Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм. Учебное пособие для СПО
.pdf
§7.Электрическаяёмкость.Конденсаторы
111
§7.Электрическаяёмкость.Конденсаторы
Один и тот же заряд q на проводниках различных размеров и формы создает относительно бесконечности разную разность потенциалов Δφ, но она всегда пропорциональна заряду:
Cq
.
Коэффициент пропорциональности С называют емкостью проводника.
Потенциал проводника сферической формы относительно бесконечности
qR
,
отсюда его емкость C = R. Электрическая ёмкость пропорциональна размерам
и в СГС измеряется в сантиметрах. В СИ электрическая емкость измеряется в
фарадах:
кулон 310 СГС
1 Ф 910 см
вольт 1 300 СГС
9
11
.
Важное практическое применение имеют конденсаторы. Конденсатор
состоит из двух проводников, называемых обкладками, заряженных одинаковыми по величине, но разными по знаку зарядами. И в этом случае
разность потенциалов между обкладками пропорциональна заряду
CΔφ = q, а коэффициент пропорциональности будет определяться геометрией электродов и диэлектриком, разделяющим обкладки.
Плоский конденсатор. Найдем емкость
конденсатора, представляющего
две проводящие пластины площадью S каждая, расположенные параллельно друг другу, на небольшом расстоянии d и заряженные одна зарядом
+q, другая –q (рис. 35).
Рис. 35. Емкость плоского конденсатора
Напряженность электрического поля у поверхности плоскости опреде-
qS
ляется плотностью заряда E = 2πσ, которая в нашем случае
. Меж-
112
Глава3.Электричествоимагнетизм
ду обкладками поля пластин складываются, и результирующее поле
E = 4πσ. На внешних сторонах поля вычитаются, и поле вне конденсатора
равно нулю. Разность потенциалов между пластинами равна
d
Edl
0
dS
= 44
qd
,
отсюда емкость
qS
Cd
.
4
В случае заполнения пространства между пластинами диэлектриком поле
уменьшится в
раз. Соответственно, во столько же раз уменьшится разность
потенциалов, и ёмкость конденсатора в этом случае будет в ε раз больше:
S
C
.
4
d
В системе СИ емкость будет равна
S
0
C
.
d
На практике для уменьшения габаритов две полоски фольги, разделённые диэлектриком, сворачивают в спиральную конструкцию. В электролитических конденсаторах в качестве разделяющего диэлектрика используется непроводящий оксидный слой на поверхности алюминиевой фольги.
Поскольку толщина оксидной плёнки мала, удается при разумных размерах получать емкости до 100 000 мкф.
Цилиндрический конденсатор. Цилиндрический конденсатор
ляет собой два коаксиальных электрода радиуса R
и R2, длиной l, разде-
1
представ-
лённые слоем диэлектрика (рис. 36).
Рис. 36. Цилиндрический конденсатор
§8.Электрическийток
A
113
Таким конденсатором является кусок коаксиального кабеля, который
широко используется в радиотехнике, электронике, компьютерной технике. Напряженность электрического поля между электродами равна
2
E
,
r
при наличии диэлектрика –
2
E
.
r
В этом случае разность потенциалов будет
R
2
2
dr
R
=
r
1
R
2
2
ln
=
R
1
R
q
2
2
ln
.
lR
1
Соответственно, ёмкость
2ln
,
R
2
R
1
ql
C
в системе СИ
2lnl
C
Так, ёмкость метрового отрезка кабеля обычно составляет около
100 пФ = 10
–10
Ф.
0
.
R
2
R
1
Энергия заряженного конденсатора. Предположим, что плоский кон-
денсатор емкостью С имеет заряд q. Переместим с одной пластины на другую заряд dq, увеличивая разделение зарядов. Наша работа против сил
электрического поля будет
dA dqU dq
q
.
C
Полная работа по переносу зарядов будет даваться интегралом:
q
1
Aqdq
CC
0
2
q
.
2
Учитывая, что q = CU, получим
2
2
CU W .
Работа пошла на увеличение энергии заряженного конденсатора W. Таким образом, энергия заряженного конденсатора
2
CU
W
.
2
114
F
Глава3.Электричествоимагнетизм
S
В плоском конденсаторе U = Ed, а
Cd
. Подставив это в выраже-
4
ние для энергии конденсатора, получим
22
EE
WSdV
88
(CGSE),
где V – объём конденсатора. Получается, что энергия заряженного конденсатора сосредоточена в его поле, а плотность этой энергии равна
2
8E
.
Плоский конденсатор мы использовали для упрощения расчетов. Более
общее утверждение заключается в следующем: электрическое поле обладает энергией, плотность которой в пространстве
2
8E
.
§8.Электрическийток
Если в среде, в которой есть свободные заряды, появляется электрическое поле, на их хаотическое тепловое движение накладывается дрейфовое
движение, обусловленное взаимодействием с полем:
qE
.
В проводниках это электроны, в электролитах и ионизованных газах – положительно и отрицательно заряженные ионы. В первом приближении это
можно представить так: ускоряясь между столкновениями, при столкновении
они полностью теряют скорость направленного движения в процессе столкновения, и после этого процесс повторяется. В итоге в слабых полях средняя
скорость дрейфа
вдоль поля оказывается пропорциональна полю:
VE
др
.
Положительно заряженные частицы дрейфуют по направлению поля,
отрицательно заряженные – в обратном направлении. Дрейфовые скорости, как правило, много меньше тепловых:
.
др
8kT
m
V
Плотность потока этих частиц будет определяться концентрацией и
дрейфовой скоростью
nV
. В итоге возникнет поток переноса заряда
др
()jn n E
,
§8.Электрическийток
J
J
J
который мы назовём плотностью электрического тока. Полный ток будет
определяться сечением проводящей среды и в общем случае будет
jd S
.
115
Если через поверхность некоторого объёма втекает результирующий
ток
Понятно, что
В дифференциальной форме это запишется как
Последнее уравнение называют уравнением непрерывности. При стационарном распределении зарядов мы получим
Чаще всего мы сталкиваемся с током в металлических проводниках, в
которых заряд переносится электронами. В этом случае плотность тока
можно записать как
Здесь коэффициент пропорциональности σ называется электропроводностью. Не нужно путать его с плотностью заряда, используемого выше.
Соотношение
Попробуем получить из него более привычную интегральную форму зако-
на Ома: ток пропорционален напряжению на участке цепи и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.
jd S
, то будет изменяться во времени заряд этого объёма.
jE
называют законом Ома в дифференциальной форме.
dQ
dt
d
dt
jnEE
J
divj
UR
0
.
0
.
.
0divj
.
.
Возьмём проводник постоянного сечения S, длины l и приложим к
его концам разность потенциалов U. В проводнике появится напряженность электрического поля
дрейфовое движение электронов и появится электрический ток, плотность которого
Если принять за положительное направление тока движение положительно заряженных частиц, движение отрицательно заряженных час-
EUl
jnEE
, под действием которой начнётся
.
116
Глава3.Электричествоимагнетизм
тиц в обратном направлении также будет положительным током. Тогда
полный ток
JjS S
где
RlS. Назовём это электрическим сопротивлением нашего про-
водника. Часто вместо σ используют обратную величину
UU
,
lR
1, которую
называют удельным сопротивлением проводника. В этом случае выражение для сопротивления проводника будет следующим:
l
R
.
S
В СИ сопротивления измеряют в Омах, 1 Ом =
1 В 1 А . Если при
напряжении в 1 В через сопротивление протекает ток в 1 А, то сопротивление равно 1 Ом. Поскольку работа по перемещению заряда равна
А =
q , получаем, что мощность выделяемая на сопротивлении W = J · U
или с учетом закона Ома равна
2
U
2
WJR
.
R
§9.Магнитноеполе
После изобретения в Китае компаса конец намагниченной стрелки,
показывающий направление на север, стали называть северным полюсом, а противоположный – южным. Одним из удивительных свойств
магнитов является то, что при разламывании у каждого кусочка снова
появляется северный и южный полюс. Возникал вопрос о том, нельзя
ли, разламывая магнит на все более мелкие
кусочки, получить только
северный или только южный полюс. Другими словами, не существует
ли северных и южных магнитных зарядов по аналогии с электрическими.
Магнетизм связывался со свойствами вещества. Это продолжалось до исследований датского учителя Х. К. Эрстеда, который обнаружил, что ток
создаёт магнитное поле (1820 г.). Через год А. Ампер
установил, что токи
взаимодействуют друг с другом. В дальнейшем Ж. Б. Био и Ф. Савар показали, что это взаимодействие осуществляется через магнитное поле. После
этих исследований магнитное поле связывали с движением электрических
зарядов, а намагниченность вещества определяется молекулярными токами
в них.
§9.Магнитноеполе
J
J
J
J
J
J
F
H
117
А. Ампер в результате длительных и кропотливых исследований сфор-
мулировал закон взаимодействия токов:
Jdl dl r
12 1 2 12
dF
12
dF
12
23
cr
12
Jdl dl r
012 1 2 12
Ж. Б. Био и Ф. Савар объяснили это сложное взаимодействие следую-
щим образом. Элемент тока длиной
мента тока
dl
с током
1
магнитное поле
1
взаимодействует с этим магнитным полем как
(в Гауссовой системе),
3
2
r
12
(в системе СИ).
dl
с током
2
B
создаёт в районе эле-
2
dl r
2
F
12
21 12
, а первый ток
3
cr
12
dl B
11 2
3
cr
12
.
Получается довольно сложная для восприятия картина взаимодействия.
Чтобы иметь о ней представление, рассмотрим два параллельных проводника, расположенных на расстоянии r друг от друга. В случае если по проводникам текут токи в одну сторону, появляется сила, сближающая проводники, если же токи текут в разные стороны, проводники отталкиваются.
Именно
который, протекая по параллельным проводникам, расположенным на расстоянии в 1 м, обеспечивает силу взаимодействия в 2 · 10
таким образом в СИ определяется ампер. Ток в 1 А – это такой ток,
–7
ньютона на каж-
дый метр длины провода. Отсюда из закона Ампера в СИ
генри
Н
7
0
410
2
м
А
.
Гораздо проще разобраться с направлением сил, используя выражение
для силы Лоренца, которое определяет силы, действующие на положительный заряд в электрических и магнитных полях:
qE q V B
Заметим, что магнитное поле действует только на движущуюся частицу.
Исторически сложилось так, что магнитное поле
ловое действие и вызывает ЭДС в проводниках, назвали вектором магнитной индукции, а вспомогательное поле
для расчета
B
, назвали напряженностью магнитного поля. Будем в даль-
.
B
, которое оказывает си-
, которое мы будем использовать
118
H
H
H
J
нейшем называть магнитным полем именно B. В СГС в вакууме B
Глава3.Электричествоимагнетизм
=
, и
они имеют одинаковую размерность. В средах
B
=
,
где μ – безразмерный коэффициент, который показывает, во сколько раз
изменится магнитное поля тока в вакууме при помещении его в магнитоактивную среду. Различают три вида веществ.
1)
Парамагнетики. В этих средах орбитальное движение электронов ори-
ентируется по полю так, что поле становится немного больше. Так, у марганца
μ = 1,0038, у азота μ = 1,000000013, у алюминия μ = 1,000023, т. е. μ ≈ 1.
2)
Диамагнетики. У них молекулы не имеют собственного магнитного мо-
мента, поэтому они намагничиваются навстречу. У висмута μ = 0,999824,
кремний μ = 0,999837, вода μ = 0,999991, т. е. μ ≈ 1.
3)
Ферромагнетики. Из-за доменной структуры, о которой мы погово-
рим ниже, они усиливают поле в 100
5
10 раз. Это железо, сталь, никель,
кобальт, гадолиний и их сплавы с другими металлами.
Таким образом, если бы не ферромагнетики, в практических приложениях можно было бы считать
B
= ,
как в вакууме.
§10.Методырасчетамагнитныхполей
В простейших случаях можно рассчитать величину магнитного поля в
вакууме, пользуясь законом Био – Савара:
dB
Найдем направление и величину
щим по длинному прямому проводу в точке, отстоящей на R от него. Снача-
ла найдём направление
B
. Находя векторное произведение dl r
мы приходим к выводу, что направления
стками тока, совпадают, и при вращении R вокруг провода вектор
dl r
0
4
(СИ).
3
r
B
, создаваемого током J, протекаю-
B
, создаваемые различными уча-
(рис. 37),
B
оказы-
вается касателен этой окружности.
Рис. 37. Поле прямого провода
§10.Методырасчетамагнитныхполей
J
J
J
119
При этом выполняется правило «правого буравчика»: если вращать пра-
вый буравчик так, чтобы он двигался в направлении тока, направление движения рукояток буравчика будет совпадать с направлением
Теперь необходимо найти величину
.B
Выделим на расстоянии r от
B
.
точки, где мы определяем магнитное поле, элемент провода dl. Этот элемент тока даст вклад в поле
sindl
0
dB
,
2
r
где α – угол между dl и r. Из рисунка видно, что dl = sin α = rd α. Отсюда
sindl rd . Кроме этого r sin
= R. Соответственно, sinrR
.
Подставив это, мы получим
sin
d
0
dB
4
.
R
Соответственно,
2
00
Bd
2sin
RR
42
0
2
BcR (СГС).
J
(СИ),
Поскольку в практических приложениях часто используются цилиндрические катушки с намотанным на них проводом, найдем поле одиночного витка радиуса R, по которому течет ток J на оси этого витка, на расстоянии х от него (рис. 38).
Рис. 38. Поле кругового витка
Из рисунка видно, что в результирующее поле будет давать вклад только компонента поля
sin
Jdl
dB dB
sin
x
0
.
2
4
r
120
J
J
J
Глава3.Электричествоимагнетизм
Учтя, что
22
rRx
, а sin
R
,
r
мы получим
22
2
JR JR
00
22 22
Rx Rx
33
22
.
B
x
Rdl
0
22
l
Rx
4( )
=
3
2
4( ) 2( )
Используя этот результат, найдем поле соленоида – длинной цилиндрической намотки провода, с плотностью витков на единицу длины
nNL (рис. 39).
Рис. 39. Поле соленоида
Запишем результат предыдущей задачи в виде
2
nR dl
0
dB
x
2( )
22
Rx
3
2
и учтя, что
1
22
()Rx r
2
, sinrR
, а
rd
sin
,
dl
после подстановки
sin
Nd
dB
0
x
L
получим
2
sin
JN d JN
B
00
x
1
LL
(cos cos )
12
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]