Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
Н.А. Седова, В.А. Седов
ТЕОРИЯ
ОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ
Учебное пособие
Рекомендовано научно-методическим советом
Морского государственного университета
в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
09.03.01 «Информатика и вычислительная техника»
и 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
(уровень бакалавриата)
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2025
УДК 519.171
ББК 22.1
С28
Морского государственного университета им. адм. Г.И. Невельского;
Артемьев А.В. — канд. техн. наук, директор ООО НПФ «Управляющие системы»
Авторы:
Седова Н.А. — канд. техн. наук, доц., доц. кафедры
информационных технологий и систем Института информационных
технологий и анализа данных Владивостокского государственного
университета;
Седов В.А. — канд. физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой
электрооборудования и автоматики судов
Факультета судовой энергетики
Морского государственного университета им. адм. Г.И. Невельского
Рецензенты:
Глушков С.В. — д-р техн. наук, проф.,
проректор по конвенционной подготовке
Седова, Нелли Алексеевна.
С28 Теория ориентированных графов : учебное пособие / Н.А. Седова, В.А. Седов. —
Саратов : Ай Пи Ар Медиа, 2025. — 77 с. — Текст: электронный.
ISBN 978-5-4497-3826-4
Учебное пособие содержит лекционные материалы с 18 примерами для изучения
раздела (модуля) «Теория ориентированных графов» дисциплины «Дискретная математика» и состоит из шести различных тем, 35 разобранных практических задач, 47 вопросов для повторения изученного материала, а также упражнения для самостоятель-
ного решения для 32 графов, указанных в приложении настоящего учебного пособия.
Упражнение для самостоятельного решения состоит из 18 заданий. Такая структура
позволит студенту, изучившему теоретическую часть, получить индивидуальный вари-
ант ориентированного графа для выполнения заданий для самостоятельного решения, а
преподавателю — сформировать различные индивидуальные задания для контроля
усвоения настоящего раздела.
Подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования.
Предназначено для студентов укрупненных групп направлений подготовки и спе-
циальностей «Информатика и вычислительная техника», «Электроника, радиотехника и
системы связи». изучающих дисциплины «Теория графов», «Дискретная математика».
Кроме того, учебное пособие будет полезно студентам других специальностей и
направлений подготовки, изучающих данные дисциплины.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-3826-4 © Седова Н.А., Седов В.А., 2019
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2025
Учебное издание
Седова Нелли Алексеевна
Седов Виктор Александрович
Редактор Ю. Б. Захарова
Технический редактор, компьютерная верстка А. А. Агешкин
Корректор И. В. Мартусова
Обложка С. С. Сизиумовой
Подписано к использованию 21.03.2025. Объем данных 7 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список обозначений .............................................................................................. 5
Введение .................................................................................................................. 6
Лекционный материал ......................................................................................... 9
1. Тема «Теоретико-множественное представление орграфа» ....................... 9
2. Тема «Основные характеристики ориентированного графа» ................... 11
3. Тема «Связность в ориентированном графе» ............................................. 14
4. Тема «Матричное представление орграфов» .............................................. 15
5. Тема «Типы ориентированных графов» ...................................................... 21
6. Тема «Цикл Эйлера в ориентированном графе» ......................................... 24
Практические упражнения ................................................................................ 26
1. Тема «Теоретико-множественное представление орграфа» ..................... 26
2. Тема «Основные характеристики ориентированного графа» ................... 27
3. Тема «Связность в ориентированном графе» ............................................. 40
4. Тема «Матричное представление орграфов» .............................................. 45
5. Тема «Типы ориентированных графов» ...................................................... 56
6. Тема «Цикл Эйлера в ориентированном графе» ......................................... 61
Вопросы для повторения ................................................................................... 64
Упражнение для самостоятельного решения ................................................ 67
Литература ............................................................................................................ 68
Приложение .......................................................................................................... 70
5
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
V — множество вершин ориентированного графа.
E — множество рёбер ориентированного графа.
G(V,E) — ориентированный граф.
(n, m)-орграф — ориентированный граф с n вершинами и m рёбрами.
(а, b) — ориентированное ребро.
(а, b) Е — ориентированное ребро (а, b) принадлежит множеству рёбер графа E.
{x1, x2, …, xn} — множество элементов x1, x2, …, x
n.
— пустое множество.
deg(v) — степень вершины v.
indeg(v) — cтепень входа (полустепень захода) вершины v.
outdeg(v) — cтепень выхода (полустепень исхода) вершины v.
adj(v) — множество вершин графа, смежных с вершиной v.
v0,e1,v1,e2,v2,e3,v3,…vk,ek,vk (v0, v1, v2, v3, …, vk или e1, e2, e3, …, ek) — ориентиро-
ванный путь (маршрут) длины k из v0 в vk (или между v0 и vk).
Mc — матрица смежности ориентированного графа G.
Mи — матрица инцидентности ориентированного графа G.
А
В — объединение (или сумма) множеств А и В.
К
n
— полный ориентированный граф с n вершинами.
К
m,n
— полный двудольный граф, имеющий m и n вершин для множеств А и В
соответственно.
6
ВВЕДЕНИЕ
Теория графов представляет собой раздел математики, изучающий такие
математические объекты, как неориентированный граф, ориентированный граф и
дерево. Графы, как неориентированные, так и ориентированные, часто использу-
ются для визуализации объектов различной природы и связей между ними. Так,
например, в виде графа изображается схема дорог, при этом в качестве вершин
выступают города (населённые пункты), в виде рёбер — возможные пути, связы-
вающие эти города, при этом имеется возможность для отрезков дорог, имеющих
одностороннее движение, указать это направлением стрелок; в виде неориентиро-
ванного графа представляется структура молекулы, при этом вершинами являют-
ся атомы, а неориентированными рёбрами — валентные связи; блок-схемы алго-
ритмов представляют собой ориентированный граф, в котором вершинами явля-
ются отдельные операторы, а ориентированными рёбрами — переходы между
ними; схемы различных коммуникаций; структура управления с указанием объектов и их подчинённости друг другу; узлы и соединения в электрической цепи;
группа людей с указанием их психологической совместимости; множество пред-
приятий с указанием двухсторонних связей между ними и многие другие.
Теория графов включена в дисциплину «Дискретная математика», относящуюся к циклу математических и естественнонаучных дисциплин высшего образования, изучаемую студентами первого курса направления подготовки 09.03.01
«Информатика и вычислительная техника» и студентами второго курса направле-
ния подготовки 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».
В настоящем учебном пособии представлен курс лекций и практический
материал, направленные на изучение основных тем раздела (модуля) «Теория
ориентированных графов» дисциплины «Дискретная математика», посвящённых
ориентированным графам, их характеристикам и основным терминам, с ними связанными. Практический материал содержит подробное изложение решений 35
различных задач по шести темам, связанным с ориентированными графами.
Учебное пособие снабжено многочисленными примерами, а также содержит вопросы для повторения, охватывающие все введённые в курсе лекций
понятия, а также упражнение для самостоятельного решения, состоящее из
18 заданий, для которого в приложении приведены 32 примеров графов.
Перед выполнением упражнения студентам рекомендуется ответить на
вопросы, представленные в учебном пособии, при этом каждый студент, изучающий раздел (модуль) «Теория ориентированных графов» дисциплины
«Дискретная математика», должен:
знать: определение ориентированного графа; как обозначается ориентированный граф; что представляет собой множество вершин и множество ориен-
7
тированных рёбер; как определяется порядок ориентированного графа; какие
вершины называются соединенными (связанными); каким образом наглядно
изобразить ориентированный граф; какие имеются требования к элементам
изображения орграфа; определение размеченного ориентированного графа;
сколько имеется различных орграфов, если число вершин n; какая вершина орграфа называется начальной; какая вершина орграфа называется конечной;
определение вершин, инцидентных ориентированному ребру; определение степени входа (выхода) произвольной вершины ориентированного графа; определение степени вершины орграфа; какая вершина называется источником (истоком); какая вершина называется стоком; какая вершина называется изолированной вершиной; как определить степень вершины по полустепеням исхода и
захода в орграфе; какие вершины ориентированного графа называются смежными; какие ориентированные рёбра называются смежными; как обозначается
множество вершин орграфа, смежных с некоторой вершиной; определение ори-
ентированного пути (маршрута) длины k ориентированного графа; какой путь
(маршрут) в орграфе называется простым; определение цепи (простой цепи)
ориентированного графа; определение цикла (простого цикла) в орграфе; какой
граф называется соотнесённым; определение связного орграфа; определение
сильно связного орграфа; определение матрицы смежности; какими свойствами
обладает матрица смежности ориентированного графа; какое графовое представление называется списком вершин (списком смежности); определение матрицы инцидентности; какими свойствами обладает матрица инцидентности
ориентированного графа; какое графовое представление называется списком
рёбер (списком инцидентности); определение тривиального орграфа; определение пустого орграфа; определение ориентированного мультиграфа; определение взвешенного орграфа; определение ориентированного двудольного графа;
определение полного ориентированного двудольного графа; определение ориентированного эйлерова цикла; формулировку теоремы об орграфах, имеющих
эйлеров цикл.
уметь: записать множество вершин и множество ориентированных рёбер
орграфа; определять порядок ориентированного графа; наглядно изображать
ориентированный граф; наглядно изображать размеченный орграф; определять,
сколько имеется различных орграфов, если число вершин n; для произвольного
орграфа находить начальную вершину; для произвольного орграфа находить
конечную вершину; для произвольного орграфа находить вершины, инцидентные ориентированному ребру; определять степени входа (выхода) произвольной вершины ориентированного графа; определять степени каждой вершины
орграфа; находить источники (истоки) орграфа; находить стоки орграфа; определять, имеются ли у орграфа изолированные вершины; рассчитывать степень
8
вершины по полустепеням исхода и захода в орграфе; находить смежные вершины в орграфе; находить смежные ориентированные рёбра в орграфе; записать множество вершин орграфа, смежных с некоторой вершиной; определять и
записывать ориентированные пути (маршруты) длины k ориентированного гра-
фа; определять и записывать простые пути (маршруты) в орграфе; определять и
записывать цепи (простые цепи) ориентированного графа; определять и записывать циклы (простые циклы) в орграфе; изображать соотнесённый граф для
произвольного орграфа; определять, является ли орграф связным; определять,
является ли орграф сильно связным; записывать матрицы смежности произвольного ориентированного графа; записывать списки вершин (списки смежности) произвольного ориентированного графа; записывать матрицы инцидентности произвольного ориентированного графа; записывать списки рёбер (списки
инцидентности) произвольного ориентированного графа; определять тип ор-
графа; определять, имеет ли указанный ориентированный граф ориентированный эйлеров цикл.
9
ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Тема
«Теоретико-множественное представление орграфа»
Определение. Ориентированным графом (или орграфом) называется пара
множеств, первое из которых представляет собой конечное непустое множество
V, называемое множеством вершин, второе — множество Е, представляющее
собой совокупность упорядоченных пар элементов из множества V, называемое
множеством ориентированных рёбер (или просто рёбер, если известно, что
граф ориентирован). Элемент множества Е называется ориентированным ребром
(или просто ребром, если известно, что граф ориентирован). Довольно часто
элемент ориентированного графа называется дугой. Ориентированный граф обо-
значается G(V,E), а для записи нескольких различных графов рекомендуется ука-
зывать, какому графу соответствует множество вершин или рёбер, например, за-
пись V(G
1
) означает, что множество вершин соответствует ориентированному
графу G1, запись E(G2) — что множество рёбер соответствует ориентированному
графу G2. Число вершин ориентированного графа n называется порядком этого
графа, другими словами, порядок ориентированного графа определяется по
мощности множества вершин графа. Ориентированный граф с n вершинами и m
рёбрами называется (n, m)-орграфом. Элементы а и b множества V называются
соединёнными или связанными ребром (а, b), если (а, b) Е.
Наглядно ориентированный граф изображается в виде рисунка (схемы
или диаграммы), на котором вершины графа изображаются в виде точек
(кружочков закрашенных или полых), ориентированные рёбра — в виде
направленных отрезков (стрелок), связывающих соответствующие вершины,
соединённые этим ориентированным ребром. При изображении ориентирован-
ного графа не имеют значения радиус кружочков, изображающих вершины, а
также длины стрелок, соответствующих ориентированным рёбрам. Позже будут рассмотрены другие способы задания ориентированных графов.
Определение. Размеченным орграфом называется ориентированный
граф, в котором каждая вершина графа отмечена, т. е. задана так называемая
функция разметки, которая каждой вершине (ориентированному ребру) ставит
в соответствие метку (обозначение вершины или ориентированного ребра).
Множество меток может разделяться на два непересекающихся подмножества:
множество меток вершин и множество меток ориентированных рёбер. Заметим,
что, конечно, чаще всего имеют дело именно с размеченными орграфами из со-
ображений удобства.
10
Пример 1. Ориентированный граф G1, показанный на рис. 1, состоит из
множества вершин V(G1), содержащего 6 элементов, и множества рёбер E(G1),
содержащего 6 элементов: V(G1) = {a, b, c, d, e, f}, E(G1) = {(a, b), (a, c), (b, d), (c,
d), (e, c), (f, d)}.
Рис. 1. Ориентированный граф G1
Ориентированный граф G
2
, показанный на рис. 2, состоит из множества
вершин V(G2), содержащего 6 элементов, и множества рёбер E(G
2
), содержаще-
го 5 элементов: V(G2) = {a, b, c, d, e, f}, E(G2) = {(a, c), (b, e), (c, d), (d, e), (f, d)}.
Рис. 2. Ориентированный граф G2
Ориентированный граф G
3
, показанный на рис. 3, состоит из множества
вершин V(G3), содержащего единственный элемент, и множества рёбер E(G3),
не содержащего элементов: V(G3) = {a}, E(G3) = .
a
b c d e f a b
c
d
e
f
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]