Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
51
начало е2; аналогично определяется инцидентность вершин к остальным рёбрам, и всё это изображается на графе, показанном на рис. 38.
Рис. 38. Ориентированный граф, соответствующий матрице инцидентности B
Задача 21. Для графа G39, изображённого на рисунке 39, запишите мат-
рицу инцидентности.
Рис. 39. Ориентированный граф, состоящий из 6 петель
Решение: Граф G39 состоит из шести вершин: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — и из шести
петель: е
1
, е2, е3, е4, е5 и е6 — соответственно инцидентным этим вершинам.
Матрица инцидентности графа G39:
1 2 3 4 5
6
e2 e1 e3 e4 e5 e6 e
8
e
7
1 2 3 4 5 6 e1 e
2
e
3
e
5
e
6
e
4
52
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Задача 22. Постройте ориентированный граф, ориентируясь по его мат-
рице инцидентности C.
1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1
С
−−
−−
=
−
−
−
Решение: Матрица С состоит из семи столбцов и пяти строк, следова-
тельно, у искомого графа 5 вершин и 7 рёбер. Построение графа лучше начать с
вершин, которые для удобства можно расставить как вершины правильного
шестиугольника; вершинам 1 и 2 инцидентно ребро e1, где 1 — конец, а 2 —
начало е1; вершинам 2 и 3 инцидентно ребро e
2
, где вершина 2 — конец, а 3 —
начало е2, также вершинам 2 и 3 инцидентно ребро е
3
, где вершина 2 — начало,
а 3 — конец; аналогично определяется инцидентность вершин к остальным рёбрам, и всё это изображается на графе, показанном на рис. 40.
Рис. 40. Ориентированный граф, соответствующий матрице инцидентности С
1 2 3
5
e1 e3 e4 e
5
4
e
2
e
7
e
6
53
Задача 23. Запишите матрицу инцидентности для ориентированного гра-
фа, представленного на рис. 41.
Рис. 41. Ориентированный граф для задачи 23
Решение: Ориентированный граф, представленный на рис. 41, состоит из
9 вершин и 11 рёбер, следовательно, в матрице инцидентности должно быть 9
строк и 11 столбцов. Ребру e1 инцидентны две вершины: 1 и 2, где вершина 1 —
начало, а 2 — конец, следовательно, в первом столбце матрицы в первой строке
будет стоять «1», а во второй строке — «–1», а в остальных строках первого
столбца — нули; ребру e2 инцидентны две вершины: 2 и 3, где вершина 3 —
начало, а 2 — конец, следовательно, во втором столбце матрицы во второй
строке будет стоять «–1», а в третьей строке — «1», а в остальных строках второго столбца — нули; e
11
является петлёй, ей инцидентна одна вершина 8, в
этом случае в одиннадцатом столбце матрицы в восьмой строке ставится еди-
ница, в остальных строках столбца — нули; аналогично заполняется матрица и
для остальных рёбер.
Таким образом, искомая матрица инцидентности имеет вид:
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
00000000001
00000000 110
−−
−
−
−−
−−
−−
1 2 3 4 5
6
8
e2 e1 e3 e
4
e
5
e6 e7 e8 e9 e
10
e
11
7
9
54
Задача 24. Для ориентированных графов G11, G12 и G
30
, показанных на
рис. 11, 12 и 30, определите списки рёбер.
Решение. Ориентированный граф G
11
состоит из пяти рёбер, поэтому его
список рёбер будет состоять из пяти столбцов (табл. 17).
Таблица 17
Список рёбер ориентированного графа G
11
(a, c)
(c, d)
(d, b)
(b, e)
(d, f)
a c d b d
c d b e f
Ориентированный граф G
12
состоит из трёх рёбер, поэтому его список рё-
бер будет состоять из трёх столбцов (табл. 18).
Таблица 18
Список рёбер ориентированного графа G
12
(a, c)
(a, d)
(b, d)
a a b
c d d
Ориентированный граф G
30
состоит из девяти рёбер, поэтому его список
рёбер будет состоять из девяти столбцов (табл. 19).
Таблица 19
Список рёбер ориентированного графа G
30
(a, a)
(a, c)
(b, c)
(c, d)
(d, e)
(e, h)
(h, i)
(d, g)
(g, f)
a a b c d e h d g
a c c d e h i g f
Задача 25. Изобразите граф, соответствующий матрице инцидентности:
55
.
01010
10100
01001
00110
10001
4
−
−
−
−
−
=
и
M
Решение. Матрица
4
и
M
состоит из пяти столбцов и пяти строк, следова-
тельно, у графа, которому соответствует матрица инцидентности
4
и
M
, пять
вершин и пять рёбер. Элементами матрицы являются нули, единицы и единицы
с минусом, из чего следует, что искомый граф ориентированный. Построение
ориентированного графа лучше начать с вершин, которые для удобства рекомендуется расставить как вершины правильного пятиугольника; вершинам 1
и 3 инцидентно ребро e1, вершинам 2 и 5 инцидентно ребро e2, вершинам 2 и
4 — e3, вершинам 3 и 5 — e4, вершинам 1 и 4 — е
5
. Теперь необходимо обра-
тить внимание на то, какая именно вершина начальная (имеет единицу в матри-
це смежности), а какая — конечная (имеет минус единицу в матрице смежности). Ребро e1 инцидентно вершинам 1 и 3, причем именно перед 1 в матрице
инцидентности стоит минус единица, следовательно, имеется в виду ориенти-
рованное ребро (3, 1), ребро e2 инцидентно вершинам 2 и 5, при этом перед 5 в
матрице инцидентности стоит минус единица, значит, имеется в виду ориентированное ребро (2, 5), аналогичными размышлениями получаем оставшиеся
ориентированные рёбра (4, 2), (5, 3) и (1, 4). Всё вышесказанное изображается,
как показано на рис. 42.
Рис. 42. Ориентированный граф, соответствующий матрице смежности
4
и
M
1
2
3
5
e
1
e
3
e
4
e
5
4
e
2
56
5. Тема «Типы ориентированных графов»
Задача 26. Приведите пример пустого графа, мощность вершин которого
равна четырём.
Решение. Ориентированный граф G13, изображённый на рис. 13, является
пустым, поскольку представляет собой граф, состоящий из четырёх изолиро-
ванных вершин: V(G13) = {a, b, c, d}, E(G13) = . Поскольку множество вершин
графа представляет собой множество, имеющее мощность, равную четырём,
следовательно, граф G
13
удовлетворяет заданному условию.
Задача 27. Изобразите полные двудольные ориентированные графы
K
1,3
, K
3,3
.
Решение. Ориентированные графы, изображённый на рис. 43 и 44 явля-
ются полными двудольными ориентированными графами K
1,3
, K
3,3
.
Рис. 43. Ориентированный полный двудольный граф К
1,3
Рис. 44. Ориентированный полный двудольный граф К
3,3
Задача 28. Определите, какой из графов на рис. 45 является турниром.
a
b
c
d
a b c d e
f
57
Рис. 45. Примеры ориентированных графов
Решение. Граф Т1 является ориентированным, направленным в обе сто-
роны, следовательно, он не является турниром. Граф Т2 является ориентиро-
ванным, каждая вершина соединена одной направленной дугой с другой, сле-
довательно, следовательно, он является турниром. Граф Т3 не является турниром, потому что не является полным, так как между вершинами 1 и 3 нет дуги.
Граф Т4 — полный ориентированный граф, следовательно, турнир.
Граф Т5 не является турниром, так как имеется петля. Граф Т6 является
неориентированным графом, следовательно, не является турниром.
Задача 29. Составьте формулу для нахождения числа всевозможных ва-
риантов построения турнира для полного неориентированного графа.
Решение. Полный граф с n вершинами имеет
2
)1( −nn
рёбер, следова-
тельно, если учитывать, что в полном графе каждые вершины соединены ребром, а в турнире все рёбра ориентированные и могут быть направлены как в
одну, так и в другую сторону (2 варианта для каждого ребра), то для выявления
всевозможных вариантов турнира графа с n вершинами, можно вывести
следу-
ющую формулу:
2
)1(
2
−nn
.
Задача 30. Определите число всевозможных вариантов турнира графа G3
и изобразите их.
Решение. Отталкиваясь от формулы в задаче 29, определим число все-
возможных турниров:
82
2
)13(3=−
. Изобразим их графически на рисунке 46.
58
Рис. 46. Всевозможные турниры для орграфа G3
Задача 31. Спортивный турнир проводится по круговой системе. Опреде-
лите общее число встреч, если в турнире принимает участие 6 спортсменов.
Решение. Построим для этой задачи турнир с произвольными победите-
лями, в качестве вершин будем использовать число участников (6 вершин).
Рис. 47. Турнир для задачи 31
По рисунку 47 видно, что ориентированных рёбер 15. Следовательно, и
встреч сыграно также 15.
Задача 32. В шахматном турнире по круговой системе участвуют
7 школьников. Известно, что Павел сыграл шесть партий, Марина — пять, Елена и Фёдор — по три, Игорь и Денис — по две, Алиса — одну. С кем из участников турнира играла Елена?
Решение. Так как имеется круговая система, следовательно, каждый из
участников не может играть друг с другом по 2 и более раз. Начнём последова-
тельно строить орграф (рис. 48), обозначая за вершины каждого игрока (кто победил, неважно).
Павел сыграл игры со всеми соперниками (6 партий), следовательно,
Алиса сыграла свою игру с ним, следовательно, Марина сыграла свои 5 игр со
всеми, кроме Алисы, следовательно, получается, что Игорь и Денис сыграли
свои 2 игры с Мариной и Павлом, следовательно, Елена не могла сыграть ни с
Игорем, ни с Алисой, ни с Денисом (помечено чёрным без направления).
Таким образом, получаем, что Елена сыграла с Павлом, Мариной и
Фёдором.
59
Рис. 48. Ориентированный граф для шахматного турнира
Задача 33. В командных соревнованиях (круговая система) по футболу
принимали участие 5 команд. ЦСКА победил всех, кроме «Зенита» и «Росто-
ва». «Томь» уступила всем, кроме «Спартака». «Зенит», обыграв ЦСКА и
«Томь», потерпел поражение от остальных команд. «Ростов» уверенно обыграл
«Спартак». Построить турнир, определить победившую команду и команду с
самым маленьким числом очков.
Решение. За вершины обозначим названия команд. Так как турнир проводится по круговой системе и по определению турнира ничейных результатов
быть не может, начнём построения для каждой футбольной команды отдельно.
ЦСКА победил всех, кроме «Зенита» и «Ростова» – проведём соответствующие ориентированные ребра (2 входящих и 2 исходящих).
Рис. 49. Ориентированный граф для футбольной команды ЦСКА
«Томь» уступила всем, кроме «Спартака», соответственно, имеется 4 исходящих ориентированных ребра и 1 входящее.
60
Рис. 50. Ориентированный граф для футбольной команды «Томь»
«Зенит», обыграв ЦСКА и «Томь», потерпел поражение от остальных команд (2 входящих ориентированных ребра и 2 исходящих).
Рис. 51. Ориентированный граф для футбольной команды «Зенит»
«Ростов» уверенно обыграл «Спартак» (1 исходящее ориентированное ребро).
Рис. 52. Ориентированный граф для футбольной команды «Ростов»
Таким образом, получим следующий турнир для футбольных команд.
Рис. 53. Турнир для футбольных матчей
Т Ц З Р С Р С З Т
С
Р
Ц
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]