Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
41
Рис. 30. Ориентированный граф с петлёй G
30
Задача 12. Найти все мосты ориентированного графа G31 (показан на
рис. 31).
Рис. 31. Ориентированный граф G31
Решение. 1. Граф G31 является связным, так как его соотнесённый граф,
представленный ниже, связен. Граф G31 не является сильно-связным, так как не
существует ориентированного пути из любой вершины в любую другую,
например, не существует ориентированного пути из вершины 4 в вершину 7.
Следовательно, у него имеется несколько компонент связности.
a f i
b
c
d
e
g
h
1 5 2 3 4
6
7
42
Рис. 32. Неориентированный граф, соотнесённый к орграфу G31
2) Граф H1(5,2,3,6) является подграфом графа G31, так как его множество
вершин является подмножеством множества вершин графа G31. Граф H1 является сильно-связным, так как существует ориентированный путь из любой вер-
шины в любую другую. Следовательно, граф H1 является компонентой связности графа G31.
3) Вершина 1 является источником (нет входящих рёбер), вершина 4 является стоком (нет выходящих рёбер), вершина 7 является источником (нет
входящих рёбер). Следовательно, эти вершины являются компонентами связности графа G31.
4) При удалении рёбер {1,5}, {5,4}, {7,5}, {7,6} число компонент связности не изменится, следовательно, они не являются мостами.
5) При удалении любого единственного ребра из графа H1 число компонент связности не изменится, следовательно, мостов в графе H1 нет.
6) Учитывая п. 4 и 5, в графе G31 мостов нет.
Задача 13. Найти все компоненты связности ориентированного графа G33
(показан на рис. 33).
Рис. 33. Ориентированный граф G33
Решение. 1. Граф G33 связен, так как его соотнесённый граф, показанный
ниже, связен. Граф G33 не является сильно-связным, так как не существует ориентированного пути из любой вершины в любую другую, например, не существует ориентированного пути из вершины 3 в вершину 7.
1 2 3 4 5
6
7
1 5 2 3 4
6
7
43
Рис. 34. Неориентированный граф, соотнесённый к орграфу G33
2. Графы H2(2,3) и H3(1,4,5,6,7) являются подграфами графа G33, так как
вершины H2 и H3 являются подмножествами множества вершин графа G33.
3. Подграф H2 сильно-связен, так как существует ориентированный путь
из любой вершины в любую другую. Следовательно, он является компонентой
связности графа G33.
Подграф H3 сильно-связен, так как существует ориентированный путь из
любой его вершины в любую другую. Следовательно, он является компонентой
связности графа G33.
4. Учитывая п. 3, орграф G33 имеет 2 компоненты связности: H2(2,3),
H3(1,4,5,6,7).
Задача 14. Найти все компоненты связности и мосты ориентированного
графа G35.
Рис. 35. Ориентированный граф G35
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3
4
5 6 7 8 9
44
Решение. 1. Граф G35 связен, так как его соотнесённый граф, показанный
ниже, связен. Граф G35 не является сильно-связным, так как не существует ориентированного пути из любой его вершины в любую другую, например, не существует ориентированного пути из вершины 4 в вершину 8.
Рис. 36. Неориентированный граф, соотнесённый к орграфу G35
2. Подграфы H4(1,2,3,4), H5(5,6) и H
6
(7,8,9) являются подграфами графа
G35, так как множества вершин графов H4, H5 и H6 являются подмножествами
множества вершин графа H.
3. Граф H4(1,2,3,4) является сильно-связным, так как существует ориенти-
рованный путь из любой его вершины в любую другую. Следовательно, он является компонентой связности графа G35.
Граф H5(5,6) является сильно-связным, так как существует ориентирован-
ный путь из любой его вершины в любую другую. Следовательно, он является
компонентой связности графа G35.
Граф H6(7,8,9) является сильно-связным, так как существует ориентиро-
ванный путь из любой его вершины в любую другую. Следовательно, он является компонентой связности графа G35.
4. Учитывая п. 3, граф G35 имеет 3 компоненты связности: H4(1,2,3,4),
H5(5,6), H6(7,8,9).
5. Если из графа G35 удалить ребро {3,6} или {4,5}, число компонент
связности не изменится. Следовательно, они не являются мостами (одноэле-
1 2 3 4 5 6 7 8 9
45
ментными разрезами, увеличивающими число компонент связности ровно на
единицу) графа G35.
Если из графа G35 удалить ребро {8,5} или {7,6}, число компонент связ-
ности не изменится. Следовательно, они не являются мостами графа G35.
Если из графа H5 удалить ребро {5,6} или {6,5}, то число компонент связно-
сти возрастет на 2, следовательно, рёбра {5,6} и {6,5} не являются мостами.
Если из графа H4 удалить ребро {1,4}, то число компонент связности не
изменится, следовательно, ребро {1,4} не является мостом.
Если из графа H4 удалить ребро {1,2}, то число компонент связности уве-
личится ровно на единицу, так как вершина 2 станет источником.
Если из графа H
4
удалить ребро {2,4}, то число компонент связности уве-
личится ровно на единицу, так как вершина 2 станет стоком. Следовательно,
рёбра {1,2} и {2,4} являются мостами.
Если из графа H4 удалить ребро {4,3}, то число компонент связности возрастет ровно на единицу, так как вершина 3 станет источником. Следовательно,
ребро {4,3} является мостом.
Если из графа H4 удалить ребро {3,1}, то число компонент связности увеличится ровно на единицу, так как вершина 3 станет слабо-связной компонентой. Следовательно, ребро {3,1} является мостом.
6) Компоненты связности графа G35: H4(1,2,3,4), H5(5,6), H
6
(7,8,9). Мосты
графа G35: {1,2}, {2,4}, {4,3}, {3,1}.
4. Тема «Матричное представление орграфов»
Задача 15. Для ориентированных графов G11 – G
13
, показанных на
рис. 11‒13, определите матрицы смежности.
Решение. Ориентированный граф G
11
состоит из шести вершин, поэтому
его матрица смежности имеет размерность 6 6:
.
000000
000000
100010
001000
010000
000100
f
e
d
c
b
a
fedcba
46
Ориентированный граф G
12
состоит из четырёх вершин, поэтому его мат-
рица смежности имеет размерность 4 4:
.
0000
0000
1000
1100
d
c
b
a
dcba
Ориентированный граф G
13
состоит из четырёх изолированных вершин,
поэтому его матрица смежности имеет размерность 4 4, все элементы которой
равны нулю:
.
0000
0000
0000
0000
d
c
b
a
dcba
Ориентированный граф с петлёй G
30
состоит из девяти вершин, включая
одну петлю, поэтому его матрица смежности имеет размерность 9 9, включая
одну единицу, расположенную на главной диагонали:
.
000000000
100000000
000100000
000000000
010000000
001010000
000001000
000000100
000000101
i
h
g
f
e
d
c
b
a
ihgfedcba
47
Задача 16. Для ориентированных графов G11 – G13, G
30
, показанных на
рис. 11–13, 30, определите списки вершин.
Решение. Ориентированный граф G
11
состоит из шести вершин, поэтому
список вершин будет состоять из шести строк (табл. 13).
Таблица 13
Список вершин графа G
11
a
c
b
e
c d d
b, f
e
f
Ориентированный граф G
12
также состоит из четырёх вершин, поэтому
его список вершин будет состоять из четырёх строк (табл. 14).
Таблица 14
Список вершин графа G
12
a
c, d
b
d
c
d
Ориентированный граф G
13
состоит из четырёх изолированных вершин, по-
этому его список вершин будет состоять из строк следующего вида (табл. 15).
Таблица 15
Список вершин графа G
13
a
b c d
48
Ориентированный граф с петлёй G
30
состоит из девяти вершин, поэтому
его список вершин будет состоять из девяти строк (табл. 16).
Таблица 16
Список вершин орграфа с петлёй G
30
a
a, c b c
c
d
d
e, g
e
h
f
g
f
h
i
i
Задача 17. Для ориентированных графов G11 и G12, показанных на рис. 11
и 12, определите матрицы инцидентности.
Решение. Ориентированный граф G
11
состоит из шести вершин и пяти
рёбер, поэтому его матрица инцидентности имеет размерность 6 5:
.
10000
01000
10110
00011
01100
00001
},{ },{ },{ },{ },{
−
−
−
−
−
f
e
d
c
b
a
fdebbddcca
Ориентированный граф G
12
состоит из четырёх вершин и трёх рёбер, по-
этому его матрица инцидентности имеет размерность 4 3:
49
.
110
001
100
011
},{ },{ },{
−−
−
d
c
b
a
dbdaca
Задача 18. Для ориентированного графа с петлёй G
30
, показанного на
рис. 30, определите матрицу инцидентности.
Решение. Ориентированный граф G
30
состоит из девяти вершин и девяти
рёбер, поэтому его матрица инцидентности имеет размерность 9 9:
.
001000000
001100000
110000000
100000000
000110000
010011000
000001110
000000100
000000012
},{ },{ },{ },{ },{ },{ },{ },{ },{
−
−
−
−
−
−
−−
i
h
g
f
e
d
c
b
a
fggdihheeddccbcaaa
Задача 19. Для графа G37 (рис. 37) постройте матрицу инцидентности.
Рис. 37. Ориентированный граф G37
6
G37
1 2 3
4
5
7
e2 e
1
e3 e4 e5 e6 e
7
e
8
e9 e
10 e11
8
9
50
Решение: Ориентированный граф G
37
содержит 9 вершин и 11 рёбер, сле-
довательно, в матрице инцидентности должно быть 9 строк и 11 столбцов. Ребру e1 инцидентны две вершины: 1 и 2, где вершина 2 — начало, а 1 — конец,
следовательно, в первом столбце матрицы в первой строке будет стоять «–1», а
во второй строке — «1», а в остальных строках первого столбца — нули; ребру
e2 инцидентны две вершины: 2 и 3, где вершина 2 — начало, а 3 — конец, сле-
довательно, во втором столбце матрицы во второй строке будет стоять «1», а в
третьей строке — «–1», а в остальных строках второго столбца — нули; e
9
явля-
ется петлёй, ей инцидентна одна вершина 9, в этом случае в девятом столбце
матрицы в девятой строке ставится единица, в остальных строках столбца —
нули; аналогично заполняется матрица и для остальных рёбер.
Матрица инцидентности графа G37:
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
00000000100
−−
−
−−
−
−
−−
−
Задача 20. Построить граф, соответствующий матрице инцидентности B.
1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 0
B
−
−−
−
=
−
−−
−
Решение: Матрица B состоит из восьми столбцов и шести строк, следова-
тельно, у графа, которому соответствует матрица инцидентности В, 6 вершин и
8 рёбер. В матрице присутствуют такие значения, как «0», «1» и «–1», из этого
следует, что искомый граф ориентированный. Построение графа лучше начать
с вершин, которые для удобства можно расставить как вершины правильного
шестиугольника; вершинам 1 и 2 инцидентно ребро e1, где 1 — конец, а 2 —
начало е1; вершинам 2 и 3 инцидентно ребро e
2
, где вершина 2 — конец, а 3 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]