Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тригонометрия в упражнениях и задачах. Учебное пособие
.pdf
11
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
2.1. Тригонометрические функции
2.1.1. Тригонометрическая окружность. Существенно новым для
учащихся, начинающих изучать тригонометрию, является введение так
называемой тригонометрической окружности, т.е. следующей системы
координат на окружности С(О;1) единичного радиуса с центром в точке О (в
начале уже имеющейся на плоскости прямоугольной системы координат).
Началом отсчета на окружности служит точка Р(1,0). Если
),( yxM
С(О;1), то считаем, что дуга РМ имеет положительную величину (равную ее
длине) при выборе ее обхода в направлении против часовой стрелки и
отрицательную (равную длине со знаком «минус») – при ее обходе по часовой
стрелке.
Длина дуги измеряется в градусах или радианах. По определению, один
градус (обозначение 1) соответствует 1/360 части длины окружности; один
радиан равен единице масштаба заданной прямоугольной системы координат
(рис. 2.1).
Более мелкой, чем градус, единицей измерения дуг является минута
(обозначение 1’) и секунда. Один градус состоит из 60 минут, 1 минута – из 60
секунд.
12
Рис. 2.1. Тригонометрическая окружность
Центральный угол РОМ (далее обозначаемый через
)
отождествляется с дугой окружности РМ, так что величина угла
определяется величиною РМ. В частности, развернутый угол, т.е. угол POQ,
где Q(-1,0), соответствует дуге
PQ
(т.е. полуокружности), обходимой в
положительном направлении. Он равен тогда 180 градусам или радианам
(половине длины окружности, равной 2
)1
.
Отсюда получаем следующее соотношение между единицами измерения
углов (дуг): радиан равно 180, что записывают в виде = 180. Теперь
приходим к следующим формулам, выражающим градусную меру через
радианную и наоборот:
n радиан =
n
0
180
,
nn
180
=
0
радиан.
2.1.2. Основные тригонометрические функции.
Синусом угла называется ордината y точки М, косинусом - ее
абсцисса x; обозначения:
cos= ,sin= yx
. Тангенсом и котангенсом угла
называют, соответственно, числа
tg
,
cos
sin
=
ctg
sin
cos
=
.
13
Реже рассматривают так называемые секанс и косеканс угла :
sec
,
cos
1
=
cosec
sin
1
=
.
Полагаем, что знаменатели всех этих дробей отличны от нуля.
Соответствиями вида t sin t, t соs t, t tg t, t ctg t, t sec t,
t
cosec t определятся функции, называемые синусом, косинусом,
тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом.
Из определений тригонометрических функций следует, что они обладают
следующими знаками (рис. 2.2):
- в первой четверти (т.е. при 0<t<
2
) все тригонометрические функции
положительны: sin t >0 , cos t >0, tg t >0, ctg t >0;
- во второй четверти (т.е. при
2
<t<) имеем sin t >0 , cos t<0, tg t<0,
ctg t <0;
- в третьей четверти (т.е. при <t<
2
3
) : sin t <0 , cos t<0, tg t>0, ctg t>0;
- в четвертой четверти (т.е. при
2
3
<t<2) имеем sin t <0, cos t>0, tg t<0,
ctg t<0.
14
Рис. 2.2. Знаки тригонометрических функций
Функции вида u=cos t и u= sec t обладают свойством четности:
cos(- t)= cos t, sec (- t)= sec t,
а остальные – свойством нечетности; например, sin (-t)=- sin t.
Запоминанию значений тригонометрических функций стандартных
аргументов будут способствовать следующие схемы (рис. 2.3–2.6).
15
Рис. 2.3. Значения синуса
Рис. 2.4. Значения косинуса
16
Рис. 2.5. Значения тангенса
Рис. 2.6. Значения котангенса
17
2.1.3. Периодичность и формулы приведения.
Свойство периодичности синуса и косинуса состоит в том, что точка М и
полученная из нее путем одного или нескольких полных обходов окружности
точка
М
имеют одинаковые координаты (соответствующие дуги
различаются на
к
2
, где к – любое целое число). Основным (наименьшим
положительным) периодом синуса и косинуса является Т =
2
:
.cos=)2(cos ;sin=)2(sin
Основным периодом тангенса и котангенса является Т = :
.ctg=)(ctg ;tg=)(tg
Свойство периодичности дополняют так называемые формулы
приведения:
;cos=)(cos ;sin=)(sin
sin=)
2
(cos ;cos=)
2
(sin
;
. tg=)
2
( ctg ; ctg=)
2
( tg
2.2. Формулы тригонометрии
Использование тех или иных формул тригонометрии диктуется целями,
поставленными в процессе преобразования (разложить выражение на
множители, добиться одинаковости аргументов и т.п.).
2.2.1. Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и
того же аргумента
sin
2
+cos
1
2
,
2
2
2
2
sin
1
= ctg1 ,
cos
1
= tg1
часто применяются для выражения значения одной из тригонометрических
функций через значение другой. При этом учащимся следует обратить на
правильную постановку знака при использовании формул, связывающих
квадраты функций (предотвратить типичную ошибку потери знака); например
18
sin t
t
2
cos1=
, если
2t
; cos
tt
2
sin1=
, если
2
t
2
3
.
2.2.2. Тригонометрические функции суммы (разности) аргументов.
,sinsincoscos=)(cos
,cossincossin=)(sin
tgtg1
tg tg
=)( tg
могут быть применены в преобразованиях, когда, например, значение одного из
аргументов ( или ) – «стандартно» (
3
,
4
,
6
и т.п.).
2.2.3. Тригонометрические функции двойного аргумента
2
22
tg1
tg2
=2tg ,sincos2cos ,cossin2=2sin
обычно используют, если аргументы в преобразуемом тригонометрическом
выражении отличаются вдвое, а нам следует привести функции к случаю
значений от одного и того же аргумента.
Формулы для тригонометрических функций тройного аргумента имеют
вид:
.
tg31
tgtg3
3tg
,cos3cos43cos
,sin4sin33sin
2
3
3
3
2.2.4. Понижение степеней тригонометрических функций с
одновременным удвоением аргумента достигается путем использования
формул
2
2cos1
=cos ,
2
2cos1
=sin
22
;
часто бывает удобным использовать равносильные им формулы сложения с
единицей:
2
sin2cos1
2
,
2
cos2cos1
2
.
19
2.2.5. Преобразование суммы (разности) тригонометрических
функций в произведение
2
sin
2
sin2=coscos
,
2
cos
2
cos2=coscos
,
2
cos
2
sin2=sinsin
применяют для разложения выражений на множители.
2.2.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в
сумму (разность) бывает удобно, если, например, в упрощаемом выражении
складываются несколько различных произведений тригонометрических
функций; формулы имеют вид
.))(sin)(sin(
2
1
=cossin
)),(cos)(cos(
2
1
=sinsin
)),(cos)(cos(
2
1
=coscos
2.2.7. Выражение синусов и косинусов через тангенс половинного угла
(универсальная тригонометрическая подстановка)
2
tg1
2
tg1
=cos ;
2
tg1
2
tg2
=sin
2
2
2
дают возможность оперировать в преобразуемом выражении только с одной
функцией одного и того же аргумента (в частности, заменять переменные).
Рекомендуется тригонометрические формулы изучать приведенными
блоками, очерчивая то «поле деятельности», которое может быть реализовано
путем использования каждого из блоков.
20
Замечание. Формулы, содержащие тангенсы, предполагают
существование последних. Например, в блоке 2.2.7 должен существовать tg
2
,
т.е. cos
2
0
,
k
2
, где k – любое целое число.
2.3. Обратные тригонометрические функции
2.3.1. Функции, обратные синусу и косинусу определяются для значений
аргумента
:1,1][x
,arcsin= xy
если
];
2
,
2
[ ,sin=
yyx
,arccos= xy
если
][0, ,cos=
yyx
.
2.3.2. Функции, обратные тангенсу и котангенсу определяются для
значений аргумента
:),( x
xy arctg=
, если
);
2
,
2
( , tg=
yyх
xy arcctg=
, если
)(0, , сtg=
yyx
.
2.3.3. Заметим, что для положительных значений аргумента x
получаем значения у в первой четверти, а также что
. arcctg=)( arcctg ,arccos=)(arccos
, arctg=)( arctg ,arcsin=)(arcsin
xxxx
xxxx
Функции
xy arcsin=
и y=arctg x являются возрастающими, а y=arccos x и
y=arcctg x – убывающими на своих областях определения.
Указанные в п. 2.3.3 свойства рекомендуется проиллюстрировать с
помощью графиков соответствующих функций (рис. 2.3.1–2.3.4).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]