Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО
.pdf
§2.Первыйзаконтермодинамики
A
51
Нулевое начало термодинамики постулирует существование функции
состояния – температуры. Можно говорить, что это понятие играет такую
же важную роль, как время в механике. С этим понятием связаны также
термины «абсолютная температура» и «абсолютный ноль температуры».
Как мы разобрали в первом разделе, это понятие связано с хаотическим
(тепловым) движением частиц, составляющих термодинамическую
систему.
§2.Первыйзаконтермодинамики
Первое начало термодинамики фактически является законом сохранения энергии:
QdU A
.
Если мы подведем к телу некоторое количество тепла
Q
, оно пойдет
на увеличение внутренней энергии тела dU и на совершение телом работы
. Внутренняя энергия тела состоит из энергии хаотического движения и
энергии взаимодействия частиц друг с другом. Значки
мы используем,
поскольку подводимое тепло и совершенная работа будут разными при
разных процессах. Действительно, для одного и того же изменения внутренней энергии при совершении телом работы потребуется большее количество тепла по сравнению с ситуацией, когда
0A .
Прежде чем обсуждать остальные начала термодинамики, рассмотрим
некоторые результаты, следующие из приведенных выше начал.
Отметим, что к понятию
абсолютной температуры и
абсолютного нуля можно
прийти, наблюдая зависимости давления газа от
температуры. Наполним
разными количествами
гелия три сосуда одинакового объёма. При равных
температурах в них будут
разные давления. Выбор
Рис. 13. Зависимость давления гелия
V V V const
от температуры при
123
гелия обусловлен тем, что
он сжижается при очень
низкой температуре. Охлаждая сосуды, мы получим
три линейных зависимости давления от температуры (рис. 13). При экстраполяции эти линии пересекутся в точке –273,15 °С.
52
A
F
A
Глава2.Термодинамика
Отсутствие давления в классической физике означает прекращение поступательного хаотического движения. Именно эту точку и принимают за
ноль абсолютной температуры и от него отсчитывают температуру по
шкале Кельвина. Квантовые движения при этом не прекращаются, но энергию, связанную с этими движениями невозможно отнять у тела. Её называют нулевой энергией.
Для
упрощения изложения будем первоначально пользоваться моделью
идеального газа. В этой модели внутренняя энергия будет определяться
поступательными степенями свободы и, как мы установили в первом разделе, для одного моля будет равна
3
N
kT.
0
2
Для удобства рассуждений будем изображать процессы на PV диаграммах. Зависимость давления газа от объёма согласно уравнению
состояния PV = RT для разных температур будет изображаться семейством кривых P =
RT V . При переходе от одной изотермы T = const
к другой различными путями изменение dU будет одинаковым, поскольку
3
dU N k T T
()
021
2
определяется только начальной и конечной температурой и не зависит
от пути перехода межу ними. Термодинамические функции, которые
определяются состоянием системы, мы будем называть функциями
состояния. В этом смысле внутренняя энергия является функцией состояния.
§3.Работагаза
Поместим в цилиндрический сосуд с поршнем некоторое количество
газа. Оказывая давление на поршень газ начнет совершать положительную
работу:
=
dx PSdx PdV
.
Тот же результат мы получим, рассматривая расширение газа в эластичной оболочке произвольной формы. Если газ сжимается, то его работа
отрицательна –
< 0. Работа газа зависит от процесса, в котором совер-
шается эта работа. На рис. 14 на PV диаграмме приведены три варианта
(процесса) перехода из состояния 1 в состояние 2.
§4.Теплоёмкость
A
Рис. 14. Работа газа
AA
142 12 132
Легко видеть, что работа, совершенная газом в этих процессах, разная:
А
> А12 > А
142
132
.
§4.Теплоёмкость
В общем случае работа при произвольном переходе из состояния 1
в состояние 2 будет даваться интегралом
2
А =
PdV
1
и будет зависеть от пути интегрирования. Поскольку
QdU A
,
53
то и количество тепла тоже будет разным и будет зависеть от траектории
процесса.
Рис. 15. Работа газа при переходе между двумя изотермами
54
Глава2.Термодинамика
Для примера на рис. 15 приведены три разных перехода от изотермы
Т
к изотерме Т2. В первом случае мы нагреваем газ, не изменяя его объём
1
(изохорический процесс). Во втором случае мы нагреваем газ, одновре-
менно увеличивая его объём, так что давление в этом процессе остается
постоянным (изобарический процесс). В третьем случае мы нагреваем газ,
одновременно расширяя его. Получаем для этих случаев:
QU
,
1
QUPV
,
2
QUPdV.
3
Поскольку
U во всех трех случаях одинаково, количество тепла будет
во всех случаях разным. Будет разной и теплоемкость в этих процессах.
Теплоемкостью мы будем называть количество тепла, необходимое для
поднятия температуры на один градус.
Q
dT
.
С
Так как эта величина зависит от количества частиц, обычно имеют ввиду удельную теплоемкость и измеряют ее в
Дж моль или в Дж кг. Зная
молярную массу, легко пересчитать одну в другую. В справочниках встречаются теплоёмкости, выраженные в калориях на моль. С этим наследием
теплорода легко бороться, если знать, что 1 кал ≈ 4,18 Дж, а R ≈ 2 кал.
Таким образом, теплоёмкость зависит от конкретного процесса. Важными
характеристиками являются теплоёмкость, при изохорическом процессе
V = const (
P = const (её обозначают c
кость c
её обозначают сv) и теплоёмкость в изобарическом процессе
). Легко понять, что последнем случае теплоём-
больше, так как газ, расширяясь, совершает работу, и для этого
p
p
требуется дополнительное тепло, т. е. энергия. Теплоемкость будет также
зависеть от структуры молекул и температуры. В одноатомном газе его
внутренняя энергия будет связана только с поступательными степенями
свободы. На каждую из которых, как мы уже получили, будет приходиться
по
1
kT, т. е.
2
3
kT на каждый атом. В случае многоатомных молекул воз-
2
можны также колебательные и вращательные степени свободы. Согласно
закону равнораспределения энергии между степенями свободы, на каждую
1
вращательную степень свободы приходится также по
kT, а на каждую
2
колебательную степень свободы – по kT. При колебаниях энергия определяется смещением от положения равновесия и скоростью в этот момент.
§4.Теплоёмкость
p
p
55
Усреднение по каждому из параметров даст по
1
kT и, соответственно, в
2
сумме будет kT. Ситуация с теплоёмкостью, связанной с вращательными и
колебательными степенями свободы, осложняется тем, что из-за квантовых эффектов они возбуждаются при достаточно высоких температурах,
которые отличаются для колебательных и вращательных степеней свободы и тем более разные для разных молекул. В связи с этим
обстоятельством при решении задач, в которых требуется теплоёмкость многоатомных
газов, без справочника не обойтись. Отметим только, что вращательные
степени свободы возбуждаются при достаточно низких температурах. Колебательные степени свободы возбуждаются при достаточно высоких температурах, так что некоторые молекулярные образования распадаются на
атомы раньше, чем возбудятся все колебательные степени
свободы.
Исходя из первого закона термодинамики
QdU A
= dU PdV ,
теплоёмкость при постоянном объёме для идеального газа будет
С
v
=
dT
dU dV
=
dT dT
v
P
vv
dU
=
dT
.
v
Q
Индекс v у производной обозначает, что мы берём её при постоянном
давлении. Для идеального газа внутренняя энергия определяется только
температурой, так, что для моля идеального газа
3
dU kN dT
=
2
3
.
RdT
0
2
С учетом этого получаем
3
с
.2R
=
v
Для теплоёмкости идеального газа при постоянном давлении мы получим
С
=
p
dT
dU dV
=
dT dT
P
= Сv +R.
p
Q
Так как из уравнения состояния идеального газа
RT
V
,
P
для одного моля получим
dV
dT
R
.
p
56
Глава2.Термодинамика
Соотношение
ccR называют уравнением Роберта Майера. В реаль-
pv
ных газах из-за взаимодействия молекул это уравнение выполняется приближенно. Так, в случае газа Ван-дер-Ваальса
Поскольку
RT a
P
VbV
ccR
pv
2
a – маленькая поправка, учитывающая взаимодействие моле-
2
a
(1 )
RTV
.
кул, для неплотных реальных газов для оценок можно пользоваться соотношением Роберта Майера.
§5.Термодинамическиепроцессы
Если какой-либо параметр системы медленно изменяется, так что скорость изменения меньше, чем при приходе системы к равновесию в процессе релаксации, мы говорим, что идет термодинамический процесс. Рассмотрим основные закономерности, связанные с процессами в идеальном
газе. Уравнение состояния для идеального газа –
PV RT
, в случае од-
ного моля – PV = RT, связывает три основных параметра определяющих
его состояние – P, V, T. Процессы, которые идут так, что давление P остаётся постоянным, называют изобарическими. На диаграммах PV и PT это
прямая линия P = const, называемая изобарой. Процессы, которые идут
так, что объём V остаётся постоянным,
называют изохорическими. На диаграммах PV и PT это прямая линия V = const, называемая изохорой. Процессы, которые идут так, что температура T остаётся постоянной, называют изотермическими. На диаграммах VT и PT это прямая линия T = const,
называемая изотермой. Важным случаем являются термодинамические
процессы, которые идут без подвода или отвода
тепла. Такие процессы
называют адиабатическими. Примером может служить сжатие газа в теплоизолирующей оболочке, которую будем называть адиабатической. Кривую P(V) на диаграмме PV в этом случае называют адиабатой.
Найдем связь давления с объёмом для идеального газа в адиабатическом
процессе. Первый закон термодинамики в этих условиях даст
δQ = 0 = c
dT + PdV.
v
Из уравнения состояния идеального газа PV = RT получим
()dPV RdT
или
dT
Подставив это выражение для dT в c
PdV VdP
cPdV
v
R
()dPV
R
dT + PdV = 0, получим
v
PdV VdP
0
.
.
R
§5.Термодинамическиепроцессы
p
A
A
A
A
A
57
Используя соотношение Роберта Майера
ccR
и скомбинировав
pv
члены уравнения, мы придем к выражению
c
p
PdV VdP
cc cc
pv pv
c
v
Поделив на PV и введя обозначение
c
p
0
или 0
PdV VdP
c
v
cc
, получим дифференци-
v
.
альное уравнение
dV dP
,
VP
решение которого приводит к
ln lnVPconst
или PV const
Таким образом, при адиабатическом сжатии газа
.
PV P V
произве-
00
дение давления на объём в степени γ остаётся постоянным. Заменяя объём
или давление, используя уравнение состояния
1
же, что в адиабатическом процессе
TV const
PV RT
или
, мы получим так-
1
T P const
.
Работа идеального газа в термодинамических процессах
1. При изобарическом процессе P = const:
V
2
PdV
=
()PV V .
V
1
2.
При изотермическом процессе T = const:
RT
P
и
V
3.
В изохорическом процессе V = const:
V
V
4.
При адиабатических процессах
V
2
PdV
будет равна
V
1
V
2
PV
00
dV
V
V
1
PV
11
11
=
1
VV
()
21
=
21
V
2
PdV
V
1
2
PdV
= 0.
1
PV P V
RT T
12
(1 )
1
V
2
RT
=
ln
.
V
1
или 00PPVV
00
=
T
1
работа
R
TT
()
21
1
=
()
cT T
v
21
.
58
p
p
p
Глава2.Термодинамика
Это работа по сжатию газа. Для работы газа нужно изменить знак.
Можно было сразу записать
()
A с TT U
,
21
v
так как в адиабатическом процессе вся работа идет на увеличение внутренней энергии.
Политропические процессы. Рассмотренные выше процессы являют-
ся частными случаями более общего политропического процесса. Политропическими называют процессы, которые идут при постоянной теплоёмкости. Тогда c = const и первый закон термодинамики запишется как
Q сdT c dT PdV
.
v
Найдя из уравнения состояния идеального газа
и заменив на него
()dPV
dTR
dT в предыдущем выражении после группировки, мы
PdV VdP
R
получим, действуя также, как и в случае адиабатического процесса,
сс
dV dP
p
ccV P
v
После интегрирования это даст PV
0
.
n
= const. Здесь n = ()()
сс cc
.
v
Его называют показателем политропы. Получается, если с = 0, то
n =
с c . Это адиабатический процесс.
v
Если c = ∞, PV = const это изотермический процесс. При c = c
V = const – изохорический процесс, при c = c
, P = const – изобарический
p
v
процесс.
Уже из выражений для работы в различных процессах видно, какую
важную роль в практической термодинамике играют теплоёмкости c
а также их отношение
c
.
c
v
и cp,
v
Для идеального газа
33 Дж
с =
Nk R
v
0
22 град моль
12,5
,
соответственно
5 Дж
Rc R
с
p
v
20,5
2 град моль
.
,
§5.Термодинамическиепроцессы
59
К этим значениям близки теплоёмкости благородных газов – гелия, не-
она, аргона, ксенона, криптона. Для одноатомных газов получаем
c
p
.
1, 6 7
c
v
Для многоатомных газов при температурах, близких к комнатным, возбуждены в основном поступательные и вращательные степени свободы.
Для двухатомных газов, составляющих воздух, теплоёмкости в этих условиях близки к теоретическим значениям и составляют
5 Дж
с
v
с
p
20,8
R
2 град моль
7 Дж
29,1
R
2 град моль
,
.
Соответственно,
cc
.
pv
1, 4
Если мы сжимаем газ из одного исходного состояния, уменьшая объём
в два раза, в первом случае изотермически, во втором адиабатически, то в
каком случае работа по сжатию газа будет больше? На этот вопрос легко
ответить, нарисовав на PV диаграмме из исходной точки изотерму
PV = const и адиабату
Рис. 16. Работа газа при изотермическом и адиабатическом сжатии
Поскольку
1
PV const
(рис. 16).
, адиабата идет круче (см. рис. 16) Легко видеть, что
площадь под адиабатой больше, а значит и больше работа.
60
A
Глава2.Термодинамика
§6.Циклическиепроцессы.КПДтепловыхмашин
Циклические процессы
. Циклическими называют процессы, при которых после завершения цикла система возвращается в исходное состояние. Важность рассмотрения этих процессов связана с тем, что большинство тепловых машин используют циклические процессы в своей работе.
Кроме этого, рассмотрение соответствующего циклического процесса позволяет получать термодинамические закономерности. В дальнейшем мы
найдем таким способом связь
давления насыщенного пара с теплотой ис-
парения и его температурой.
Рассмотрим простейший цикл, состоящий из двух изобар Р
двух изохор V
= 2V1 (рис. 17).
2
Рис. 17. Цикл из двух изобар и изохор
= 2Р1 и
2
Работа на участках 1–2 и 3–4 не совершается, так как V = const. На участке 2–3 газ, расширяясь, совершает положительную работу. Чтобы газ не
уменьшал давление, мы должны подводить тепло. На участке 4–1 мы сжимаем газ, отводя тепло для постоянства давления. В итоге, пройдя цикл 1–
2–3–4–1, газ вернётся в исходное состояние. Работа, совершённая газом
за
цикл, будет равна площади цикла на диаграмме PV:
()()
PV V PV V PV PV
.
22 1 12 1 11
На двух участках цикла мы подводили тепло – нагревали при постоянном объёме участок 1–2 (
давлении участок 2–3 (
Q = c
– T1) + cp(T3 – T2).
v(T2
QcTT
QcTT
23 3 2
()
12 2 1
()
p
) и нагревали при постоянном
v
). В итоге мы подвели тепло, равное
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]