Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО
.pdf
§9.Газвовнешнемполе.РаспределениеБольцмана
x
x
x
x
x
j
К
Плотность потока молекул, имеющих компоненту скорости от vх до
v
+ d vх, будет
х
()
dN v
dj =
, где dN(vх) = v
Sdt
dn(v
х
)Sdt.
х
Поделив и умножив последнее выражение на концентрацию частиц в
объеме, получим:
vdW v
0
()
x
=
1
n
v .
2
dj =
dN v
Sdt
()
= n vх dW(vх), а j = n
Поскольку
1
=
v
v ,
2
получаем, что плотность потока частиц через малое отверстие
31
j =
1
n v =
4
8.kT
1
n
4
m
Отметим, что более быстрые молекулы чаще сталкиваются со стенкой
и, соответственно, чаще вылетают из отверстия, поэтому средняя скорость
и энергия в пучке будет больше, чем сосуде. Их значения будут
v =
98kT
m
, К= 2kT.
Напомним, что в сосуде
3
=
kT.
2
Соответственно, будет больше и средний квадрат скорости:
4
kT
2
v
j
.
m
§9.Газвовнешнемполе.
РаспределениеБольцмана
Возьмем цилиндрический сосуд и, взвешивая его наполненным газом и
откачанным, мы получим разность веса, равную весу газа. Но эта разность
может появиться, только если концентрация молекул у верхнего и нижнего
торца в поле тяжести разная, причем большая концентрация должна быть
у нижнего торца. Действительно, учитывая, что
P = nkT, при постоянной
32
температуре газа по высоте суммарный вес молекул не равен нулю, только
если концентрация молекул у нижнего торца выше.
Отсюда следует, что в силовом поле происходит перераспределение
концентрации молекул. Попробуем найти это распределение. Возьмем в
сосуде, наполненном молекулами массой
соте температуру Т, тонкий слой толщиной
Примем, что в этом слое концентрация
Глава1.Молекулярнаяфизика
mg
= (Р0 – Рh) · S = (n0 – nh) kTS.
m, имеющем постоянную по вы-
dh на некоторой высоте h.
n(h) (рис. 7).
Рис. 7. К выводу зависимости концентрации молекул
от высоты
Тогда разность силы давления будет выражаться так:
(
Р(h+dh) – P(h))S = – dP · S = mgn(h)dhS.
Отсюда
Учтя, что
Разделяя переменные, получим
P = nkT, получим
()nh в поле тяжести
dP
mgn h
.
dh
dn
kT ()
dh
dn
n
()
mgn h
.
mgdh
.
§9.Газвовнешнемполе.РаспределениеБольцмана
33
Интегрируя, имеем
mgh
kT
C
.
. В итоге мы придем к
0
Константу
ln(n) = –
С найдем, полагая, что при h = 0 n = n
соотношению
mgh
kT
,
nne
0
которое с учетом
P = nkT переходит в
Р = Р
mgh
kT
e
.
0
Такая зависимость давления от высоты в поле тяжести Земли носит название барометрической формулы. Если нам известны
n
или Р0, задача по
0
нахождению концентрации и давления на разных высотах решена.
Чему будут равны эти величины, если в поле тяжести, в цилиндрический сосуд высотой
сой
m при температуре T? Найдем n
тогда, интегрируя по всему объёму сосуда, мы получим
N = (,,)nxyzdV
H, площадью основания S, поместили N частиц, мас-
. Предположим, что n0 нам известна,
0
N:
H
mgh
= S
kT
ne dh
0
0
=
Sn kT
0
mg
mgH
kT
(1 )
.
e
Отсюда
n
=
0
Nmg
mgH
kTS e
kT
1
,
а зависимость –
mghkT
e
.
n(h) =
Nmg
mgH
kTS e
kT
1
Силовое поле можно создать, заставив сосуд с газом вращаться вокруг
своей оси с большой угловой скоростью ω. В этом случае концентрация
будет уменьшаться от стенки сосуда к его оси. Если сосуд наполнен газообразной смесью изотопов, то соотношение концентраций изотопов на оси
и у стенок сосуда будет разная. Таким образом
в многочисленных последовательно соединённых центрифугах разделяют изотопы урана. Рассмотрим эту задачу подробнее.
34
Глава1.Молекулярнаяфизика
Поместим в сосуд высотой H, радиуса R частицы массой m в количест-
ве
N штук и раскрутим его вокруг оси с угловой скоростью
. В отсутст-
вии вращения концентрация частиц постоянна по объёму:
NN
n(r, h) = const =
VRH
.
2
При вращении на частицы будет действовать сила:
dU mv m r
F = –
dr r r
222
2
mr
.
Отсюда
U = –
r
Frdr
()
0
mr
22
2
.
Соответственно, распределение частиц будет иметь вид
22
mr
kT
n = n
2
.
e
0
Если n0 известна, то задача решена. Если известно N, тогда, поскольку вероятность обнаружить частицу в некоторой области пространства внутри
сосуда будет
(, , )
dn r
dW(r,
,)
N
,
тогда в цилиндрической системе координат
22
mR
kT
2
2
m
.
N = (, , )Wr dV
=
2
HR
000
ne
0
22
mr
kT
2
rdrdzd
2( 1)
0
HkT e
= n
Отсюда мы найдем
ции частиц в зависимости от радиуса
n
. В итоге мы получим распределение концентра-
0
r:
22
mr
2
2
n(r) =
Nm e
HkT e
21
kT
22
mR
kT
2
.
Зависимость концентрации частиц от их массы приводит к различному
соотношению концентраций смеси частиц на оси цилиндра и у его стенки,
что позволяет разделять изотопы. Эффект небольшой и приходится последовательно во многих центрифугах накапливать изменение концентраций.
§10.РаспределениеМаксвелла–Больцмана
dd
Z
35
В заключение оценим массу Земной атмосферы. Исходя из того, что
давление у поверхности Земли примерно равно одной атмосфере, что примерно соответствует давлению тела массой в 1 кг на 1 см
2
. Получается, что
масса атмосферы Земли равна
М = 1кГ4R
2
= 4 · 1017кГ.
з
§10.РаспределениеМаксвелла–Больцмана
В случае однородного распределения концентрации частиц по объёму
мы нашли распределение частиц по скоростям – распределение Максвелла:
3
2
mv
2
dW( v
) = dW(vx) dW(vx) dW(vx) =
m
kT
2
2
kT
e
dv
x
dvy dvz.
В сферической системе координат оно будет выглядеть так.
3
2
mv
2
m
dW( v
) =
kT
2
v2
kT
2
e
dv sin
Распределение по абсолютной величине скорости будет вычисляться
следующим образом:
3
2
mv
2
m
dW(v) = 4
kT
2
2
kT
2
e
v
dv
Заметим, что при выводе этих распределений мы не использовали вид
взаимодействия молекул. Эти распределения справедливы как в модели
твердых шариков, так и в модели взаимодействующих молекул.
Похожие распределения мы получили в случае нахождения распреде-
ления концентрации частиц в силовом поле: в гравитационном поле Земли
mgh
n = n
kT
0
e
и во вращающемся сосуде
22
n = n
2mrkT
.
e
0
В терминах вероятности обнаружения частицы в кубике объёмом
dx, dy, dz в силовом поле с потенциалом ()U xyz это можно записать как
()Uxyz
1
dW(x, y, z) =
kT
e
dxdydz.
36
Z
Глава1.Молекулярнаяфизика
Такое распределение называется распределением Больцмана. Объединив эти распределения, получим вероятность обнаружения частицы в заданной части пространства с заданной скоростью, которое называют распределением Максвелла – Больцмана:
2
()Uxyz
1
kT
dW(v, r) =
e
2mvkT
e
dxdydzdvxdvydv
z
Во всех этих распределениях присутствует экспонента, в показателе
которой энергия частицы, деленная на
kT. В случае распределения Мак-
свелла это кинетическая энергия. В распределениях Больцмана – потенциальная энергия. Собственно, основная заслуга Больцмана заключается в
том, что он понял, что в распределении частиц обязательно будет присутствовать экспонента, в показателе которой энергия частицы, деленная на
kT. Не вдаваясь в подробности, укажем, что это присутствует даже в кван-
товых статистиках, когда энергия
значений (уровней). Для средней заселённости
N =
может принимать дискретный ряд
i уровня получим
i
kT
i
Nge
.
i
0
В формуле Планка для средней энергии гармонического осциллятора,
который может принимать дискретные значения энергий
1
()
ih
.
i
2
Средняя энергия –
h
=
.
h
kT
e
1
Заметим также, что пока kT меньше разности энергий между основным и первым возбужденным состоянием, подавляющее число молекул
находится в основном состоянии. Говорят, что эти степени свободы выморожены. Поэтому колебательные и вращательные степени свободы
начинают проявляться при достаточно высокой температуре. Эти температуры, естественно, будут разными для различных молекул,
а также
будут зависеть от агрегатного состояния вещества – газ, твердое тело.
Для поступательных степеней свободы молекул в газообразном состоянии эти эффекты проявляются при температурах, близких к абсолютному
нулю, поэтому для них справедлив классический подход, выражающийся
распределением Максвелла.
§11.Законравнораспределения
x
z
x
z
К
x
x
37
§11.Законравнораспределения
Как мы уже получили, средняя энергия поступательного движения
= К =
32kT
.
Учитывая независимость распределения по скоростям по различным
2
2
2
2
2
осям
v =
=
v , а
v
y
v +
каждую поступательную степень свободы приходится энергия
2
+
v =2,v мы приходим к выводу, что на
v
y
2kT . Этот
результат можно получить, проводя усреднение по распределению молекул по скоростям:
2
v =
2
0
()vdW v
=
3kT
m
или для средней кинетической энергии:
= К=
mv
2
2
=
m
2
2
0
()vdW v
=
32kT
.
Заметим, что средняя энергия не зависит от массы молекулы, т. е. молекулы в смеси газов будут иметь разные скорости, но такие, что их средние кинетические энергии
2
mv
ii
будут одинаковы и равны
=
i
32kT . Но если молекула состоит из нескольких
2
атомов, появляется энергия, связанная с её вращением и колебаниями атомов относительно равновесного положения. С этими движениями также
будет связана соответствующая энергия. Разберем ситуацию для случая
двухатомной молекулы. Направим ось z вдоль линии, соединяющей молекулы. Тогда момент инерции I
= 0, а энергия, связанная с вращениями по
z
осям x и y, будет
=
2
I
x
и
2
y
=
I
yy
2
2
.
Согласно распределению Больцмана, в экспоненте вместо кинетической
2
mv
kT
2
энергии поступательного движения
e
будет
гии вращательного движения при усреднении мы получим опять по
2
I
kT
2
,
e
и для средней энер-
2kT
каждую ось. Для двухатомной молекулы
kT
kT
+
2
= kT.
2
38
Глава1.Молекулярнаяфизика
То же самое для трехатомной линейной молекулы (молекула СО2).
В случае когда все три момента инерции не равны нулю (молекула воды
Н
О), мы получим
2
32kT
=
,
как для поступательных движений (см. рис. 4).
При колебаниях в произвольной фазе энергия будет состоять из потенциальной энергии, связанной с смещением молекул x относительно положения равновесия, и кинетической энергией их движения в этот момент:
2
+
2pm
2
.
=
kx
2
Учитывая эти два члена в энергии колебаний, мы по аналогии с разобранными выше ситуациями получим, что на каждую колебательную степень свободы приходится по
kT
kT
+
2
= kT.
2
Квантовая природа молекулярных движений вносит коррективы в эту
простую картину. Энергия может изменяться дискретными порциями –
квантами. Поэтому, когда температура мала (меньше первого уровня изменения энергии), соответствующая степень свободы не возбуждена и не
вносит вклад в энергию хаотического движения. Поступательные степени
свободы появляются при очень низких температурах. Затем при
нии температуры, когда kT
Е , начинают возбуждаться вращательные
вр
повыше-
степени свободы. При дальнейшем повышении температуры, когда
kT
Е , возбуждаются колебательные степени свободы. Соответствен-
кол
но, теплоемкость газов будет увеличиваться с увеличением температуры,
достигая максимума, когда возбуждены все степени свободы.
§12.Процессырелаксации.Локальноеравновесие
Полученные результаты относятся к равновесному состоянию вещества, когда средняя энергия, концентрация и давление постоянны по объёму
и не изменяются во времени. Такое состояние называется состоянием термодинамического равновесия. Учитывая хаотическое движение молекул,
их число и энергия в некотором небольшом выделенном объёме будет то
больше, то меньше их средних значений. Это
явление называют флуктуацией. Величина флуктуации, естественно, будет зависеть от числа частиц в
выделенном объёме. Так, если в нашем объёме всего две частицы, они с
равной вероятностью могут быть обнаружены в той или другой половинке
§12.Процессырелаксации.Локальноеравновесие
39
объёма. В итоге равновесное распределение, когда частицы распределены
равномерно по объёму, будет иметь вероятность W =
Рис. 8. Возможные случаи распределения двух молекул
по половинкам объема
1
(рис. 8).
2
Для четырех частиц неравномерность распределения по объёму проявится значительно меньше. Учитывая огромное количество частиц в термодинамических системах (при нормальных условиях моль газа занимает
около 22 л и состоит примерно из 6 · 10
23
частиц, т. е. около 1019 шт/см3),
флуктуации в реальных термодинамических системах очень малы:
n
n
1,
1.
Если в какой-либо точке рассматриваемой системы мы изменим равновесное значение Т, р или n, начнется процесс выравнивания возмущенного
параметра (процесс релаксации, т. е приход системы к новым равновесным
значениям) и через некоторое характерное время
, называемое временем
релаксации, система неизбежно придет к новому равновесному состоянию.
Эта неизбежность связана с тем, что при заданной полной энергии системы равновесное состояние имеет значительно более высокую вероятность.
Время релаксации – не очень чётко определённый параметр. Обычно имеют ввиду время, через которое неравновесный параметр отличается от
равновесного значения на
какую-то небольшую величину – 1 %, 1 e и т. д.
Время релаксации для различных параметров меняется в широких пределах: для выравнивания давления – доли секунды, для выравнивания концентрации примесных ароматических молекул за счет диффузии – часы.
Локальное равновесие. Нагреем стержень с разных концов до различ-
ных температур. В различных частях стержня установятся разные температуры. В неравномерно нагретом теле, изолированном от нагревателей,
неизбежно начнётся процесс выравнивания температуры – релаксация.
И в том, и в другом случае, если мы выделим какой-то небольшой объем
40
Глава1.Молекулярнаяфизика
тела и теплоизолируем его, процесс изменения температуры почти прекратится, и в нем будет оставаться температура, достигнутая на момент изоляции. Конечно, изменение температуры произойдет, но это изменение
T за время релаксации, будет очень мало, так что
T
T
равовесн.
1
.
В этой ситуации мы говорим о локально равновесном параметре, в
данном случае температуре. Во всех таких случаях, когда изменение параметра системы происходит за времена, значительно большие, чем время
релаксации, говорят, что идет квазиравновесный процесс. Квазиравновесный потому, что при равновесии изменения параметров происходить не
должно. Эти замечания нам понадобятся
при анализе процессов, связанных с возникновением тепловых потоков, анализа возникновения вязкости, процессов диффузии.
§13.Явленияпереноса
Теплопроводность
. Эмпирически было установлено, что при наличии
градиента температуры вдоль оси x возникает тепловой поток (поток энергии), плотность которого пропорциональна этому градиенту температуры:
dT
,
j
dx
в общем случае
j gradT
.
Знак минус указывает на то, что поток тепла направлен от более нагретой части к менее нагретой. Этот закон носит название закона передачи
тепла Фурье. С хорошей точностью это выполняется для твердых и жидких тел. Уточнения этого закона для теплопроводности в газах мы сделаем
ниже. Плотность теплового потока
Коэффициент пропорциональности
проводности, размерность которого
j имеет размерность
Дж
сек м
2
называют коэффициентом тепло-
Вт
.
мград
или
Вт
м
2
Найдем коэффициент теплопроводности для газа. Для этого рассмотрим модельную ситуацию, когда между двумя параллельными стенками,
нагретыми до температур Т
и Т2, Т1 > Т2, находится газ. Стенки ортого-
1
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]