Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
61
По орграфу на рис. 53 видно, что из вершины «Р» исходит больше всего
ориентированных рёбер, следовательно, именно футбольная команда «Ростов»
является победителем. В вершину «Т» входит больше всего ориентированных
рёбер, следовательно, команда «Томь» набрала меньшее число очков.
6. Тема «Цикл Эйлера в ориентированном графе»
Задача 34. Определите, имеют ли ориентированные графы G11 и G
12
, по-
казанные на рис. 11‒12, ориентированный эйлеров цикл.
Решение. При решении задачи 3 были определены полустепени каждой
вершины графов G11 – G13, результаты показаны в таблицах 10‒12, из этих таб-
лиц видно, что не для всех вершин выполняется требуемое теоремой условие, в
частности, в графе G
11
вершина a имеет indeg(v), равную 0, а outdeg(v), равную
1; вершина d имеет indeg(v), равную 1, а outdeg(v), равную 2 (табл. 10). В графе
G
12
вершина a имеет indeg(v), равную 0, а outdeg(v), равную 2; вершина d имеет
indeg(v), равную 2, а outdeg(v), равную 0 (табл. 11). Следовательно, ни ориенти-
рованный граф G11, ни ориентированный граф G12 ориентированного эйлерова
цикла не имеют. В ориентированном графе G13 нет эйлерова цикла, поскольку
граф состоит из совокупности изолированных вершин, т. е. ориентированный
граф не является связным, однако в теореме требуется наличие связанности для
ориентированного графа, имеющего ориентированный эйлеров цикл.
Задача 35. Из приведенных орграфов (рис. 54‒57) эйлеровым является…
Рис. 54. Пример ориентированного графа
Рис. 55. Пример ориентированного графа
62
Рис. 56. Пример ориентированного графа
Рис. 57. Пример ориентированного графа
Решение. Согласно теореме, доказанной Л. Эйлером, ориентированный
граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он сильно связан и для
каждой вершины графа её полустепень захода равна её полустепени выхода, то
есть в вершину входит столько же ребер, сколько из нее и выходит.
Для графа на рисунке 54 справедливо утверждение, что полустепень захода каждой вершины равна её полустепени выхода, так как в каждую вершину
входит одно ребро и выходит одно. Однако не выполняется условие сильной
связности, так как не существует пути, например, из вершины a в вершину c.
Следовательно, орграф на рисунке 54 эйлеровым не является.
Для графа на рисунке 55 полустепень захода для вершины d равна 2, а
полустепень выхода равна 1, следовательно, граф не является эйлеровым.
Для графа на рисунке 56 определим для каждой вершины полустепени
захода и выхода (табл. 20).
63
Таблица 20
Полустепени захода и выхода орграфа
Вершина
Полустепень захода
Полустепень выхода
a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2
2
e 2 2
Условие равенства полустепеней захода и выхода выполнены. Проверим
условие сильной связности. Для его выполнения необходимо, чтобы для любых
двух вершин s и t существовал ориентированный путь из вершины s в t и из
вершины t в s. Очевидно, что добраться в любую вершину из любой можно,
например, по внешнему периметру. Следовательно, граф на рисунке 56 является эйлеровым.
Для графа на рисунке 57 полустепень захода для вершины e равна 2, а её
полустепень выхода равна 0, следовательно, граф не является эйлеровым.
64
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Дайте определение ориентированного графа. Приведите пример изоб-
ражения ориентированного графа.
2. Дайте определение вершины ориентированного графа. Что представля-
ет собой множество вершин?
3. Может ли быть пустым множество вершин?
4. Какие вершины называются соединёнными или связанными?
5. Из каких элементов состоит множество ориентированных рёбер?
6. Может ли быть пустым множество ориентированных рёбер?
7. Как обозначается ориентированный граф? Каким образом можно ука-
зать, какому графу соответствует заданное множество вершин или рёбер?
8. Как определить порядок графа? Приведите пример графа, имеющего
порядок, равным трём.
9. Изобразите ориентированный граф с 5 вершинами. Каков порядок та-
кого графа? Укажите начальные и конечные вершины каждого ориентированного ребра этого орграфа.
10. На что влияет длина отрезка, соответствующего ориентированному
ребру, при изображении ориентированного графа?
11. Какой ориентированный граф называется размеченным? Изобразите
размеченный ориентированный граф с 4 вершинами.
12. Дайте определение ребру, инцидентному вершинам. Изобразите граф
с 3 вершинами, укажите, какие ориентированные рёбра и каким вершинам ин-
цидентны.
13. Дайте определение вершинам, инцидентным ребру. Изобразите граф с
3 вершинами, укажите, какие вершины и каким ориентированным рёбрам ин-
цидентны.
14. Какие вершины называются смежными? Как обозначается множество
вершин графа, смежных с некоторой вершиной? Изобразите орграф с 4 вершинами и 4 ориентированными рёбрами, укажите, какие вершины смежные.
15. Какие ориентированные рёбра называются смежными? Изобразите
орграф с 4 вершинами и 4 ориентированными рёбрами, укажите, какие рёбра
смежные.
16. Как определить степень вершины? Как определяются полустепени ис-
хода и захода в орграфе? Изобразите орграф с 4 вершинами и 6 ориентированными рёбрами, определите порядок каждой вершины и полустепени исхода и
захода.
17. Какая вершина называется источником (истоком)? Приведите пример
орграфа, имеющего источник.
65
18. Какая вершина называется стоком? Приведите пример орграфа, име-
ющего сток.
19. Какая вершина называется изолированной? Приведите пример оргра-
фа, имеющего изолированную вершину.
20. Дайте определение ориентированного пути (маршрута) длины k ори-
ентированного графа. Изобразите ориентированный граф с 5 вершинами, укажите несколько ориентированных путей.
21. Какая вершина ориентированного пути (маршрута) орграфа называет-
ся начальной? Какая вершина пути (маршрута) ориентированного графа назы-
вается конечной?
22. Какие вершины ориентированного пути (маршрута) ориентированно-
го графа называются внутренними?
23. Какой ориентированный путь (маршрут) называется простым? Изоб-
разите ориентированный граф с 5 вершинами, укажите несколько простых ори-
ентированных путей.
24. Дайте определение ориентированной цепи. Изобразите ориентирован-
ный граф с 5 вершинами, укажите несколько ориентированных цепей.
25. Какая ориентированная цепь называется простой? Изобразите ори-
ентированный граф с 5 вершинами, укажите несколько простых ориентиро-
ванных цепей.
26. Дайте определение ориентированного цикла. Изобразите ориентиро-
ванный граф таким образом, чтобы он имел ориентированный цикл.
27. Какой ориентированный цикл называется простым? Изобразите ори-
ентированный граф таким образом, чтобы он имел ориентированный цикл, не
являющийся простым.
28. Какой граф называется соотнесённым?
29. Какой ориентированный граф называется связным? Приведите пример
связного орграфа.
30. Какой ориентированный граф называется сильно связным? Приведите
пример сильно связного орграфа.
31. Обязательно ли, чтобы у связного ориентированного графа был про-
стой путь (маршрут)?
32. Сформулируйте понятие матрицы смежности ориентированного графа.
33. Какими свойствами обладает матрица смежности орграфа?
34. Какое графовое представление называется списком вершин (списком
смежности) ориентированного графа?
35. Сформулируйте понятие матрицы инцидентности ориентированно-
го графа.
36. Какими свойствами обладает матрица инцидентности орграфа?
66
37. Какое графовое представление называется списком рёбер (списком
инцидентности) ориентированного графа?
38. Какой ориентированный граф называется тривиальным? Приведите
пример тривиального орграфа.
39. Какой ориентированный граф называется пустым? Приведите пример
пустого орграфа.
40. Какой ориентированный граф называется мультиграфом? Приведите
пример ориентированного мультиграфа.
41. Какой ориентированный граф называется взвешенным? Приведите
пример взвешенного орграфа.
42. Какой ориентированный граф называется полным? Приведите приме-
ры полного орграфа с 3 и 5 вершинами.
43. Дайте определение ориентированного двудольного графа. Что такое
доли ориентированного графа?
44. Пусть имеется граф К
m,n
. Является ли он связным? Является ли он
сильно связным?
45. Какой цикл называется эйлеровым?
46. Сформулируйте теорему об ориентированном графе, имеющем ориен-
тированный эйлеров цикл.
67
УПРАЖНЕНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Для заданного в Приложении ориентированного графа:
1) запишите перечислением элементов множество вершин;
2) запишите перечислением элементов множество ориентированных рёбер;
3) определите порядок графа;
4) запишите множество вершин, инцидентных ориентированным рёб-
рам и ;
5) запишите множество ориентированных рёбер, инцидентных вершинам
орграфа;
6) запишите множество вершин, смежных с вершинами орграфа;
7) запишите множество ориентированных рёбер, смежных с ребром ; с
ребром ;
8) определите степень каждой вершины орграфа;
9) определите степени входа (выхода) каждой вершины орграфа;
10) определите и укажите, если есть, источники и стоки в орграфе;
11) запишите простой ориентированный путь и если возможно, путь
(маршрут) заданного ориентированного графа, не являющийся простым;
12) запишите, если возможно, примеры ориентированной цепи и ориен-
тированного цикла заданного ориентированного графа, укажите, являются ли
они простыми;
13) определите и запишите матрицу смежности орграфа;
14) запишите список вершин (список смежности) и список ориентирован-
ных рёбер (список инцидентности);
15) определите и запишите матрицу инцидентности орграфа;
16) изобразите граф, являющийся соотнесённым к заданному ориентиро-
ванному графу;
17) укажите, является ли заданный орграф связным, сильно связным;
18) определите, имеет ли заданный ориентированный граф ориентиро-
ванный эйлеров цикл; укажите, возможна ли смена ориентации рёбер таким образом, чтобы имелся ориентированный эйлеров цикл.
68
ЛИТЕРАТУРА
1. Асанов, М. О. Дискретная математика / М. О. Асанов, В. А. Баранский,
В. В. Расин. — М.: РХД, 2001. — 288 с.
2. Булгакова, И. Н., Федотенко, Г. Ф. Дискретная математика. Элементы
теории. Задачи и упражнения : учеб. пособие. — Воронеж: Изд-во ВГУ,
2004. — 62 с.
3. Волченская, Т. В., Князьков, В. С. Компьютерная математика : Часть 2.
Теория графов : учебное пособие. — Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2002. — 101 с.
4. Гаврилов, Г. П., Сапоженко, А. А. Сборник задач по дискретной мате-
матике. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1977. — 368 с.
5. Горбатов, В. А. Фундаментальные основы дискретной математики.
Информационная математика. — М.: Наука. Физматлит, 2000. — 544 с.
6. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебное пособие /
Ю. Ю. Громов [и др.]. — Электрон. текстовые данные. — Тамбов: Тамбовский
государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2012. — 128 c. — Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/63845.html.– ЭБС «IPRbooks».
7. Дискретная математика. Задачи повышенной сложности [Электронный
ресурс] : практикум для подготовки к интернет-экзамену / Н. А. Седова,
В. А. Седов — Электрон. дан. и прогр. (8 Мб) — Саратов : Ай Пи Эр Медиа,
2018. — 97 c. — 978-5-4486-0133-0. — ЭБС «IPRbooks».
8. Ерусалимский, Я. М. Дискретная математика: Теория, задачи, приложе-
ния. 3-е издание. — М.: Вузовская книга, 2000. — 280 с.
9. Иванов, Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы : учеб.
пособие. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2003. — 288 с.
10. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программиста. — 3-е
изд. — СПб.: Питер, 2009. — 384 с.
11. Рояк, М. Э., Рояк, С. Х. Теория графов: Методические указания к
практическим занятиям и выполнению расчетно-графической работы по курсу
«Дискретная математика». — Новосибирск: НГТУ, 1998. — 38 с.
12. Седова, Н. А. Дискретная математика [Электронный ресурс] : учебное
пособие / Н. А. Седова — Электрон. текстовые данные. — Саратов: Ай Пи Эр
Медиа, 2018. — 67 c. — 978-5-4486-0069-2. — Режим доступа:
http://www.iprbookshoop.ru/69316.html — ЭБС «IPRbooks».
13. Судоплатов, С. В., Овчинникова, Е. В. Дискретная математика: учебник.
2-е изд., перераб. — М.: ИНФРА-М; Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2005. — 256 с.
14. Усов, С. В. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебно-
методическое пособие (для студентов направления 552800 «Информатика и вы-
числительная техника») / С. В. Усов — Электрон. текстовые данные. — Омск:
69
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 2011. — 60 c. —
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/24884.html. — ЭБС «IPRbooks».
15. Хаггарти, Р. Дискретная математика для программистов. М.: Техно-
сфера, 2004. — 320 с.
16. Чечкин, А. В. Дискретная математика : учебник для студ. вузов. — М.:
Издательский центр «Академия», 2006. — 256 с.
17. Шапорев, С. Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических
занятий. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 400 с.
70
ПРИЛОЖЕНИЕ
Примеры ориентированных графов
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]