой другой системе отсчета будет
также E′ > cB′ (или E′ < cB′);
- если оба инварианта равны нулю, то во всех инерциальных системах отсчета
⊥
и E = cB, именно это и наблюдается в электромагнитной волне;
- если равен нулю только инвариант
, то можно найти такую систему
отсчета, в которой или E′ = 0, или B′ = 0; какое именно, определяется знаком
другого инварианта. Справедливо и обратное утверждение: если в какой-либо
системе отсчета E = 0 или B = 0, то во всякой другой системе отсчета
И последнее. Нужно помнить, что поля
и
, вообще говоря, зависят и
⊥
.
от координат, и от времени. Поэтому каждый из инвариантов (43.1) относится к
одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время
которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.
166
К электромагнитному полю применим только принцип относительности
H,D,B,E
Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во
всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.
Согласно принципу относительности Эйнштейна механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения
Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя ве-
личины
Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь
неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся
относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной
инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в
каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно
других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле
возбуждает вихревое электрическое поле.
Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение,
а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении
об электромагнитном поле.
в них преобразуются по определенным правилам.
Глава 9 Электрические колебания
§ 9.44 Квазистационарные токи
При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися со временем. До сих пор мы рассматривали законы постоянного тока (глава 4). Однако они оказываются справедливыми и для изменяющихся (переменных) токов, если только изменение силы тока происходит
не слишком быстро. Если изменения тока настолько медленны, что за время
установления электрического равновесия в цепи относительные изменения токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут подчиняться всем
законам постоянного тока. Такие токи называют медленно меняющимися или
квазистационарными. Для квазистационарного тока мгновенные значения тока
оказывается практически одинаковыми на всех участках цепи.
Отметим, что скорость установления электрического равновесия весьма
велика, и поэтому под понятие квазистационарных токов подпадают в обычном
смысле весьма быстрые процессы. Все технические переменные токи являются
квазистационарными. Даже очень быстрые электрические колебания, употреб-
167
ляемые в радиотехнике, с частотами порядка миллиона колебаний в секунду,
очень часто можно рассматривать как квазистационарные.
Из сказанного следует, что задачи на квазистационарные электрические
процессы можно решать при помощи законов постоянных токов, если применять эти законы к мгновенным значениям электрических величин. Однако при
этом вместо алгебраических соотношений мы приходим к дифференциальным
уравнениям, интегрирование которых и дает зависимость искомых величин от
времени.
Чтобы процесс был квазистационарным, необходимо выполнение двух
условий. Первое условие относится к процессам внутри проводника. Если в
проводящей среде возник избыточный объемный заряд с плотностью ρ, то этот
заряд под действием вызванного им самим поля будет уменьшаться с течением
времени по закону:
ρ = ρ0⋅exp(-t/τМ). (44.1)
В (44.1) ρ0 – объемная плотность заряда в момент времени t = 0, а
τМ = εε0/σ, (44.2)
где ε − диэлектрическая проницаемость среды, σ − ее удельная электропроводность.
Время τМ называется временем релаксации Максвелла. Оно равно времени, в
течение которого объемный заряд уменьшается в е = 2,72 раза. Следовательно,
время релаксации Максвелла, определяет порядок величины времени, в течение
которого восстанавливается стационарность электрических процессов. Чтобы
токи можно было считать квазистационарными, характерное время рассматриваемого неустановившегося процесса Т должно удовлетворять условию:
τМ << Т. (44.3)
Если токи изменяются периодически (электрические колебания), то под Т
следует понимать период колебаний и сформулированное условие квазистацио-
нарности примет вид:
ντМ << 1, (44.4)
где ν = 1/Т – частота колебаний.
Для изоляторов время релаксации Максвелла τМ ∼ минуты, для металлов τ
17
−
∼ 10
с.
М
Второе условие накладывается на размеры контура l. Дело в том, что при
любом изменении электрического состояния в какой-либо части контура электрические возмущения распространяются вдоль контура с конечной скоростью,
равной (глава 8):
168
v = c/
εμ
εμ
.
Здесь c ≈ 3⋅108 м/с скорость света в вакууме, а ε и µ - диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды, окружающей проводники. Если l – длина
контура, то время прохождения электромагнитного возмущения вдоль контура
равно
τ = l/v = (l/c)
. (44.5)
Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет
выполнено, если
τ << Т, или ντМ << 1, (44.6)
где Т – период изменений тока, ν = 1/Т – частота колебаний.
8
В металлах v ∼ c, и при размерах контура l =3 м, время τ ∼ 10
−
с. Поэтому для
этого контура токи можно считать квазистационарными вплоть до частот
6
106 Гц (это соответствует периоду Т = 10
−
с).
В зависимости от свойств проводников одно из условий квазистационарности обычно гораздо сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является
определяющим. При изучении этой главы токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, закон Ома для мгновенных значений квазистационарных токов.
§ 9.45 Колебательный контур
Неразрывная связь между электрическими и магнитными явлениями заключается в том, что любое изменение электрического поля порождает вихревое магнитное поле, а любое изменение магнитного поля приводит в свою очередь к появлению вихревого электрического поля. По этой причине электрические и магнитные колебания могут существовать только совместно, и такие колебания называют электромагнитными колебаниями. При электромагнитных
колебаниях периодически изменяющимися величинами являются параметры
электрического и магнитного полей.
Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используют колебательный контур – цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С (см. рисунок 54).
Электромагнитные колебания, происходящие в колебательном контуре за счет
первоначально сообщенной этому контуру энергии, которая в дальнейшем не
пополняется, называют свободными (собственными) электромагнитными коле-
баниями. Собственные электромагнитные колебания происходят под действием
процессов, происходящих в самом колебательном контуре. Если пренебречь сопротивлением проводов катушки индуктивности (R ≈ 0), то можно пренебречь
потерями на выделение тепла Джоуля-Ленца. Если к тому же не учитывать не-
169
значительные потери энергии на излучение электромагнитных волн в окружаю-
2
0
CU
2
1
4
Т
2
0
LI
2
1
4
Т
2
Т
2
Т
Рисунок 54
Е
С
LI+
+
−
−
щее пространство, то мы имеем незатухающие электромагнитные колебания в
контуре.
Рассмотрим превращения энергии в колебательном контуре при свободных незатухающих электромагнитных колебаниях. Предположим, что, разомкнув контур, зарядили конденсатор. Между обкладками конденсатора появляется электрическое поле, которое обладает определенной энергией. Замкнем
конденсатор на катушку. В этот момент времени (t = 0) напряженность электрического поля Е0 между обкладками конденсатора, напряжение U0 между обкладками и заряд q0 на обкладках конденсатора максимальны. Тока в контуре
еще нет, следовательно, отсутствует и магнитное поле. При этом вся энергия W
колебательного контура сосредоточена в виде энергии электрического поля в
конденсаторе, т.е. W =
.
Когда конденсатор начинает разряжаться, напряжение на нем и напряженность электрического поля между обкладками будут уменьшаться. Из-за возникшего в
контуре электрического тока разряда конденсатора в катушке индуктивности появится магнитное поле. При этом согласно правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая мгновенному
нарастанию этого тока. Через время, равное
четверти периода колебаний (t =
) конден-
сатор полностью разряжается (U = 0; E = 0), а сила тока I0 в контуре и индукция
магнитного поля В0 этого тока достигают максимальных значений. В этот момент времени вся энергия контура заключена в виде энергии магнитного поля в
катушке индуктивности, т.е. W =
.
Уменьшающееся магнитное поле вызывает экстраток самоиндукции, который в
соответствии с правилом Ленца стремится поддержать ток разряда конденсатора и будет направлен так же, как и ток разряда. Конденсатор начинает перезаряжаться и между его обкладками появится электрическое поле противоположного направления. Это поле стремится ослабить ток, который в момент времени t
=
напряженность электрического поля Е0 и напряжение U0) достигает первоначального максимального значения.
170
В интервале времени от
до
магнитное поле будет уменьшаться.
обратится в нуль, а заряд q0 на обкладках конденсатора (соответственно,