Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО
.pdf
§2.Электрическоеполеввакууме
101
Единица напряжения в СГСЭ 1
= 300 В, а в СГСМ 1
ед.сгсэ
ед.сгсм
= 10–8 В.
Гауссу принадлежит идея объединить эти системы, положив в законе ампера
1kc . В этой системе напряженность электрического и магнитного полей
имеют одинаковую размерность, и в этом заключается глубокий физический
смысл, так как это разные проявления единого электромагнитного поля. По
этим причинам в физических учебниках по электромагнетизму используется
Гауссова система единиц. Мы также будем придерживаться этой системы при
изложении, давая при необходимости вид
законов в СИ.
§2.Электрическоеполеввакууме
Силу взаимодействия между двумя заряженными телами в вакууме определяет экспериментально установленный Кулоном закон:
qq
12
Fk
.
2
r
Сила взаимодействия пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Коэффициент
пропорциональности зависит от выбора системы единиц – в Гауссовой
системе k = 1, в системе СИ k ≈ 9 · 10
9
. Заряженные одинаковым знаком
тела отталкиваются, разноимённые заряды притягиваются. Принято, что у
электрона отрицательный заряд, а у протона – положительный. Зная выражение для силы взаимодействия, можно найти потенциальную энергию
взаимодействия зарядов. Если расстояние между зарядами увеличится на
dr, то будет произведена работа
qq
12
dA dr
,
2
r
которая будет равна убыли потенциальной энергии
Отсюда
Uqqr .
12
2
r
qq
12
dU dr q q d
12
1
r
.
Константу, с точностью до которой определяется потенциальная энергия, мы положили равной нулю, с тем чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль при бесконечном удалении зарядов друг от друга. Эта потенциальная энергия равна работе по сближению зарядов q
и q2 с
1
бесконечно большого взаимного расстояния до расстояния r. Это выражение можно записать в виде
UAq
,
1
где
qr называют потенциалом создаваемым зарядом q
2
на расстоянии
2
r от него. Фактически потенциал есть работа по перемещению единичного
102
F
F
F
F
Глава3.Электричествоимагнетизм
заряда q = 1 из бесконечности в данную точку. Поскольку потенциальная
энергия задаётся с точностью до константы, разность потенциалов задаётся
однозначно и широко используется в практических приложениях и называется напряжением.
21
rr
21
qq
Закон Кулона можно записать в виде
qE
,
12
где
Eqrr
2 2 12 12
3
ваемой зарядом q
называют напряженностью электрического поля? созда-
в на расстоянии r12 от него. Таким образом, вектор на-
2
пряженности электрического поля направлен от положительно заряженного тела. Величина его пропорциональна заряду, порождающего это поле, и
обратно пропорциональна квадрату расстояния от него. В случае системы
зарядов величина результирующей напряженности электрического поля
будет определяться векторной суммой полей, созданных отдельными зарядами. Этот факт называют
принципом суперпозиции. Сила, действующая
на заряд q, внесенный в это поле, будет
qE
.
Здесь
E
– напряженность результирующего поля в точке расположения
заряда q, создаваемая остальными зарядами. Заряд сложного тела равен
алгебраической сумме зарядов, его составляющих. Даже при ядерных
реакциях суммарный заряд до реакции всегда равен суммарному заряду
после реакции. Этот факт называют законом сохранения заряда, и он явля-
ется фундаментальным законом природы. Из
qE
и
dU dr
по-
лучается, что
d
E
dr
,
а разность потенциалов –
2
21
Приведенные соотношения соответствуют Гауссовой системе единиц.
(сантиметр, грамм, секунда), заряд электрона в ней e = 4,8 · 10
Edl
1
.
–10
единиц
CGSE. В системе СИ эти выражения будут выглядеть так:
qq r
1212
Fr
,
3
4
012
4qr
.
0
§2.Электрическоеполеввакууме
103
В этой системе единичный заряд называют кулоном, который определяется через величину тока. Ток в один ампер соответствует перетеканию
заряда в один кулон за одну секунду. Заряд электрона в этой системе
e = 1,602 · 10
–19
к. Разность потенциалов измеряется в вольтах (В). Единица
разности потенциалов в CGSE соответствует 300 В в СИ. Напряженность
электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м). Константа ε
появляющаяся в СИ, называется диэлектрической проницаемостью вакуума и равна ε
= 8,85 · 10
0
–12
кулон/вольтметр. При решении задач, имеющих
0
прикладное значение, удобнее пользоваться СИ, но при обсуждении физических закономерностей более естественной будет Гауссова система.
Для графического изображения электрического поля пользуются электрическими силовыми линиями, которые проводятся так, что в каждой точке их
направление совпадает с направлением действующего в этой точке электрического
поля. Из этого следует, что силовые линии электростатического поля не
пересекаются. Силовые линии электростатического поля не могут также быть
замкнутыми, поскольку при движении вдоль замкнутой силовой линии совершалась бы работа, а это противоречит закону сохранения энергии. Поэтому силовые линии могут начинаться и оканчиваться на зарядах или, начинаясь
на заряде
, другой конец силовой линии может уходить в бесконечность (вообще говоря, и в этом случае там будут заряды, на которых они оканчиваются) Сразу заметим, что в случае переменных электрических и магнитных полей это не выполняется. В переменном магнитном поле появляется вихревое
электрическое поле, силовые линии которого замкнуты.
Одной
из задач электростатики является расчет электрических полей и
потенциалов по заданному распределению зарядов. Закон Кулона и принцип суперпозиции позволяет найти решение любой задачи электростатики,
если известно положение всех зарядов в пространстве. При небольшом
количестве зарядов с известным их расположением мы можем найти на-
пряженность поля, создаваемую каждым из зарядов
E
, а затем, пользуясь
i
принципом суперпозиции, найти результирующую напряженность как
векторную сумму полей от каждого заряда в интересующей нас точке:
EE
i
i
Однако часто распределение зарядов заранее неизвестно, или вычисление векторной суммы весьма громоздки. В этом случае применяются другие методы. Поскольку результирующий потенциал в данной точке, создаваемый системой зарядов есть алгебраическая сумма
....
.
то бывает проще найти
,
123
(),r
а затем Egrad
,
104
§3.ТеоремаГаусса
Во многих случаях при наличии симметрии распределения зарядов
весьма эффективно применение теоремы Гаусса к нахождению напряженности электрического поля, создаваемого системой зарядов. Введем понятие потока вектора напряженности электрического поля. Возьмем элементарную площадку площадью dS, которую характеризуют величина этой
площади и её ориентация в пространстве. Обе эти величины будет харак
теризовать вектор
ление задаёт нормаль к этой поверхности. Считая, что в пределах неболь-
шой площадки
направления
лярное произведение
электрического поля через замкнутую поверхность будет определяться
интегралом
Теорема Гаусса утверждает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность площадью S пропорционален суммарному заряду, находящемуся внутри этой поверхности, т. е.
В случае непрерывного распределения заряда с некоторой объёмной
плотностью ρ (x, y, z), применив теорему Гаусса к элементарному объёму
dxdydz, мы получим теорему Гаусса в дифференциальной форме:
Учтя, что это
4divgrad , которое является основным уравнением не только элек-
тростатики, но и всей электродинамики. Дифференциальный оператор
divgrad называют оператором Лапласа
Уравнение
чай
нат оно будет выглядеть так:
0 называют уравнением Лапласа. В декартовой системе коорди-
Глава3.Электричествоимагнетизм
dS
, длина которого численно равна площади, а направ-
Egrad
E
, назовём элементом потока вектора напряженности ска-
Egrad
4 называют уравнением Пуассона, а частный слу-
можно пренебречь изменением величины и
dФ EdS
. Полный поток вектора напряжённости
.
EdS
S
EdS q
S
, мы получим дифференциальное уравнение
222
ddd
222
dx dy dz
4
4divE
.
.
0.
-
§4.Типичныезадачиэлектростатики
§4.Типичныезадачиэлектростатики
105
Проверим работу теоремы Гаусса для одиночного заряда. На расстоянии r от заряда возьмем сферическую поверхность c площадью S = 4πr
Напряженность поля на этой поверхности везде E = q/r
2
, поэтому в согла-
2
сии с теоремой Гаусса получим
.
EdS q
S
Понятно, что поток не изменится, если мы изменим радиус сферы или
заряд будет смещён от центра сферы. Если вместо вектора
4
E
в расчете по-
тока использовать вектор плотности потока жидкости вытекающей из тон-
кой трубки в безграничное пространство
случае полный поток J
г сек через любую поверхность, охватывающую
j
м сек
г
, то в стационарном
2
источник, будет одним и тем же и равен J. Это будет выполняться для любого вектора, величина которого зависит от расстояния до источника как
2
1/r
. Первое следствие этой теоремы в нашем случае следующее. Напря-
женность электрического поля точечного заряда и такого же заряда, равномерно распределённого на поверхности сферы или сферически симметрично заряженного шара, на расстояниях r, превышающих их размеры,
будет одинакова и равна E = q/r
2
. Если поверхность не охватывает ни од-
ного заряда, хотя и проходит рядом с ними, то
.
EdS
S
0
Взяв сферическую поверхность, проходящую внутри заряженной сферы
из последнего равенства, мы приходим к заключению, что внутри заряженной сферы Е = 0. Соответственно, напряженность поля равномерно
заряженного шара радиуса R, при r < R, будет определятся только зарядом
внутри сферы r, т. е.
4
3
r
qqr
E
3
3
R
23
rR
4
3
.
Для демонстрации эффективности расчета полей с использованием теоремы Гаусса рассчитаем поле равномерно заряженной бесконечной нити, используя принцип суперпозиции и применив теорему Гаусса. «Бесконечно
длинная» означает, что мы находим поле в районе центра заряженной нити на
расстоянии
много меньшем её длины. На расстоянии r от точки А на
,rL
.
106
x
x
Глава3.Электричествоимагнетизм
нити кусочек заряженной нити длиной dx, расположенный на расстоянии x от
точки А будет создавать напряженность
Рис. 31. Поле длинной заряженной нити
E
(рис. 31).
22
r
dx
Здесь ρ – заряд на единицу длины нити. Расположенный симметрично
от точки А заряд ρdx будет создавать такую же напряженность поля, но
направленную под симметричным углом к r. В результате составляющие
полей вдоль нити в сумме дадут 0, а составляющие вдоль направления r
сложатся. Величина этих составляющих будет равна
dx x
22
xr
.
22
r
E
cos
Результирующую напряженность поля в точке r даст интеграл:
E
xdx d x r
2
00
()()
xr xr
33
22 22
22
22
()2
.
r
Этот результат мы получили относительно легко, считая нить тонкой
(d << r). В случае толстой нити расчет сильно усложнится, хотя в итоге
получится тот же результат. Применим теорему Гаусса для нахождения
электрического поля однородно заряженной «толстой» нити. На расстоянии r > d окружим нить цилиндрической поверхностью длины L (рис. 32).
Рис. 32. Поле толстой заряженной нити
§4.Типичныезадачиэлектростатики
107
Из соображений симметрии вектор напряженности электрического поля
E
будет ортогонален оси нити, а его величина будет постоянна на всей
цилиндрической поверхности. Тогда поток вектора напряженности электрического поля через торцы цилиндра будет равен нулю, а через боковую
поверхность, согласно теореме Гаусса
24ErL L
.
В итоге E = 2ρ/r, но в данном случае нам не понадобилось предположе-
ние
.dr Более того, мы также легко найдем напряженность поля и внут-
ри однородно заряженной по объёму нити. Фактически нужно, чтобы
плотность объёмного заряда зависела только от r, т. е. ρ = ρ(r).
В заключение этого раздела найдём поле у поверхности «бесконечной»
заряженной плоскости, т. е. найдем поле на расстоянии
,hL много
меньшем размеров плоскости, вдали от её краёв, считая поверхностную
плотность заряда σ = const. Возьмём цилиндрическую поверхность высоты
h, радиуса r, проходящую сквозь плоскость (рис. 33).
Рис. 33. Поле «бесконечной плоскости
Из соображений симметрии вектор напряженности электрического поля
должен быть ортогонален плоскости, поэтому поток вектора напряженности поля будет определяться только торцевыми поверхностями. Согласно
теореме Гаусса,
2
E2πr
= 4πq = 4πσπr2.
Отсюда
2E
и не зависит от расстояния до плоскости, естественно, пока
много
hL
меньше размеров плоскости вдали от её краёв.
108
Глава3.Электричествоимагнетизм
§5.Проводникивэлектрическомполе
К проводникам относятся металлы, электролиты, ионизованный газ,
плазма. Их отличительной особенностью является наличие в их объёме свободных зарядов, которые при появлении электрического поля будут перемещаться под его действием. Положительно заряженные частицы будут перемещаться вдоль направления поля, отрицательно заряженные – в
противоположном направлении. Это будет приводить к разделению зарядов
и
появлению электрического поля, направленного противоположно внешнему. Это будет продолжаться, пока результирующее поле внутри объёма не
станет равно нулю, а разделенные заряды будут сосредоточены на поверхности. При этом возникает несколько характерных особенностей.
1.
Потенциал вдоль поверхности проводника постоянен (иначе говоря,
поверхность проводника эквипотенциальна). Действительно, в противоположном случае появляется поле вдоль поверхности
2
21
Edl
1
,
но тогда разделение зарядов продолжится, пока разность потенциалов не
станет равна нулю:
0
.
21
2. Вектор напряженности электрического поля у поверхности провод-
ника ортогонален поверхности. Это определяется отсутствием поля вдоль
поверхности проводника.
3. Поместим внутрь незаряженной толстостенной проводящей сферы
заряд +q. За счет поля этого заряда появятся заряды на внутренней и
внешней поверхности сферы. Знак заряда на внешней поверхности будет
совпадать со знаком +q, а
на внутренней поверхности будет противоположным, при этом величины этих зарядов будут одинаковы, так как сфера
не была заряжена. Проведя внутри проводящей сферы замкнутую поверхность, мы придем к выводу, что заряд на внутренней поверхности равен по
величине, но противоположен по знаку заряду, внесённому внутрь полости, так как поле внутри
проводника 0, а значит и суммарный заряд внутри
нашей поверхности 0. Перемещение заряда внутри полости не будет изменять поле вне сферы, которое будет в данном случае сферически симметрично и совпадет с полем точечного заряда, помещенного в центр сферы.
qr
Er
.
3
§6.Электрическоеполевдиэлектриках
109
Перемещение заряда внутри полости будет приводить к изменению поверхностной плотности зарядов на внутренней поверхности, но на внешней поверхности это не будет приводить к перераспределению зарядов.
4. Внутри проводящей полости поля внешних зарядов равны 0, говорят,
что замкнутые проводящие полости экранируют внешнее электрическое
поле, это часто используют, экранируя чувствительные части приборов,
компьютерной техники.
§6.Электрическоеполевдиэлектриках
Эффект ослабления внешнего поля проявляется и в диэлектриках – веществах, не проводящих электрический ток. По свойству молекул, составляющих эти вещества, их можно разделить на два класса. К одному классу можно
отнести диэлектрики, состоящие из полярных молекул – молекул, в которых
их положительный заряд смещён относительно отрицательного заряда. Такую
молекулу можно смоделировать
диполем – системой из двух одинаковых по
величине зарядов разного знака, смещённых друг относительно друга на расстояние l. Количественной характеристикой диполя является дипольный мо-
мент
pql
, произведение заряда на расстояние между ними, l направлено
от положительного заряда к отрицательному. Ко второму классу относятся
молекулы, не имеющие дипольного момента. Однако он появляется во внешнем поле за счет деформации электронной оболочки. При внесении этих диэлектриков во внешнее электрическое поле за счет кулоновских сил дипольные моменты будут стараться ориентироваться против поля. Хаотическое
тепловое
движение молекул будет мешать этому процессу. В итоге поле внутри диэлектрика будет состоять из внешнего поля и направленного против него
некоторого результирующего поля диполей. Это последнее поле сильно неоднородно, и мы будем в дальнейшем иметь в виду его средние по объёму вели-
чины. Величина этого поля
E
в итоге будет определятся средним ре-
поляриз.
зультирующим полем в диэлектрике и в слабых полях пропорционально ему:
EE
поляриз.
.
Введем вектор электрической индукции
D
, который в случае однородного поля равен вектору напряженности электрического поля свободных
зарядов, т. е. зарядов, не связанных с молекулами диэлектрика. В СГС в
вакууме
DE
. Учитывая, что среднее поле, создаваемое поляризацией
диэлектрика, определяется не внешним, а результирующим полем внутри
диэлектрика, мы можем записать для поля внутри диэлектрика:
ED E
или (1 )ED
.
110
Глава3.Электричествоимагнетизм
Величину ε = 1 + называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Из простых молекул она самая большая у воды (80), у воздуха
(1,0006), у фарфора (7). Но у специальных керамик она может достигать
десятков тысяч. Можно говорить, что поляризация диэлектрика ослабляет
внешнее поле в ε раз:
ED
.
Рассмотрим поведение этих векторов на границе раздела двух сред
с ε
и ε2. Расположим границу раз-
1
дела двух диэлектриков под углом,
не равным 90
о
относительно вектора
внешнего поля. Соответственно,
векторы напряженности электрического поля и векторы электрической индукции в диэлектриках также не будут ортогональны линии
раздела, но в однородных диэлектриках будут совпадать по направлению в каждой из сред. Разложим
эти векторы на ортогональные и
параллельные составляющие отно-
Рис. 34. Граничные условия для
E
сительно границы раздела (рис
D
и
. 34).
Появляющиеся на границе раз-
дела поляризационные заряды σ
создают поле, перпендикулярное по-
12
верхности, поэтому ортогональные поверхности, составляющие вектора
напряженности электрического поля, изменятся при переходе через границу на величину
EE.
12 12
nn
4
Параллельные поверхности (тангенциальные), составляющие напря-
женности, изменяться не должны, поэтому
EE ,
12
tt
0
отсюда
EED D
121122ttt t
.
Поле внешних зарядов не изменяется при переходе через границу, поэтому нормальные составляющие вектора индукции электрического поля
непрерывны на границе:
DD
12nn
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]