Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тригонометрия в упражнениях и задачах. Учебное пособие
.pdf
А.Д. Нахман
ТРИГОНОМЕТРИЯ
В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 51
ББК 22.1
Н34
Автор:
Нахман А.Д. — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики
Тамбовского государственного технического университета
Рецензенты:
Плотникова С.В.— д-р техн. наук, доц.
Тамбовского государственного технического университета;
Мирзаева Т.В.— канд. филол. наук, доц.,
зав. кафедрой общеобразовательных дисциплин
ТОГОАУ ДПО «Институт повышения квалификации работников образования»
Нахман, Александр Давидович.
Н34 Тригонометрия в упражнениях и задачах : учебное пособие /
А.Д. Нахман. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2026. — 93 с. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-4497-4795-2
В учебном пособии изложены основные понятия и факты
тригонометрии. Предложены задания для входного контроля
и теоретические упражнения. Приведены методические указания
к решениям задач (как типовых, так и повышенной и высокой сложности),
а также упражнения для самостоятельной работы учащихся.
Адресовано широкому кругу читателей: преподавателям математики,
выпускникам школ для подготовки к ЕГЭ, студентам инженерных
и экономических специальностей и направлений подготовки, изучающим
дисциплины «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Высшая
математика», «Элементарная математика», а также для повторения
тригонометрического материала.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4795-2 © Нахман А.Д., 2017
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
Учебное издание
Нахман Александр Давидович
Издано в авторской редакции
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 18.09.2025. Объем данных 8 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................... 5
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ: ВОПРОСЫ СОДЕРЖАНИЯ ................................................... 6
1.1. Цели и задачи курса тригонометрии ........................................................................ 6
1.2. Вопросы содержания ................................................................................................. 8
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .................................................. 11
2.1. Тригонометрические функции ............................................................................... 11
2.2. Формулы тригонометрии ........................................................................................ 17
2.3. Обратные тригонометрические функции .............................................................. 20
2.4.Тригонометрические уравнения и неравенства ..................................................... 24
3. ОПОРНЫЙ МАТЕРИАЛ. СОДЕРЖАНИЕ ВХОДНОГО КОНТРОЛЯ ................ 27
3.1. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ................. 27
3.2. Задания для входного контроля ............................................................................. 27
3.3. Тесты для проверки знания основных определений и фактов тригонометрии . 28
3.4. Теоретические упражнения .................................................................................... 31
4. ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ И УПРОЩЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ ................................................................................................................. 33
4.1. Основные типы задач .............................................................................................. 33
4.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................................. 36
5. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ........................................... 38
5.1. Основные классы задач ........................................................................................... 38
5.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................................. 42
6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ........................... 43
6.1. Условия равенства тригонометрических функций .............................................. 43
6.2. Однородное тригонометрическое уравнение ....................................................... 44
6.3. Линейное тригонометрическое уравнение ............................................................ 46
6.4. Системы тригонометрических уравнений ............................................................ 48
6.5. Тригонометрические неравенства .......................................................................... 51
6.6. Задачи открытого сегмента банка заданий ЕГЭ ................................................... 54
6.7. Задачи для самостоятельного решения ................................................................. 61
7. ЗАДАНИЯ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ ........... 62
7.1.Задания с решениями ................................................................................................ 62
7.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................................. 71
8. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ... 73
8.1 Задача о расширении множества действительных чисел ..................................... 73
8.2. Мнимая единица. Комплексные числа .................................................................. 74
8.3. Алгебраические операции над комплексными числами...................................... 76
8.4. Комплексные числа в тригонометрической форме .............................................. 78
8.5. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения............ 82
8.6. Упражнения к главе 8 .............................................................................................. 87
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................... 89
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................................... 93
5
ВВЕДЕНИЕ
Тригонометрия – важная и весомая составляющая школьного курса
математики. Тригонометрический материал представлен в контрольноизмерительных материалах единого государственного экзамена, традиционно
используется в математических олимпиадах, сохраняя характер селективного
инструмента отбора. Соответственно, сохраняется потребность в методическом
сопровождении обучения этому блоку содержания. В средней школе долгое
время существовал отдельный курс тригонометрии, обеспеченный учебниками
и задачниками. Но постепенно тригонометрический материал «растворился» в
курсе геометрии, алгебры, анализа. У учащихся укоренилось ощущение, что
тригонометрия – это многочисленный набор не запоминаемых формул.
Безусловно, определенный минимум формул учащийся должен знать на память,
но приоритеты должны быть отданы именно своеобразным идеям
тригонометрии, существенно новым для учащегося дидактическим единицам:
понятию тригонометрической окружности, свойствам периодичности,
неоднозначной обратимости тригонометрических функций и др. Освоение
тригонометрии требует определенного уровня вычислительной культуры,
культуры алгебраических преобразований, знаний геометрии,
сформированности представлений о функциональных зависимостях и общих
свойствах функций и др.
Настоящее пособие может быть использовано, в первую очередь, для
обобщающего повторения тригонометрии. Обобщающее повторение
целесообразно организовывать в виде решения системы тематических
упражнений нарастающей трудности, сопровождаемого классификацией типов
задач и формулировкой обобщенных приемов их решения. Указанные ниже
вопросы содержания и последовательность прохождения тем могут быть
положены также в основу «адаптивного» курса для студентов вузов со слабой
математической подготовкой.
6
1. ТРИГОНОМЕТРИЯ: ВОПРОСЫ СОДЕРЖАНИЯ
1.1. Цели и задачи курса тригонометрии
1.1.1 Образовательные цели:
- овладение системой знаний и умений в области тригонометрии,
необходимых для продолжения образования, освоения смежных дисциплин,
использования в математическом моделировании некоторых периодических
процессов, применения в практической деятельности,
Развивающие цели:
- развитие алгоритмической культуры;
- развитие критичности мышления, интуиции, логического мышления.
Воспитательные цели:
- воспитание интереса к математике, стремления к использованию
математических знаний (в частности, знаний в области тригонометрии) в
повседневной жизни, способности к преодолению трудностей;
- воспитание средствами математики культуры личности, отношения к
математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости
математики для общественного прогресса.
1.1.2. Задачи курса тригонометрии:
- использование тригонометрических функций острых углов в решении
прямоугольных треугольников;
- формирование понятий тригонометрической окружности,
тригонометрических функций произвольных углов и ознакомление со
свойствами и графиками этих функций;
- изучение основных связей между тригонометрическими функциями
одного и различных аргументов (тригонометрических формул) и их
использование в преобразованиях тригонометрических выражений;
- ознакомление с обратными тригонометрическими функциями, их
свойствами и графиками;
7
- изучение основных приемов решения тригонометрических уравнений и
неравенств.
1.1.3. В результате изучения тригонометрии учащийся должен
знать:
- определения основных тригонометрических функций и функций, им
обратных, а также вид их графиков; значения синуса, косинуса, тангенса,
котангенса стандартных аргументов;
- формулы преобразования тригонометрических выражений;
- формулы решения простейших тригонометрических уравнений;
уметь:
- упрощать тригонометрические выражения, вычислять их значения;
- упрощать суперпозиции, содержащие «прямые» и обратные
тригонометрические функции;
- выполнять преобразования графиков тригонометрических функций;
- решать тригонометрические уравнения стандартных типов и
простейшие тригонометрические неравенства;
- применять свойства тригонометрических функций при решении
нестандартных задач («перенос» знаний и умений в новые ситуации).
1.1.4. Изучение тригонометрии в составе математических
дисциплин непосредственно или опосредовано способствует формированию
следующих общекультурных компетенций:
- владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке целей и выбору путей ее достижения;
- способность к абстрактному и критическому мышлению, к принятию
нестандартных решений и разрешению проблемных ситуаций;
- способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь, публично представлять собственные и известные научные
результаты, вести дискуссии;
- способностью к саморазвитию, самореализации, приобретению новых
знаний, повышению своей квалификации и мастерства;
8
- способностью критически оценивать свои достоинства и недостатки,
определять пути и выбрать средства развития достоинств и устранения
недостатков;
общепрофессиональных компетенций (студентов высших учебных
заведений):
- способность выявить естественнонаучную сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для
решения соответствующий физико-математический аппарат;
- способность к применению методов алгебры, геометрии,
математического анализа теоретического и экспериментального исследования;
- способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных,
необходимых для решения поставленных профессиональных задач, а также
выбирать инструментальные средства для обработки полученных,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы;
- способность на основе описания реальных процессов и явлений строить
стандартные теоретические, эконометрические и др. модели, анализировать и
содержательно интерпретировать полученные результаты их исследования
1.2. Вопросы содержания
1.2.1. Вводный материал: тригонометрические соотношения в
прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса
острого угла. Тригонометрические функции в треугольнике с гипотенузой
единичной длины. Соотношения между тригонометрическими функциями
острого угла. Решение прямоугольных треугольников.
1.2.2. Основные тригонометрические функции.
Тригонометрическая окружность. Отсчет углов, отрицательные и
положительные углы. Градусная и радианная меры дуг (углов). Функции y=sin
9
x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x. Значения тригонометрических функций аргументов,
кратных
2
. Таблица значений тригонометрических функций углов
6
,
3
,
4
.
Знаки тригонометрических функций в различных четвертях
тригонометрического круга. Формулы связи функций одного аргумента.
Характер четности и периодичность основных тригонометрических
функций. Формулы приведения.
Графики основных тригонометрических функций. Преобразования
графиков.
1.2.3. Преобразование тригонометрических выражений.
Формулы сложения. Формулы преобразования произведений
тригонометрических функций в сумму и суммы тригонометрических функций в
произведение.
Тригонометрические функции двойного аргумента. Формулы понижения
степени. Выражения синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента.
Простейшая гармоника
tAy sin
. Преобразование линейного
тригонометрического выражения
tbtay cossin
к простейшей гармонике.
Техника преобразования тригонометрических выражений.
1.2.3. Обратные тригонометрические функции.
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса,
многозначность, главные значения.
Функции вида
xy arcsin
,
xy arccos
, y=arctg x, y=arcctg x: области
определения, множества соответствующих значений, характер монотонности,
графики. Связи значений арксинуса и арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса одного и того же аргумента.
Нечетность функций
xy arcsin
, y=arctgх и свойства вида
xx arccosarccos
, arcctg
xx arcctg
.
10
Преобразования суперпозиций типа «обратная функция от
тригонометрической» и «тригонометрическая функция от обратной» (напр.,
sinarcsin
,
xarccossin
и т.п.).
1.2.4. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Простейшие тригонометрические уравнения :
ax sin
,
ax cos
, tg х = а,
сtg x = а. Частные случаи простейших уравнений при а = 0, а = 1, а=1.
Алгебраические методы решения тригонометрических уравнений:
уравнения, сводящиеся к квадратным, другие случаи замены переменных в
тригонометрических уравнениях, метод разложения на множители.
Условия равенства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.
Сведение к этим условиям уравнений вида
0sinsin yx
,
0coscos yx
,
0cossin yx
.
Однородные тригонометрические уравнения.
Линейные тригонометрические уравнения.
Техника решения тригонометрических уравнений различных типов.
Отбор корней в заданном интервале.
Системы тригонометрических уравнений.
Простейшие тригонометрические неравенства.
1.2.5. Задачи, использующие тригонометрический материал:
Задачи «реальной математики».
Задачи математического анализа, связанные с исследованием
тригонометрических функций.
Задачи с параметрами и другие задачи повышенного и высокого уровней
сложности.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]