Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО
.pdf
§6.РаспределениеМаксвелла
x
x
z
x
z
x
21
жения
2
2mv , связанную с температурой. Для этого удобнее преобразо-
вать распределение, чтобы в нем фигурировала только величина скорости. Мы сделаем это чуть позже. Попробуем обойтись без интегриро-
kT
вания. Воспользуемся полученным выражением для
получаем, что
2
v =
2
2
v =
3kT
. Таким образом, мы получили формально введен-
m
v =
y
2
v , а
2
v +
2
v +
y
2
v =2v ,
2
v =
, и так как
m
ное ранее выражение для температуры газа:
2
mV
кТ =
.
3
При решении задач часто необходимо знать средний модуль скорости,
наиболее вероятную скорость и то, как будет выглядеть распределение
только по величине скорости. Найдем распределения, отвечающие за это.
Если в какой-то момент времени определить величины и направления скоростей частиц в некотором объёме, а затем построить все вектора скоростей
из общего начала, у нас получится сферически симметричный ёжик.
«Иголки» этого ёжика будут разной длины, но иголки одинаковой длины
будут распределены сферически симметрично. Вероятность обнаружить
молекулу со скоростью, лежащей между некоторой
v
и vx + dvx будет в
x
этой модели задаваться отношением числа векторов, заканчивающихся
между этими плоскостями, к общему числу векторов (рис. 2).
Рис. 2. Распределение молекул по скоростям
V
22
dd
dd
Глава1.Молекулярнаяфизика
Из рисунка также понятно, почему плотность вероятности f(vx) имеет
максимум при
скоростью в диапазоне
торов, заканчивающихся между сферами
v
= 0. Кроме того, видно, что вероятность найти частицу со
x
v и v + dv будет задаваться отношением числа век-
v и v + dv, к общему числу векто-
ров. Для нахождения распределений перейдем в сферическую систему
координат. В этом случае элемент «объёма»
sin vd d = v
2
sin
. Полученное ранее распределение по величи-
dv
dvy dvz перейдет в v
x
не и направлению скорости в декартовой системе координат
3
2
mv
–
x
2
dW( v
) = dW(vx) dW(vx) dW(vx) =
m
2
kT
2
e
kT
dv
dvy dvz
x
перейдет в
3
2
mv
–
2
m
dW( v
) =
2
kT
v2
kT
2
e
dv sin
в сферической системе координат. Если нас интересует только величина
скорости, безотносительно к её направлению, нужно проинтегрировать
последнее выражение по всем возможным углам, и мы получим распределение только по величине скорости:
3
2
mv
–
2
m
dW(v) = 4
2
kT
2
kT
2
e
v
dv.
Поскольку в этом случае вероятность обнаружить частицу с нулевой
скоростью и очень большой скоростью стремится к нулю, то в этом диапа-
2
–
зоне есть наиболее вероятная скорость
v
. Максимум выражения
нв
2mvkT
ev
найдется из условия
2
–
или
d
dv
2
–
–
2mvkT
2
v
e
2
2mvkT
ev
2v
= 0
2
–
m
kT
2mvkT
e
3
2
= 0.
Отсюда
2
2kT
v
=
нв
.
m
§6.РаспределениеМаксвелла
Средняя скорость v найдется интегрированием
v =
()vdW v
0
или
3
2
m
2
kT
v =
0
v 4
отсюда
8kT
v =
m
23
2
mv
–
v2
kT
2
e
dv,
.
Введя относительную скорость
uvv
от н.в
как отношение скорости
молекулы к наиболее вероятной, получим распределение по абсолютной
величине скорости в виде
()
4
dW u e u du
2
u
.
2
Отсюда доля молекул, имеющая скорость больше
, будет определять-
u
ся интегралом
2
24u
ue du
u
.
В табл. 2 приведены некоторые значения этого интеграла. Из таблицы
следует, что только около 20 % молекул имеют скорость, превышающую
1,5
v , и только 5 % превышающую 2
нв
v
н.в.
Таблица 2
Значения интеграла
u 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,5 1,8 2
0,994 0,96 0,87 0,73 0,57 0,41 0,21 0,09 0,046
На рис. 3 приведено распределение вероятности обнаружения частицы
v
=
в зависимости от величины относительной скорости
vv . Из этого
от
нв
рисунка видно, что основная часть молекул имеет скорости в диапазоне
0,5 <
vv < 2.
нв
24
f
К
Глава1.Молекулярнаяфизика
Рис. 3. Распределение Максвелла
в относительных скоростях
Средняя энергия хаотического движения
квадратичной скоростью
2
,v которую мы уже находили. Её также можно
()
UUedU
UVV
mV
=
2
найти интегрированием:
3
2
m
e
2
kT
2
v =
2
0
()vdW v
=
0
2
v
4
в результате которого мы снова получим
3kT
2
v =
,
m
а для средней энергии хаотического движения –
3
.
kT
К
2
Подводя итог, перечислим наиболее важные результаты.
распределение по проекции скорости v
1)
) =
m
kT
2
dW(v
x
:
x
2
mv
–
x
kT
2
e
dv
;
x
4
2
2
2
U
н.в.
определяется средне-
2
mv
–
v2
kT
2
dv,
§6.РаспределениеМаксвелла
dd
x
x
x
x
x
x
x
2) распределение по величине и направлению скорости в декартовой
системе координат:
3
2
mv
–
2
dW( v
) = dW(vx) dW(vx) dW(vx) =
3)
распределение по величине и направлению скорости в сферической
m
2
kT
2
e
kT
dv
x
dvy dvz;
системе координат:
3
2
mv
–
2
m
dW( v
)=
2
kT
v2
kT
2
e
dv sin
;
4) распределения по абсолютной величине скорости:
3
2
mv
–
2
m
dW(v) = 4
2
kT
v2
kT
2
e
dv.
Из этих распределений мы получили следующие выводы.
1)
наиболее вероятная скорость:
2kT
v
=
нв
2)
средний модуль скорости:
v =
0
3)
средняя проекция скорости на любую ось будет равна нулю:
v =
v
dW(vx) =
;
m
8kT
=
()vdW v
v
2
;
m
2
mv
–
kT
x
kT
2
dv
e
= 0;
x
m
25
4)
средний модуль скорости
делах от 0 до
и удвоив его:
= 2
v
отсюда получается что
v можно найти, взяв этот интеграл в пре-
2
v
0
v =
2
1
2
m
kT
v ;
mv
–
x
kT
2
dv
e
2kT
=
x
,
m
26
К
Глава1.Молекулярнаяфизика
5) средний квадрат скорости:
6)
среднеквадратичная скорость:
2
v =
2
()vdW v
0
=
3kT
m
;
v =2v =
ср.кв.
3kT
m
.
Получается, что все эти скорости имеют один порядок и отличаются в
пределах 20 %.
7)
средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения:
2
3
=
mV
2
=
kT
.
m
2
В заключение оценим среднюю скорость молекул воздуха, приняв их средний молекулярный вес за 29. Подставив соответствующие данные в выражение для средней скорости, получим
v =
()vdW v
0
=
8kT
460 м/сек,
m
что близко к скорости звука и наводит на мысль, что скорость распространения звуковых колебаний определяется средней скоростью молекул.
§7.Столкновениямолекул.
Средняядлинасвободногопробега
Для кинетики химических реакций важна частота столкновений молекул,
так как взаимодействие молекул начинается при достаточном приближении
друг к другу. Для анализа процессов теплопроводности, вязкости, диффузии, течения газа по трубам важным параметром является длина свободного
пробега, т. е. среднее расстояние, которое молекула преодолевает между
столкновениями. Процесс столкновения также отличается от столкновения
твердых шариков. При достаточном приближении друг к другу начинают
деформироваться электронные оболочки молекул. На это уходит часть кинетической энергии, возникает сила отталкивания – так же, как при сжатии
пружинки ударившимся о неё шариком. Шарик, сжимая пружинку, останавливается, а затем пружинка, разжимаясь, отправляет его обратно с той же
скоростью. Что
же касается химических реакций, то в некоторых случаях
при дальнейшем приближении друг к другу молекулам становится выгодно
объединить свои электронные оболочки, образовав новую молекулу. Так
§7.Столкновениямолекул.Средняядлинасвободногопробега
27
углерод (в первом приближении древесный уголь для шашлыков) не загорается сам собой в атмосфере кислорода, образуя молекулу углекислого газа
CO
. Необходимо поджечь уголь, нагрев его до температуры примерно
2
400 °C. Нагревание приводит к тому, что появляется достаточно много мо-
лекул, способных преодолеть потенциальный барьер сил отталкивания. Образование молекул CO
приводит к выделению энергии, и при её достаточ-
2
ной величине реакция становится самоподдерживающейся.
Хотя размеры молекул малы, их представление твердыми шариками
будет большим упрощением, на рис. 4 приведены конфигурации и размеры двух распространенных молекул воды H
O и углекислого газа CO2.
2
Очевидно, что такие образования трудно представить шариками. Поэтому
размеры молекул, которые получаются из анализа явлений переноса, называют газокинетическими размерами, и именно они чаще всего фигурируют в данном конспекте лекций и в справочниках.
Рис. 4. Схематичное изображение молекул воды и углекислого газа
Начнем оценку длины свободного пробега с такой простой модели, когда мы представляем молекулы шариками. Для начала оценим, насколько
расстояние между молекулами в газе при нормальных условиях больше их
размеров. Большинство простых молекул имеют размеры в пределах
0
2–4 А
, т. е. 2–4·10
мер 3,1·10
–10
моль составляет 6,022 · 10
ём 22,4 л. Следовательно, в 1 м
расстояние между молекулами
–10
м. Так, молекулы, составляющие воздух, имеют раз-
м, а молекула азота – 3,8·10
23
шт. и при нормальных условиях занимает объ-
3
содержится около 26,9 · 1023 шт. Учтя, что
3
L =
1 n , мы получим, что L = 3 · 10
–10
м. Как указывалось выше, один
–9
м.
Таким образом, при нормальных условиях расстояние между молекулами в примерно 10 раз больше их размеров. С учетом этого понятно, что
длина пробега без столкновения (длина свободного пробега) будет существенно больше межмолекулярных расстояний. Хаотически двигаясь, молекулы тем не менее периодически сталкиваются друг с другом.
Для начала оценим частоту
газа с массой молекул
новного газа массой
m
2
столкновений молекул легкого примесного
m
, имеющего концентрацию n1, с молекулами ос-
1
с концентрацией
.nn В этом случае молекулы
21
28
Глава1.Молекулярнаяфизика
легкого газа в основном будут сталкиваться с молекулами тяжелого газа.
Если ещё учесть, что их средняя скорость много больше
8kT
v =
,
m
а
,mm то получается, что легкая молекула двигается, периодически
12
сталкиваясь с почти неподвижными тяжелыми молекулами. Столкновения
будут происходить, когда центр легкой молекулы будет проходить мимо
центра тяжелой молекулы на расстоянии, меньшем их суммарного радиуса
r
+ r2. В итоге легкая молекула за некоторое время
1
режет в пространстве ломанную трубу сечением
назовём сечением столкновения
этой трубы будет
цию частиц второго типа
(r1+r2)2 ·
n
v ·
, мы получим число столкновений частицы
2
,
(рис. 5), и длиной
12
t. Умножив этот объём на концентра-
1
первого типа с почти неподвижными частицами второго типа за время
t, сталкиваясь, вы-
(r1 + r2)2, которое мы
v ·
t. Объем
1
t.
Следовательно, число столкновений в единицу времени будет
(r1+r2)2 ·
v · n
1
. или
2
·
v · n
12
2.
1
Рис. 5. Столкновения молекул
Соответственно, частота столкновений частицы первого типа с частицами второго выражается формулой
жду столкновениями будет обратной величиной:
=
·
v · n
, а среднее время ме-
12
12
2
1
=
1
12
.
12
Умножив это время движения между столкновениями на среднюю скорость движения, мы найдем среднюю длину свободного пробега легкой
частицы в газе тяжелых частиц:
v
=
1v12
=
12 1 2
1
vn
1
=
12 2
.
n
§7.Столкновениямолекул.Средняядлинасвободногопробега
29
Используем полученные выражения для нахождения длины пробега молекул в собственном газе. Примем, что масса молекул –
n, диаметр молекул – d. Тогда сечение столкновения будет
m, концентрация –
2
=
d
. Сред-
11
няя скорость будет определяться массой и температурой газа:
8kT
v =
.
m
При подсчете числа столкновений в единицу времени будет входить
теперь средняя относительная скорость. Её подсчет – несколько трудоёмкая задача, поэтому приведем легко запоминающийся результат этого подсчета. Оказывается, в выражение для средней относительной скорости будет входить не масса частицы, а её приведенная масса:
mm
12
mm
, т. е.
12
v =
отн
Таким образом, в случае тождественных частиц
будет в
2 раз больше средней скорости.
8kT
.
отн
16kT
m
= 2 v
v =
С учетом этого мы получим, что в этом случае
=
1v11
=
v
1
vn
11 отн 1
1
=
2 n
.
11 1
Полученные результаты легко обобщить на случай смеси газов: с массой молекул
m
и m2, концентрациями n1 и n2, действуя аналогично, мы
1
получим для средней длины пробега для молекул первого типа
=
1
2
nn
111 212
1
mm
12
m
2
,
а для молекул второго типа –
1
mm
12
m
1
,
.
где
12 21
=
2
2
nn
222 121
В заключение этой темы давайте оценим длину пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Поскольку воздух составляют в основном
молекулы азота и молекулы кислорода, в расчете используем их средний
30
молекулярный вес, равный 29 (т. е. 29 г воздуха содержат примерно 6 · 10
молекул и занимают объем 22,4 л). Примем газокинетический диаметр
молекул равным примерно 3 Å = 3 · 10
Глава1.Молекулярнаяфизика
–10
м. Из этих данных концентрация
23
молекул
23
610 1000
n =
22,4
= 2,7 · 1025
шт
м
.
3
Подставив эти данные в выражение, для длины пробега получим
2 n
1
11 1
=
Заметим, что это существенно больше межмолекулярного расстояния,
оцененного нами при тех же условиях в 3 · 10
=
2 dn
1
2
1, 4 9 1 0 2, 7 1 0
1
20 25
–9
м. Из полученных соотно-
3 · 10–7 м.
шений легко получить оценку длины пробега молекул воздуха при различных давлениях:
3
510
(см)
.
Р
мм.рт.ст.
§8.Потокмолекулчерезмалоеотверстие
Полученные выше результаты позволяют найти поток молекул в вакуум через малое отверстие в стенке сосуда. Если размер отверстия
много меньше длины пробега, то столкновений в отверстии не будет, а
концентрация будет возмущена в области порядка размера отверстия.
Подавляющая часть молекул будет прилетать к отверстию из невозмущённых областей. Если отверстие
кости
z, y, то попадание на стенку и, соответственно, в отверстие будет
определяться молекулами, имеющими не нулевую
находится в стенке, лежащей в плос-
v
компоненту ско-
х
рости (рис. 6).
Рис. 6. Истечение газа через малое отверстие
(
d
) в вакуум
отверстия
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]