Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технология машиностроения. Моделирование и специализированные пакеты программ. Учебное пособие для СПО
.pdf
ǚǽǹǺǮǹȇDZǻǼDZǰǽǾǬǮǷDZǹǴȋǾDZǺǼǴǴǻǺǰǺǭǴȋ
Следовательно, для соблюдения подобия нужно найти и выдержать условия, при которых умножение переменных в урав-
·
§
нениях на постоянные множители
не меняло бы уравнение.
¸
¨
&
¹
©
Для нахождения указанных условий проанализируем второй закон Ньютона:
ZG
PPD)
(2.8)
W
G
где F — сила, Н; m — масса, кг; w — скорость, м/с; W — время, с.
Так как размерности правой и левой частей уравнения
равны, то если разделить левую часть уравнения на правую,
получим в левой части безразмерную величину:
G)
W
(2.9)
ZGP
Применим последнее уравнение для двух подобных процессов. Для первого процесса:
G)
ZGP
W
(2.10)
а для второго процесса, подобного первому:
G)
ZGP
W
(2.11)
Поскольку процессы подобны, то переменные последнего
уравнения можно выразить через переменные предыдущего
уравнения путем умножения на соответствующие константы
подобия:
)&)
)
W WW&
P&P
P
Z
Z&Z
(2.12)
откуда
G
&)&
)
W
W
G
Z&P&
ZP
-31-
&&
W
)
&&
ZP
G
W
)
G
ZP
(2.13)
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
Из записанных уравнений видно, что полученный комплекс
из констант подобия должен быть равен единице, так как только
при этом условии умножение переменных в уравнении на постоянные множители не меняет этого уравнения. Безразмерное
отношение констант подобия называется индикатором подобия:
&&
WZP)
(2.14)
&&
Из полученного соотношения видно, что мы можем произвольно выбрать три независимые константы подобия, а значения
четвертой следует определять из этого соотношения.
Если в соотношении (2.14) константы подобия заменить
отношением переменных, то получим другую форму уравнения,
выражающего подобие процессов:
§
)
¨
¨
)
©
·
§
P
¸
¨
¸
¨
P
¹
©
·
§
·
W
¸
¨
¸
¸
¨
¸
W
¹
©
¹
§
Z
¨
¨
Z
©
(2.15)
·
¸
¸
¹
или
W
)
ZP
W
)
ZP
(2.16)
LGHP
Обозначение idem следует понимать как «одно и то же».
Это понятие не равносильно понятию постоянства полученного
безразмерного комплекса для подобных процессов. В каждом из
подобных процессов комплексы изменяются в пространстве и во
времени. Но изменения эти происходят так, что для любых сходственных точек объема в сходственные моменты времени комплексы во всех подобных процессах принимают одно и то же значение.
Безразмерные комплексы, составленные по типу полученных комплексов, играют большую роль в теории подобия
и получили название чисел (критериев подобия). Так, например, полученный критерий называется числом (критерием)
Ньютона, он определяет механическое подобие:
-32-
ǚǽǹǺǮǹȇDZǻǼDZǰǽǾǬǮǷDZǹǴȋǾDZǺǼǴǴǻǺǰǺǭǴȋ
)1HW
(2.17)
PZ
Анализ основного дифференциального уравнения показывает, что критерий Ne может быть получен из этого уравнения
в результате следующих операций:
ZG
1) запись дифференциального уравнения:
2) получение безразмерного комплекса делением обеих час-
G)
W
тей уравнения на правую часть:
ZGP
3) вычеркивание символов дифференцирования:
В теории подобия показано, что аналогичным путем критерии подобия получаются из дифференциальных уравнений
любой степени по следующей схеме:
1) запись дифференциального уравнения, описывающего
исследуемый процесс;
2) получение из дифференциального уравнения безразмерного комплекса величин делением обеих частей уравнения на
правую или левую часть (при наличии в уравнении слагаемых
производится деление всех слагаемых на одно из них);
3) вычеркивание символов дифференцирования, включая
символы порядка производных. Символы, показывающие степени переменных, по которым производится дифференцирование,
сохраняются. Символы суммирования аналогичных членов дифференциального уравнения и индексов вычеркиваются. Если
в выражение критерия входит линейный размер, то выбирается
тот размер, который наиболее полно характеризует систему
(например, диаметр трубы при изучении процесса движения
в ней жидкости).
Кроме критериев, полученных из подобного преобразования
дифференциального уравнения, применяют критерий, характеризующий условия задачи исследования. Например, при исследовании движения жидкости по змеевику задают диаметр трубы
d и радиус змеевика R, откуда для подобных процессов следует:
P)
W
G
)
W
1H
ZP
-33-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
G
LGHP
5
Критерии, представляющие собой отношение двух одноименных величин и получающиеся непосредственно из условий
задачи исследования, называются параметрическими крите-
риями (симплексами).
Основные положения теории подобия формулируются
в виде трех теорем.
Первая теорема подобия. Подобные между собой явления
имеют одинаковые критерии подобия.
В соответствии с теоремой в опытах следует измерять те
величины, которые входят в критерии подобия. Критерии подобия, составленные из условий однозначности, называются опре-
деляющими критериями. Если же критерий подобия включает
хотя бы одну величину, не входящую в условие однозначности,
то он называется неопределяющим или определяемым. Равенство определяемых критериев является следствием подобия.
Вторая теорема подобия. Зависимость между физическими
величины, характеризующими процесс, может быть представлена в виде функциональной зависимости неопределяющих
критериев от определяющих.
Эта функциональная зависимость распространяется на
всю группу подобных процессов и называется критериальным
уравнением, или уравнением подобия. Таким образом, вторая
теорема отвечает на вопрос о том, каким образом следует обрабатывать результаты экспериментов.
Критериальные уравнения чаще представляются в виде
степенных функций:
\WPQ
....Ⱥ.
(2.18)
RRRRɧ
N
где А, m, n, t, y — постоянные (определяются опытным путем);
K
— определяемый критерий; Ko — определяющий критерий.
н
Третья теорема подобия. Подобны те явления, которые
имеют подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии.
-34-
ǚǽǹǺǮǹȇDZǻǼDZǰǽǾǬǮǷDZǹǴȋǾDZǺǼǴǴǻǺǰǺǭǴȋ
Содержание этой теоремы лежит в основе моделирования — метода экспериментального изучения модели явления.
Пример. Известно, что математическое описание процесса
распространения теплоты в движущейся вдоль твердой стенки
среде одновременно теплопроводностью и конвекцией представляется дифференциальным уравнением Фурье — Кирхгофа:
§
W
w
Ww
где t = t(x, y, z, W) — температура среды; w
ющие скорости движения среды; W — время;
W
w
Z
[
w
W
w
Z
\
w
W
w
Z
]\[
]
w
циент температуропроводности среды, м
W
w
w
¨
D
¨
[
w
w
©
x
2
/с; O — коэффициент
W
\
, wy, wz — составля-
·
W
w
¸
¸
]
w
¹
O
FD
— коэффи-
U
(2.19)
теплопроводности среды, Вт/(м·К); с — удельная теплоемкость
среды, Дж/(кг·К); U — плотность среды, кг/м3.
Условие на границе раздела движущейся среды и твердого
тела может иметь вид:
W
w
·
где D — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м
§
¨
Q
w
©
DO
¸
¹
ɩ
(2.20)
WW
ɫɪɩ
2
·К); tп, tср — соответственно температуры поверхности стенки и среды, К; n — нормаль к поверхности тела.
Полученные уравнения описывают сложный процесс
конвективного теплообмена, для большинства случаев они
практически не разрешимы. В расчетной практике пользуются
критериальными уравнениями, полученными из этих уравнений методами теории подобия.
Из последнего уравнения делением обеих его частей на левую часть получаем безразмерный комплекс:
где
WWW '
ɫɪɩ
D
WW
ɫɪɩ
W
w
O
Q
w
W
'
D
W
w
O
Q
w
. Эта разность называется температурным напором.
-35-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
Вычеркнув в полученном комплексе символы дифференцирования, разности и направления (замена n на неориентированный в определенном направлении линейный размер l) и проведя
сокращения, получим критерий Нуссельта:
D O
1X
(2.21)
O
Из дифференциального уравнения (2.19) конвективного
переноса тепла делением всех членов на
мерные комплексы:
W
W
w
Ww
ɢ
W
w
D
[
w
w
Z
[
[
w
W
w
D
[
w
W
w
D
получаем безраз-
[
w
Вычеркнув в полученных комплексах символы дифференцирования (включая символы порядка дифференцирования)
и направления, после сокращений получаем числа (критерии)
1
подобия
:
число (критерий) Фурье
D
W
)R
(2.22)
O
и число (критерий) Пекле
OZ3H
(2.23)
D
Критерий Pe обычно представляют в виде произведения
двух критериев:
Q
-36-
OZ
Q
D
3U
3U5H
(2.24)
Q
— критерий Прандт-
D
2
/с.
OZ
D
где
5H
3H
ZO
— критерий Рейнольдса;
Q
ля; Y — коэффициент кинематической вязкости, м
1
Критерии принято называть именами известных ученых и обозначать
двумя первыми буквами их имени.
ǚǽǹǺǮǹȇDZǻǼDZǰǽǾǬǮǷDZǹǴȋǾDZǺǼǴǴǻǺǰǺǭǴȋ
Полученные критерии подобия дают возможность найти
критериальное уравнение (уравнение подобия), описывающее
рассматриваемый процесс:
f (Re, Nu, Pr, Fo) = 0.
Из критериев уравнения только критерий Нуссельта не
составлен целиком из условий однозначности, поэтому он является определяемым критерием. На этом основании уравнение
записывается следующим образом:
Nu = f (Re, Pr, Fo). (2.25)
Если процесс стационарный, то из уравнения (2.25) выпадает критерий Fo, и оно принимает вид:
Nu = f (Re, Pr), (2.26)
или
Так, например, при движении потока в трубе оно может быть
дополнено параметрическим критерием
трубы, а d — ее диаметр. В этом случае уравнение запишется
в виде:
QP
(2.27)
3U5H$1X
O
Ƚ
, где l — длина
G
NQP
(2.28)
Ƚ3U5H$1X
В соответствии с полученными критериальными уравнениями следует для рассматриваемого процесса обработать опытные данные и в результате получить A, m, n, k.
При решении конкретных задач по найденному из критериального уравнения значению критерия Нуссельта легко определяется коэффициент теплоотдачи:
1X
O
D
(2.29)
O
Метод анализа размерностей
При изучении сложных процессов не всегда возможно записать дифференциальные уравнения, описывающие их проте-
-37-
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
кание, и сформулировать условия однозначности. При изучении
таких процессов для получения критериального уравнения
применяют метод анализа размерностей. В этом случае необходимо, чтобы в результате предварительного опытного изучения
процесса были выявлены физические величины и параметры,
влияющие на течение этого процесса. Так, например, при исследованиях течения жидкости по трубе найдено, что на перепад
давления в трубе влияют диаметр d и длина l трубы, плотность
U, вязкость μ и скорость w протекающей жидкости, т.е.:
(2.30)
ZOGISPU '
где P = YU — коэффициент динамической вязкости, Па·с, причем
конкретный вид функциональной зависимости неизвестен.
Метод анализа размерностей позволяет из общей функциональной зависимости получить критериальное уравнение,
описывающее изучаемый процесс.
Число критериев, входящих в критериальное уравнение,
устанавливается с помощью S-теоремы, которая гласит: если
общая функциональная зависимость связывает между собой
n размерных величин, при составлении которых использовано
m первичных единиц измерения, то эта функциональная зави-
симость может быть представлена в виде критериального уравнения, содержащего S = (n–m) критериев подобия, составленных
из величин, входящих в общую функциональную зависимость.
ȀȎȏșȖȤȎ
dzȒȖțȖȤȩȖȕȚȓȞȓțȖȭȢȖȕȖȥȓȟȘȖȣȐȓșȖȥȖț
ǰȓșȖȥȖțȎȓȒȖțȖȤȩ ǾȎȕȚȓȞțȜȟȠȪ dzȒȖțȖȤȎ ǼȏȜȕțȎȥȓțȖȓ
DzșȖțȎ / ȚȓȠȞ Ț
ǺȎȟȟȎ 0 ȘȖșȜȑȞȎȚȚ Șȑ
ǰȞȓȚȭ 7 ȟȓȘȡțȒȎ ȟ
ǿȖșȎȠȜȘȎ , ȎȚȝȓȞ Ǯ
ȀȓȚȝȓȞȎȠȡȞȎ
ȠȓȞȚȜȒȖțȎȚȖȥȓȟȘȎȭ
ǿȖșȎȟȐȓȠȎ - ȘȎțȒȓșȎ ȘȒ
ǸȜșȖȥȓȟȠȐȜȐȓȧȓȟȠȐȎ 1 ȚȜșȪ ȚȜșȪ
lj ȘȓșȪȐȖț Ǹ
-38-
ǚǽǹǺǮǹȇDZǻǼDZǰǽǾǬǮǷDZǹǴȋǾDZǺǼǴǴǻǺǰǺǭǴȋ
Размерность физической величины — выражение в форме
степенного одночлена, составленного из произведений символов
основных физических величин в различных степенях, отражающее связь данной физической величины с основными величинами системы единиц.
Международная система единиц (СИ) устанавливает в качестве основных семь величин, которые приведены в табл. 2.1.
Показателем размерности физической величины называется показатель степени, в которую возведена размерность
основной величины, входящая в размерность производной величины.
Размерность Х обозначается так: dim X (dim — сокращение
от лат. dimensio — измерение). Размерной физической величиной называется величина, в размерности которой хотя бы
один из показателей размерности не равен нулю. Например,
размерность силы: dim F = dim m dim a = LMT
–2
. Безразмерной
физической величиной называется величина, в размерности
которой все показатели степени равны нулю. Например, число
Прандтля:
/
GLP
QQ
GLP3UGLP
D
7
/
DGLP
7
Необходимо строго различать понятия «размерность»
и «единица измерения» физической величины. Часто единицу
физической величины ошибочно называют размерностью.
Размерность, например, силы LMT
ɦɤɝ
(ньютоном):
+)
@>
ɫ
–2
путают с единицей силы Н
В уравнение (2.30) входят шесть размерных величин (n = 6),
которые в СИ имеют следующие единицы измерения:
ɦɤɝ
ɦɫ
ɫɤɝɦ
-39-
>@
G
>@
O
+
ɦ
ɦ
ɦ
ǏǗnjǎnjǚǝǙǚǎǙǧǑǛǜǔǙǢǔǛǧǛǜǔǘǑǙǑǙǔǫǘnjǞǑǘnjǞǔǣǑǝǖǔǡǘǚǐǑǗǑǕ
ɤɝɦ
U
ɉɚāɫ
P
Z
ɦɫ
ɫɦɤɝ
ɤɝɦāɫ
ɦɫ
>@
>@
>@
Размерности всех величин составлены из трех первичных размерностей (m = 3):
>@
ɤɝP0PGLP
На основании S — теоремы уравнение может
>@
ɦO/OGLP
>@
FW7WGLP
быть представлено в виде критериального уравнения, в которое
входит S = n – m = 6 – 3 = 3 критерия подобия.
Представим одно из уравнений в виде произведения входящих в него величин в некоторых степенях:
J
[]\U
(2.31)
ZOG&S PU '
Заменим величины, входящие в уравнение, формулами
размерностей этих величин:
U
>@ >@
J
[]\
7/70//0//&/70 @>@>@>
(2.32)
затем группируем однородные члены:
]\[][]\U
J
(2.33)
07/&/70
Далее, приравнивая показатели степеней при одинаковых
символах размерностей, получаем систему из трех уравнений
с пятью неизвестными:
–1 = r + J – 3y – z + x, (2.34)
–2 = –z – x, (2.35)
1 = y + z. (2.36)
В этой системе не хватает уравнений, так как в нее входят
пять неизвестных, поэтому выразим все неизвестные через какие-нибудь две, например, через z и J:
из (2.35) x = 2 – z,
из (2.36) y = 1 – z,
из (2.34) r = –1 – J + 3y + z – x = –J –z.
Подставим полученные значения x, y, r в уравнение (2.31):
]]]]\
-40-
J
ZOG&S
PU '
(2.37)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]