Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технология машиностроения. Моделирование и специализированные пакеты программ. Учебное пособие для СПО
.pdf
ǘǬǾDZǸǬǾǴȃDZǽǶǺDZǸǺǰDZǷǴǼǺǮǬǹǴȋ
суммарного воздействия входных, управляющих и возмущающих параметров:
где y
— производительность обжарочного аппарата; y2 — ка-
1
(2.12)
%X[)\ [
чественный показатель, например, цветность; y3 — угар.
Тогда
ÐÐ %X[\
(2.13)
©ɲɭɦª²ɨɬɞɟɥɶɧɚɹɡɚɞɚɱɚ
)
(2.14)
%X[\
[
При разработке модели необходимо решить следующие
задачи:
1) установить вид функции Ф
2) оценить Ф
(«шум»), выделив ее в отдельную задачу.
2
;
1
Существуют два подхода к описанию системы при матема-
тическом моделировании.
1. Структурный подход. Для создания математической
модели системы прежде всего исследуют ее структуру (составляющие элементы системы и характер их взаимодействия
(см. структурную схему)).
Применительно к технологическому процессу это означает
расшифровку его механизма. В результате получается схема
процесса — его мысленная модель. Записав эту схему на языке
математики, получаем некоторую систему уравнений, соотношений и т.д., описывающих функционирование этой системы.
В уравнение будут входить некоторые пока неизвестные коэффициенты B (коэффициенты теплоотдачи и массоотдачи и т.д.).
Для определения этих коэффициентов ставятся эксперименты
на моделях или на оригинале.
2. Эмпирический подход. В этом случае используется принцип «черного ящика», т.е. известное кибернетическое понятие
системы с неизвестной структурой:
[
\
-51-
X
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
По особому плану варьируются значение [ и X и при этом
измеряются значения
. По результатам этого эксперимента
\
с помощью, например, математических методов планирования
экспериментов можно получить эмпирическое уравнение (уравнение регрессии), которое описывает поведение объекта.
В этом случае все входные параметры должны быть пре-
вращены в управляющие (или должны быть фиксированы):
X[ o
(2.15)
S
(2.16)
%X\ \
S
XDXDD\
(2.17)
Недостаток этих моделей в том, что они пригодны только для
конкретных объектов, на которых проводились исследования.
Особенности описанных подходов состоят в том, что в любом реальном случае присутствуют элементы структурных
и эмпирических подходов. Чаще всего подход к моделированию
той или иной системы можно характеризовать как в основном
структурный или эмпирический.
Главное достоинство структурного подхода — это большая
прогностическая мощность.
Как отмечалось выше, математическая модель является математическим описанием, отражающим сущность протекающих
в объекте явлений, для которой задан алгоритм моделирования.
Математическая модель объекта рассматривается в совокупности четырех аспектов:
I — формализованное описание — смысловая сторона модели, представляющая собой описание физической природы
объекта, включающее в себя:
1) постановку задачи; от правильной постановки зависит
результат, определяются не только цель анализа, но и пути
решения задачи;
2) определение фундаментальных законов, которым подчиняется механизм явлений, лежащий в основе функционирования системы.
-52-
ɪ
ɪɨɰ
ǘǬǾDZǸǬǾǴȃDZǽǶǺDZǸǺǰDZǷǴǼǺǮǬǹǴȋ
Ɉɫɧɨɜɧɨɣɡɚɤɨɧ
ɩ
ɟɫɫɚ
Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟɢ
ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢɟ
ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ
ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɣ
ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ
ɡɚɞɚɱɢ
ɂɡɭɱɟɧɢɟɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ
ɨɫɧɨɜɩ
ɋɨɫɬɚɜɥɟɧɢɟɭɪɚɜ
ɧɟɧɢɣɦɨɞɟɥɢ
ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ
ɦɨɞɟɥɢ
ȼɵɛɨɪɦɟɬɨɞɚ
ɪɟɲɟɧɢɹ
ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɣ
ɨɰɟɫɫɚ
Ɇɚɬɟɪɢɚɥɶɧɵɣ
ɢɷɧɟɪɝɟɬɢɱɟɫɤɢɣ
ɛɚɥɚɧɫɵ
Ɉɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹ
ɧɚɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ
ɱɢɫɥɟɧɧɵɣ
,
,,
,,,
ɪɟɲɟɧɢɟ
Ⱥɧɚɥɢɡ
ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ
ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ
,9
ϜҲһОбщая схема моделирования
II — математическое описание — аналитическая сторона,
состоящая в составлении уравнений или соотношений, которые
описывают работу объекта.
-53-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
III — моделирующий алгоритм — последовательность расчетов.
IV — анализ полученных результатов.
Наиболее общим принципом разработки математического
описания является блочный принцип. Его основой является параметрическая схема. Общая схема моделирования изображена
на рис. 2.7.
ǞǚǣǙǚǝǞǨǘǚǐǑǗǑǕ
ǎǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǚǘǘǚǐǑǗǔǜǚǎnjǙǔǔ
Точность моделей зависит прежде всего от точности определения параметров (коэффициентов), учитывающих те или
иные особенности объекта. При использовании многопараметрических моделей возникает трудность, связанная с «чувствительностью к ошибкам» опытов (чем больше параметров, тем
более точный эксперимент требуется, чтобы точно оценить эти
параметры).
Если модель построена на основе структурного подхода,
а эксперимент не очень точный, то возникает специфическая
особенность потери физического смысла: можно получить неверные значения параметров, хотя модель в целом будет давать
достаточно точное совпадение с опытными данными. Это связано с тем, что ошибки в значениях разных параметров взаимно
компенсируются.
В рассматриваемом случае модель остается пригодной
для количественного описания объекта (в достаточно узких
пределах), но физический смысл искажается, получается
превратное представление о величинах эффектов, связанных
с параметрами.
Пример компенсации ошибок параметров
Рассмотрим уравнение Ван-дер-Ваальса для одного
моля газа:
-54-
ǞǺȃǹǺǽǾȈǸǺǰDZǷDZǵǮǸǬǾDZǸǬǾǴȃDZǽǶǺǸǸǺǰDZǷǴǼǺǮǬǹǴǴ
57
3
D
(2.18)
9
ɜ9
где Р — давление газа, Па; V — объем моля газа; Т — абсолютная
(термодинамическая) температура; R — универсальная газовая
постоянная, R | 8,31 Дж/(моль · К); a — параметр, оценивающий
интенсивность межмолекулярного взаимодействия; в — объем,
занимаемый молекулами.
Для СО
a = 0,575552 Па . м
ȀǸ 9ȚȚȜșȪ
a = 0,3652 Па . м3/моль; в = 4,28 . 10-5 м3/моль.
2
3
/моль; в = 10-4 м3/моль.
ȀȎȏșȖȤȎ
ǾȓȕȡșȪȠȎȠȩȫȘȟȝȓȞȖȚȓțȠȎ
3ȝȞȖȎȖȐǺȝȎ
3ȖȒȓȎșȪțȩȗ
ȐȓȞțȩȓ ȜȦȖȏȜȥțȩȓ
[ ² ²
\
ȑȎȕ
\
[
±±
Рис. 2.8. Варианты интерполяции экспериментальных данных
-55-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
Вторая существенная опасность — использование многопараметрических моделей при наличии ошибки может приводить
к ненадежной экстраполяции результатов.
(2.20)
[\
[[[[\
(2.19)
Есть возможность обойтись простой моделью (t = 3%), нужно
ею воспользоваться.
Лимитирующие стадии процесса
Лимитирующая стадия — самый медленный процесс в системе.
Ⱥ
ɑɚɣȼ
В случае размешивания чая
в стакане лимитирующая стадия —
массопроводность в самой чаинке
W IF
(рис. 2.9).
W
Чтобы интенсифицировать
процесс, нужно измельчить чаинки,
E
Рис. 2.9. Лимитирующая
стадия
т.е. нужно воздействовать на самый
медленный процесс.
Вторая особенность моделей: использование стационарных и нестационарных процессов.
Стационарные процессы — это переходные процессы в не-
прерывно действующих установках.
Все периодические процессы — это нестационарные про-
цессы.
Модели с распределенными
и сосредоточенными параметрами
Эти понятия являются пространственными аналогами
стационарности и нестационарности. Если система такова, что
можно пренебречь различием параметров процесса в разных
точках по объему и считать, что все они (концентрации, температуры и т.д.) полностью выровнены по объему, то это объект
-56-
ǞǺȃǹǺǽǾȈǸǺǰDZǷDZǵǮǸǬǾDZǸǬǾǴȃDZǽǶǺǸǸǺǰDZǷǴǼǺǮǬǹǴǴ
с сосредоточенными параметрами. Математическое описание
включает алгебраические уравнения либо дифференциальные
уравнения первого порядка для нестационарных процессов.
Примером объекта, описываемого
данным классом моделей, может служить
4
аппарат с идеальным (полным) перемешиванием жидкости. Скорость мешалки
такова, что концентрация во всех точках
аппарата одинакова (рис. 2.10). Источник
X
7
теплоты — u, Q — тепловой поток, Вт.
В описании такого объекта отсутствуют производные по координатам,
Рис. 2.10. Модель
с сосредоточенными
параметрами
так как все они равны нулю, что сильно
упрощает модель. В некотором смысле систему с сосредоточенными параметрами можно рассматривать как точку, в которой
происходит процесс, поскольку никаких изменений от точки
к точке здесь нет.
Математическое описание может быть следующим.
Температура жидкости в аппарате — T(W), где W — время.
Тепловой поток:
4W
G
(2.21)
PF7
G
где m — масса жидкости в аппарате, с — удельная теплоемкость
жидкости.
Пусть Q, m, c — постоянные величины. Тогда:
4
7G
W
G
(2.22)
PF
Уравнение (2.22) — обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Если при W = 0 T = T
0
(начальное условие), то решение уравнения (2.22) будет следующим:
W
4
PF
³³
W
G
откуда
4
77
W
PF
(2.23)
7G)
PF
7
W
G
7G
7
т.е. температура линейно зависит от времени.
-57-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
7
ɫɪ
W
Если же параметры процесса
изменяются как во времени, так
T
и от точки к точке, то это объект
ɯ
с распределенными параметра-
77
ɦɫɪ
Рис. 2.11. Модель
с распределенными
параметрами
W
ми. В этом случае объект описывается дифференциальными уравнениями в частных производных,
описание и анализ процессов
в таких системах сложнее, чем
в случае сосредоточенных параметров. Если основные параметры
процесса изменяются только в одном пространственном направлении, то в случае стационарного процесса его математическое
описание включает только обыкновенное дифференциальное
уравнение. Примером процесса, описываемого такими моделями, может служить трубчатый аппарат с большим отношением
длины к диаметру и большой скоростью движения реагентов
(рис. 2.11).
Модель с распределенными параметрами (все параметры
меняются по длине с течением времени — T (x, W)) и темпера-
турное поле внутри бруска описывается уравнением в частных
производных — одномерным уравнением теплопроводности:
7
w
Ww
7
w
D
[
w
где a — коэффициент температуропроводности.
Правильно поставленная задача может облегчить решение.
Например, исследуемый брусок, изображенный на рис. 2.11,
можно перевести в модель с сосредоточенными параметрами
(взять малую длину бруска и очень теплопроводный материал).
Прямые и обратные задачи
Прямая задача: известно
%[X\ )
(2.24)
%[X
нужно найти функции
отклика.
-58-
ǞǺȃǹǺǽǾȈǸǺǰDZǷDZǵǮǸǬǾDZǸǬǾǴȃDZǽǶǺǸǸǺǰDZǷǴǼǺǮǬǹǴǴ
Обратная задача:
, нужно определить совокупность
[X\
параметров В.
Ставится эксперимент и находятся
.
[X\
Сложность структуры технологического процесса, в частности, проявляется в том, что составляющие его «элементарные»
процессы протекают на разных уровнях: от наинизшего (уровень
молекул) до высшего (например, уровень цеха или завода). Эта
разноуровневость должна найти отражение и в описании этой
системы. Одним из наиболее распространенных способов такого
отражения является иерархическая структура математической
модели. Модель строится путем последовательного перехода
в описании процесса с одного уровня на другой.
Уровни:
1. Молекулярный (описывается законами химической кине-
тики или кинетики биохимических процессов).
2. Уровень малого объема. К этому уровню объектов описания относятся, например, процессы на одном зерне адсорбента
или пузырьке газа, поднимающегося в барботажном слое (законы макрокинетики, например, массопроводность внутри зерна).
3. Уровень рабочей зоны аппарата (слой адсорбента, тарелки в ректификационных колоннах и т.д.).
4. Уровень аппарата.
5. Уровень установки.
6. Уровень цеха и т.д.
Пример.
Необходимо разработать математическую модель аппарата
с перемешивающим устройством, в котором нагреваются при
перемешивании две жидкости (рис. 2.12).
Цель: получить зависимость, которая определяла бы температуру смеси на выходе из аппарата при изменении расхода
компонентов и их температур.
Основные процессы:
1) теплоотдача от стенки к жидкости;
2) гидромеханический процесс перемешивания;
-59-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
3) процесс массообмена, связанный с растворением (если,
например, смешивать сахар и воду);
4) процесс конденсации пара в паровой рубашке.
Рис. 2.12. Аппарат с мешалкой
Параметрическая схема
U
U
$
%
7
$
7
%
F
$
F
%
S
*
*
$
%
*
7
6
6
где T — температура; G — расход пара; p — давление греющего
пара; c — теплоемкость.
Наличие перемешивающего устройства с интенсивно работающей мешалкой позволяет сделать следующие допущения:
1) смесь в емкости идеально перемешана. Это допущение
дает нам право считать, что температура во всех точках одна
и та же и равна T
.
см
-60-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]