Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
21
Ориентированный граф G
1
состоит из шести рёбер, поэтому список рёбер
будет состоять из шести столбцов (табл. 8).
Таблица 8
Список рёбер графа G
1
(a, b)
(a, c)
(b, d)
(c, d)
(e, c)
(f, d) a a b c e f
b c d d c
d
Ориентированный граф G
2
состоит из пяти рёбер, поэтому его список рё-
бер будет состоять из пяти столбцов (табл. 9).
Таблица 9
Список рёбер графа G
2
(a, c)
(b, e)
(c, d)
(d, e)
(f, d) a b c d
f
c e d e d
5. Тема «Типы ориентированных графов»
Определение. Ориентированный (неориентированный) граф, состоящий
из единственной вершины, называется тривиальным орграфом.
Пример 13. Ориентированный граф G
3
, изображённый на рис. 3, является
тривиальным орграфом, поскольку представляет собой единственную изолированную вершину a.
Определение. Ориентированный граф, в котором нет рёбер, называется
пустым орграфом (нульграфом), другими словами, пустым называется граф,
состоящий из одних изолированных вершин.
Пример 14. Ориентированные графы G5 и G6, изображённые на рис. 5 и 6,
являются пустыми, поскольку представляют собой графы, состоящие из изолированных вершин: граф G
43
состоит из 5 изолированных вершин, а граф G
44
—
из 4 изолированных вершин.
22
Рис. 5. Пустой ориентированный граф G
5
Рис. 6. Пустой ориентированный граф G
6
Определение. Если в ориентированном графе допускается наличие более
одного рёбра между одними и теми же двумя вершинами, т. е. допускаются
кратные рёбра, то он называется мультиграфом. На рис. 7 показан пример
ориентированного мультиграфа (наличие петель в ориентированных графах
удовлетворяют определению орграфа, поэтому наличие в орграфе на рис. 7
петли не привносит в типологию ориентированного графа ничего нового).
a
b
c
e d a b c
d
23
Рис. 7. Ориентированный мультиграф
Определение. Взвешенный ориентированный граф ставит в соответствие каждому ребру некоторое значение (вес ребра). Вес ориентированного
пути во взвешенном ориентированном графе определяется суммой весов ориентированных рёбер этого ориентированного пути.
Определение. Ориентированный граф называется полным (n-кликой),
если любые две его вершины соединены ребром. Полный ориентированный
граф с n вершинами обозначается через Кn.
Определение. Ориентированный граф называется турниром, если он
получен из неориентированного полного графа путём назначения направления
каждому ребру. Таким образом, турнир — это орграф, в котором каждая пара
вершин соединена единственным ориентированным ребром.
Определение. Ориентированный граф G = (V, Е) называется
двудольным, если множество вершин V можно представить как объединение
непересекающихся множеств, например, V = А
В, так что каждое ребро имеет
вид (а, b), где а А и b В. Таким образом, каждое ориентированное ребро
связывает вершину из подмножества А с вершиной из подмножества В, но
никакие две вершины из А или две вершины из В не являются связанными.
a
b c d e f g h
i
24
Если ориентированный граф G двудольный, то множества A и B
называются долями графа G.
Ориентированный двудольный граф называется полным двудольным
графом, если А содержит m вершин, В содержит n вершин и для каждого а А
и b В существует (а, b) Е. Таким образом, для каждого а А и b В
имеется связывающее их ориентированное ребро.
Пример 15. Ориентированный граф, изображённый на рис. 8, является
ориентированным полным двудольным графом.
Рис. 8. Ориентированный полный двудольный граф
6. Тема «Цикл Эйлера
в ориентированном графе»
Определение. Пусть G − (V, E) — ориентированный граф. Цикл, который
включает все ориентированные рёбра и вершины графа G, называется ориентированным эйлеровым циклом. Если это условие выполняется, говорят, что
граф G имеет ориентированный эйлеров цикл.
Теорема. Ориентированный граф с более чем одной вершиной имеет эй-
леров цикл тогда и только тогда, когда он связный и степень входа каждой
вершины совпадает со степенью её выхода.
Пример 16. Определим, имеется ли эйлеров цикл в ориентированных
графах G1 и G2, показанных на рис. 1 и 2. В примере 3 были определены полустепени каждой вершины графов G1 и G2, результаты показаны в таблицах 1
и 2; из этих таблиц видно, что не для всех вершин выполняется требуемое теоремой условие: в частности, в графе G1 вершина a имеет indeg(v), равную 0, а
outdeg(v), равную 2, вершина d имеет indeg(v), равную 3, а outdeg(v), равную 0
(табл. 1). В графе G2 вершина a имеет indeg(v), равную 0, а outdeg(v), равную 1,
вершина d имеет indeg(v), равную 2, а outdeg(v), равную 1 (табл. 2). Следовательно, ни ориентированный граф G1, ни ориентированный граф G2 ориентированного эйлерова цикла не имеют. В ориентированном графе G3 нет эйлерова
цикла, поскольку граф имеет единственную изолированную вершину, а в тео-
реме требуется наличие более чем одной вершины.
Пример 17. На рис. 9 показан пример ориентированного графа G
9
, состо-
ящего из 12 вершин, соотнесённый граф которого является связным, поскольку
a b c
d
e
25
имеется неориентированный путь из любой вершины в любую другую вершину.
Внимательно рассмотрев степени входа и выхода каждой вершины ориентированного графа G
9
, можно увидеть, что все они удовлетворяют условию о том, что
степень входа каждой вершины равна степени её выхода, в частности, вершины
a, e, k, l, h, b имеют степени входа и выхода, равные единице, вершины d, g, j, i, f,
c имеют степени входа и выхода, равные двум, следовательно, ориентированный
граф G9 имеет эйлеров цикл. Укажем его: g(g, k)k(k, j)j(j, l)l(l, i)i(i, h)h(h, f)f(f,
b)b(b, c)c(c, f)f(f, i)i(i, j)j(j, g)g(g, e)e(e, d)d(d, a)a(a, c)c(c, d)d(d, g)g.
Рис. 9. Ориентированный граф G9
Пример 18. На рис. 10 показан пример ориентированного графа G
10
, со-
стоящего из семи вершин, соотнесённый граф которого является связным, при
этом вершины a и e соотнесённого графа для орграфа G
10
имеют нечётную сте-
пень, остальные вершины имеют чётную степень, следовательно, граф G
10
не
имеет эйлерова цикла при любом направлении ориентированных рёбер, по-
скольку условие, когда степень входа совпадает со степенью выхода для вер-
шин, инцидентных нечётному числу рёбер, не выполняется при любой организации ориентированных рёбер.
Рис. 10. Ориентированный граф G10
a b
e k l
h
f
d
c g
j i
а b
d
f
c e g
26
ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Тема
«Теоретико-множественное представление орграфа»
Задача 1. Запишите множества вершин и рёбер ориентированных графов,
показанных на рис. 11‒13, перечислением элементов.
Рис. 11. Ориентированный граф G
11
Рис. 12. Ориентированный граф G12
a b c d e
f
a b c
d
27
Рис. 13. Ориентированный граф G13
Решение: Ориентированный граф G11 состоит из множества вершин V(G11),
содержащего шесть элементов, и множества ребер E(G
11
), содержащего пять эле-
ментов: V(G11) = {a, b, c, d, e, f}, E(G11) = {(a, c), (c, d), (d, b), (b, e), (d, f)}.
Ориентированный граф G12 состоит из множества вершин V(G
12
), содер-
жащего четыре элемента, и множества ребер E(G
12
), содержащего три элемента:
V(G11) = {a, b, c, d}, E(G11) = {(a, c), (a, d), (b, d)}.
Ориентированный граф G13 состоит из множества вершин V(G
13
), содер-
жащего четыре элемента, и множества ребер E(G
13
), не содержащего элементов:
V(G13) = {a, b, c, d}, E(G13) = .
2. Тема «Основные характеристики
ориентированного графа»
Задача 2. Для ориентированных графов, представленных на рис. 11‒13,
укажите все смежные вершины и рёбра, также укажите, какие вершины (рёбра)
инцидентны рёбрам (вершинам).
Решение. В ориентированном графе G11 смежными являются следующие
пары вершин: a и c, b и d, b и e, c и d, d и f. В графе G11 смежными являются
следующие пары ориентированных рёбер: (a, c) и (c, d), (d, b) и (b, e) — а также
тройка (c, d), (d, b) и (d, f). В графе G11 вершина а инцидентна ребру (a, c), вер-
шина b инцидентна двум ребрам (d, b) и (b, e), вершина с инцидентна двум ребрам (a, c) и (c, d), вершина d инцидентна трём ребрам (c, d), (d, b) и (d, f), вершина e инцидентна ребру (b, e), вершина f инцидентна ребру (d, f). В графе G11
ребро (a, c) инцидентно вершинам a и c, ребро (c, d) инцидентно вершинам c и
d, ребро (d, b) инцидентно вершинам d и b, ребро (b, e) инцидентно вершинам b
и e, ребро (d, f) инцидентно вершинам d и f.
В ориентированном графе G12 смежными являются следующие пары вер-
шин: a и c, a и d, b и d. В графе G12 смежными являются следующие пары ори-
a b c
d
28
ентированных ребер: (a, c) и (a, d), (a, d) и (b, d). В графе G12 вершина а инцидентна двум ребрам (a, c) и (a, d), вершина b инцидентна ребру (b, d), вершина с
инцидентна ребру (a, c), вершина d инцидентна двум ребрам (a, d) и (b, d). В
графе G12 ребро (a, c) инцидентно вершинам a и c, ребро (a, d) инцидентно
вершинам a и d, ребро (b, d) инцидентно вершинам b и d.
Ориентированный граф G13 состоит из множества рёбер E(G
13
), не содер-
жащего элементов, следовательно, смежных вершин и рёбер у графа G
13
нет, а
также не определена инцидентность вершин и рёбер.
Задача 3. Определите для ориентированных графов G11, G12 и G13 степен-
ную последовательность. Имеются ли в графах источники, стоки или изолированные вершины? Если да, то укажите их.
Решение. В ориентированном графе G11 полустепени и степени каждой
вершины определены, как показано в табл. 1.
Таблица 10
Степени вершин ориентированного графа G
11
вершина v
a b c d e f indeg(v)
0 1 1 1 1 1 outdeg(v)
1 1 1 2 0 0 deg(v)
1 2 2 3 1
1
Из информации, показанной в табл. 1, видно, что изолированных вершин
в ориентированном графе G
11
нет, источником является вершина a, а стоков
два: вершина e и вершина f. Cтепенная последовательность, определённая по
последней строке таблицы 1, для графа G1: (1, 2, 2, 3, 1, 1).
В ориентированном графе G12 полустепени и степени каждой вершины
определены, как показано в табл. 11.
Таблица 11
Степени вершин ориентированного графа G
12
вершина v
a b c d indeg(v)
0 0 1 2 outdeg(v)
2 1 0 0 deg(v)
2 1 1
2
Из информации, показанной в табл. 11, видно, что источниками являются
две вершины: вершина a и вершина b, стоками являются также две вершины:
29
вершина c и вершина d, а изолированных вершин в графе G
12
нет, степенная по-
следовательность графа G12 (2, 1, 1, 2).
В ориентированном графе G13 степени каждой вершины определены, как
показано в табл. 12, полустепени также для всех вершин равны нулю.
Таблица 12
Степени вершин ориентированного графа G
13
вершина v
a b c
d
deg(v)
0 0 0
0
Из информации, показанной в табл. 12, видно, что все вершины графа G
13
являются изолированными, поэтому степенная последовательность графа G13
(0, 0, 0, 0).
Задача 4. Для каждого орграфа (G14‒G17) постройте по 4 подграфа.
а)
б)
c) d)
Рис. 14. Примеры ориентированных графов
G
15
a
b
c
d
c e d
b
a
G
14
G
16
b
a c d
e
G
17
b
a
c
d
e
30
Решение. Подграфы, соответствующие надграфам G14 — G
17,
представ-
лены ниже.
Рис. 15. Примеры подграфов для ориентированных графов G14 – G17
Задача 5. Для графа G
18
= (V(G18), E(G18)), где V(G18) = {X1, X2, X3, X4, X5},
E(G18) = {(X1, X2), (X1, X5), (X5, X2), (X2, X3), (X3, X4), (X5, X4), (X4, X
2
)}, представ-
ленного на рис. 16:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]