Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тригонометрия в упражнениях и задачах. Учебное пособие
.pdf
71
Осталось решить стандартную задачу на поиск наибольшего и
наименьшего значений функции
)(tg
на отрезке
1;
2
1
, которая решается с
использованием производной. Имеем
ttg 4
2
1
)(
; критическая точка
1;
2
1
8
1
0
t
; при этом
1
2
1
;
4
1
1;
32
57
8
1
ggg
.
Значит,
32
57
;
4
1
;
32
57
;
4
1
ggg
наибольшеенаименьшее
, и, наконец,
32
57
;
4
1
a
.
Ответ:
32
57
;
4
1
.
7.2. Задачи для самостоятельного решения
1. При каждом действительном значении решить уравнение
1)cos(sin22
2
xctgxctg
.
2. Найти множество значений функции
y = 1–4cos x + 4sin2x.
3. Найти наименьшее целое значение функции
y =4–2sin2x–6cos2x.
4. Найти все пары действительных чисел, удовлетворяющих равенству
| |2=||1||1 ytgyx
.
5. Pешить уравнение
2=cos12cos3sin xxx
.
6. Pешить уравнение
2coscos xx
.
7. Pешить уравнение
)sin(cos)sin(sin xx
.
72
8. Pешить уравнение
|)
2
135
sin(||sin| xx
.
9. Pешить уравнение
xx
xx
cossin
|ctg||tg|
.
10. Pешить неравенство
)1tg(3tgtg
2
xxx
.
73
8. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ТЕОРИИ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
8.1. Задача о расширении множества действительных чисел
Процесс освоения понятия числа можно представить в виде следующих
этапов.
а) Рассмотрение натуральных чисел N, т.е. чисел, употребляемых при
счете.
б) Расширение N до множества Z всех целых чисел; необходимость
такого расширения возникает, т.к. во множестве N не всегда выполнима
операция вычитания.
в) Расширение Z до множества Q всех рациональных чисел, т.е.
множества всех дробей вида
п
т
где
.0п
В классе чисел Q (в отличие от Z)
всегда выполнимо деление на любое целое n,
0n
.Заметим, что всякое
рациональное число есть либо конечная, либо бесконечная периодическая
десятичная дробь.
г) Извлечение корня n-ой степени (действие, обратное возведению в
натуральную степень) не всегда выполнимо в Q.
Дополним множество Q всевозможными десятичными непериодическими
дробями (иррациональными числами). В полученном множестве R всех
действительных чисел уже всегда возможно извлечение корня нечетной
степени; корень четной степени может быть извлечен из любого
неотрицательного действительного числа. Остается невыполнимым
извлечение корня четной степени из отрицательного числа; например,
1
не
существует в R. Следовательно, требуется дальнейшее расширение R до такого
множества C, в котором оказалось бы выполнимым и указанное действие
(например, были бы разрешимы квадратные уравнения с отрицательными
дискриминантами).
74
Построением C (так чтобы
CR
) мы и будем заниматься в главе 8.
8.2. Мнимая единица. Комплексные числа
8.2.1. Мнимая единица. Мнимая ось. В выбранной прямоугольной
системе координат точка (1,0) соответствует числу 1 на числовой оси абсцисс
(оси действительных чисел), а точка (0,1) –числу 1 на оси ординат. Чтобы
отличать по написанию эти две единицы, последнюю обозначим буквой i и
назовем мнимой единицей. Итак, точка (0,1) отождествляется с мнимой
единицей; всякое же другое число оси ординат, отвечающее точке (0,y), теперь
естественно записать в виде yi и назвать чисто мнимым числом; сама ось OY
будет далее называться мнимой осью (тогда как OX-действительная ось).
Произвольную упорядоченную пару (x,y) действительных чисел
(«комплекс» из двух действительных чисел), соответствующую точке (x,y)
координатной плоскости, назовем комплексным числом. В свою очередь, точку
(x,y) координатной плоскости можно отождествить с её радиус-вектором (см.
рис. 8.1).
Итак, между точками
),( yx
(радиус-векторами этих точек) и
комплексными числами установлено взаимно-однозначное соответствие. Самe
же координатную плоскость будем теперь называть также комплексной
плоскостью.
8.2.2. Комплексные числа в алгебраической форме. Будем употреблять
так называемую алгебраическую форму записи комплексного числа
.yixz
В частности, для действительного числа x естественна запись
ixх 0
, и
теперь мы не делаем различия между действительными числами x и
комплексными числами вида
ixх 0
. Следовательно, множество C всех
комплексных чисел содержит своим подмножеством R.
Числа вида
yixz
и
yixz
называются комплексно-
сопряженными. Они изображаются точками, симметричными относительно оси
OX, см. рис. 8.1.
75
Модулем комплексного числа называется длина (модуль) радиус- вектора
точки
yx,
, т.е.
.
22
yxz
В частности, модуль действительного числа
ixx 0
есть
2
x
, т.е. он
равен абсолютной величине числа x; аналогично
.
2
yyiy
Рис. 8.1
Действительной частью числа
iyxz
называется x, а мнимой частью –
число y; применяем обозначения
.Im,Re zyzx
Комплексные числа
iyxz
111
и
iyxz
222
называются равными, если
совпадают их действительные и мнимые части. Другими словами,
.
;
21
21
21
yy
xx
zz
Геометрически соотношение
21
zz
означает совпадение
соответствующих точек комплексной плоскости.
Комплексные числа не сравниваются, т.е. во множестве C не вводятся
отношения "больше" и "меньше".
76
8.3. Алгебраические операции над комплексными числами
8.3.1. Алгебраическая сумма. В параграфе 8.2 мы отожествили любое
комплексное число
iyxz
с радиус-вектором точки
., yx
В связи с этим
операция сложения комплексных чисел
iyxz
111
и
iyxz
222
вводится по
аналогии с такой же операцией над векторами, которая, в свою очередь,
выполняется покоординатно. Итак, полагаем по определению
iyyxxzz
212121
.
Другими словами, сложение комплексных чисел выполняется по такому
же правилу, как над многочленами.
Сумма большего количества комплексных чисел находится аналогичным
образом: если
nkiyxz
kkk
...,,2,1
, то
n
k
k
zz
1
определяется в виде
.
11
iyxz
n
k
k
n
k
k
Поскольку свойства коммутативности и ассоциативности операции
сложения справедливы для действительных чисел, они (эти свойства) на
основании введенных определений будут сохраняться и для комплексных
чисел:
.
;
321321
1221
zzzzzz
zzzz
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное
сложению:
,
12
zzz
если
.
12
zzz
Легко показать существование, единственность разности и способ ее
нахождения
.
121212
iyyxxzz
Имеем аналогию с разностью векторов, вычитание которых выполнялось
покоординатно.
77
Алгебраическая сумма n комплексных чисел
2n
определяется путем
выполнения последовательного выполнения действий в том порядке, в каком
они записаны. Например,
.
43214321
zzzzzzzz
Однако, и в этом случае действует ассоциативный закон (возможность
группировки).
Пример. Вычислить
,
321
zzz
если
.51,57,2
321
iziziz
Решение. Имеем
;8653175137
515270
321321
iiii
iizzzzzz
.1086
22
321
zzz
7.3.2. Произведение и частное. Произведение двух комплексных чисел
iyxz
111
и
iyxz
222
определим в виде
.
2121212121
ixyyxyyxxzz
Имеем, в частности, квадрат комплексного числа
2
z
(т.е. произведение
zz
) в виде
xyiyxz 2
222
; следовательно,
,010
2
ii
1
2
i
.
В связи с таким свойством числа i употребляют запись
1i
; ясно, что
Ri
; теперь становится понятно, почему число i названо мнимой единицей.
Заметим, что умножение комплексных чисел выполняется по правилу
умножения многочленов с заменой
2
i
на –1.
Легко проверить справедливость коммутативного и ассоциативного
законов умножения, а также дистрибутивного закона умножения относительно
сложения:
.
3231321
zzzzzzz
Полезен следующий факт:
.
2
2222
zyxiyxxyyxiyxiyxzz
78
Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное
умножению. Именно,
,
2
1
z
z
z
если
,
21
zzz
где
.0
2
z
Нетрудно обосновать единственность операции деления и следующий
способ нахождения частного: способ одновременного умножения числителя и
знаменателя дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:
.
2
2
2
2
21122121
2222
2211
22
11
yx
iyxyxyyxx
iyxiyx
iyxiyx
iyx
iyx
z
Выполняя сложение (вычитание), умножение и деление комплексных
чисел, придерживаемся привычных свойств и порядка действий. Например:
.
5
29
5
37
14
2937
22
2199
2
199
2
145
2
324
5
2
322
5
2
3
25
2
i
i
ii
ii
i
i
i
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
8.4. Комплексные числа в тригонометрической форме
8.4.1. Тригонометрическая форма. Совместим стандартным образом
прямоугольную и так называемую полярную системы координат: полярную ось
направим по оси OX, полюс системы совмещаем с точкой
;0,0O
выбираем в
обеих системах одинаковые единицы масштаба; ось OY направляем по лучу
.
2
В этом случае прямоугольные координаты
yx,
и полярные
координаты
,
одной и той же точки z связаны соотношениями (см. рис.
8.4):
.sin
;cos
y
x
79
Рис. 8.4
Теперь комплексное число
yixz
принимает вид
iz )sin(cos
или
)sin(cos
iz
. (8.4.1)
Форма записи комплексного числа (8.4.1) называется
тригонометрической.
Связь полярных и прямоугольных координат точки M может быть также
представлена в виде
.;tg
22
yx
x
y
Следовательно,
z
есть модуль числа z; число назовем аргументом
комплексного числа.
Очевидно, что
2
arg
iy
(случай
0,0 yx
),
.0,0при,
,0,0при,
;0если,
arg
yx
x
y
arctg
yx
x
y
arctg
x
x
y
arctg
z
Для точки
0z
значение аргумента не определено; очевидно, что
0 0 .
8.4.2. Умножение и деление. Умножение, возведение в натуральную
степень (т.е. умножение числа z на себя n раз) и деление комплексных чисел
удобно выполнять, записав эти числа в тригонометрической форме.
80
Пусть
)sin(cos
iz
)sin(cos
1111
iz
)sin(cos
2222
iz
Установим формулы:
;sincos
21212121
izz
(8.4.2)
;0,sincos
22121
2
1
2
1
i
z
z
(8.4.3)
...,2,1,sincos nninz
nn
. (8.4.4)
Иначе говоря, при умножении комплексных чисел в тригонометрической
форме их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении –
модули делятся, а аргументы вычитаются; при возведении в степень
Nn
–
модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на n.
Доказательство (8.4.2). По правилу умножения комплексных чисел
имеем
.cossinsincossinsincoscos
212121212121
izz
В круглых скобках записаны соответственно формулы для косинуса
суммы и синуса суммы. Следовательно,
,sincos
21212121
izz
что и требовалось.
Доказательство (8.4.3). Пусть
.
2
1
z
z
z
По определению деления тогда
,
21
zzz
а по формуле (8.4.2)
,sincossincos
222111
ii
отсюда
,2
;
21
21
k
или
,2
;
21
2
1
k
Zk
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]