Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
11
Рис. 3. Ориентированный граф G3
Замечание. Любому неориентированному графу можно поставить в со-
ответствие неориентированный граф, придав каждому неориентированному
ребру одно из двух возможных направлений. Таким образом, имеется 2
n
раз-
личных орграфа, если n — число вершин.
2. Тема «Основные характеристики
ориентированного графа»
Определение. Если (а, b) — ориентированное ребро, тогда вершина а
называется начальной вершиной ориентированного графа, а вершина b — конечной вершиной ребра (а, b). Ориентированное ребро (а, b) называют также
инцидентным вершинам а и b. Обратно, говорят, что вершины а и b инцидентны ориентированному ребру (а, b).
Пример 2. В ориентированном графе G1 вершина а инцидентна ориентиро-
ванным рёбрам (a, c) и (a, b), вершина b инцидентна двум рёбрам (a, b) и (b, d),
вершина с инцидентна трём рёбрам (a, c), (c, d) и (e, c), вершина d инцидентна
трём рёбрам (b, d), (c, d) и (f, d), вершина e инцидентна ребру (e, c), вершина f инцидентна ребру (f, d). Также верно, что в ориентированном графе G1 ребро (а, b)
инцидентно вершинам a и b, ребро (a, c) инцидентно вершинам a и c, ребро (b, d)
инцидентно вершинам b и d, ребро (c, d) инцидентно вершинам c и d, ребро (e, c)
инцидентно вершинам c и e, ребро (f, d) инцидентно вершинам d и f.
В ориентированном графе G2 вершина а инцидентна ребру (a, c), вершина
b инцидентна ребру (b, e), вершина с инцидентна двум рёбрам (a, c) и (c, d),
вершина d инцидентна трём рёбрам (c, d), (d, e) и (f, d), вершина e инцидентна
двум рёбрам (b, e) и (d, e), вершина f инцидентна ребру (f, d). В ориентированном графе G2 ребро (a, c) инцидентно вершинам a и c, ребро (b, e) инцидентно
вершинам b и e, ребро (c, d) инцидентно вершинам c и d, ребро (d, e) инцидентно вершинам d и e, ребро (f, d) инцидентно вершинам d и f.
a
12
Ориентированный граф G3 состоит из множества рёбер E(G
3
), не содержа-
щего элементов, следовательно, инцидентность его вершин и рёбер не определена.
Определения. Степенью входа (полустепенью захода) вершины v, принадлежащей ориентированному графу — обозначается indeg(v) — называется
число рёбер, для которых вершина v является конечной. Степенью выхода
(полустепенью исхода) вершины v, принадлежащей ориентированному графу — обозначается outdeg(v) — называется число рёбер, для которых вершина
v является начальной. Если indeg(v) = 0, то вершина v называется источником
(истоком), если outdeg(v) = 0, то вершина v называется стоком. Если у вершины
v и indeg(v) = 0, и outdeg(v) = 0, то она называется изолированной. Степень вершины v, принадлежащей ориентированному графу, обозначается deg(v) и определяется как сумма степеней входа и выхода, т. е. определяется числом ориентированных рёбер графа, инцидентных вершине v.
Пример 3. В ориентированном графе G1 степени входа и выхода каждой
вершины определены, как показано в табл. 1.
Таблица 1
Степени вершин графа G
1
вершина v
a b c d e
f
indeg(v)
0 1 2 3 0
0
outdeg(v)
2 1 1 0 1
1
deg(v)
2 2 3 3 1
1
Из информации, показанной в табл. 1, видно, что в графе G
1
источниками
являются вершины a, e и f, а стоком является вершина d.
В ориентированном графе G2 степени входа и выхода каждой вершины
определены, как показано в табл. 2.
Таблица 2
Степени вершин графа G
2
вершина v
a b c d e
f
indeg(v)
0 0 1 2 2
0
outdeg(v)
1 1 1 1 0
1
deg(v)
1 1 2 3 2
1
13
Из информации, показанной в табл. 2, видно, что в графе G
2
источниками
являются вершины a, b и f, а стоком является вершина e.
В ориентированном графе G3 степени входа и выхода единственной вершины a равны нулю, следовательно, она является и источником, и стоком, а потому называется изолированной вершиной.
Определение. Две вершины называются смежными, если они инцидентны одному ребру. Два ребра называются смежными, если они инцидентны общей вершине.
Определение. Множество вершин графа, смежных с вершиной v, обозна-
чается adj(v).
Пример 4. В ориентированном графе G1 смежными являются следующие
пары вершин: a и b, a и c, b и d, c и d, c и e, d и f, множества каждой вершины
графа G1 занесены в табл. 3. Не являются смежными, например, вершины а и e,
а также b и f. В графе G1 смежными являются следующие пары ориентированных рёбер: (a, b) и (a, c), (a, b) и (b, d) — а также тройки (a, c), (c, d), (e, c) и (b,
d), (c, d), (f, d). Не являются смежными, например, рёбра (a, c) и (b, d).
Таблица 3
Множества вершин графа G
1
вершина v
a b c
d
e
f
adj(v)
{b, c}
{a, d}
{a, d, e}
{b, c, f}
{c}
{d}
В ориентированном графе G2 смежными являются следующие пары вершин: a и c, b и e, c и d, d и e, d и f, множества вершин занесены в табл. 4. Не являются смежными, например, вершины а и d, а также b и d. В графе G2 смежными являются следующие пары ориентированных рёбер: (a, c) и (c, d), (b, e) и
(d, e) — а также тройка (c, d), (d, e) и (f, d).
Таблица 4
Множества вершин графа G
2
вершина v
a b c d e
f
adj(v)
{c}
{e}
{a, d}
{c, e, f}
{b, d}
{d}
Ориентированный граф G3 состоит из множества рёбер E(G
3
), не содер-
жащего элементов, следовательно, смежных вершин и рёбер у графа G3 нет,
следовательно, adj(a) = .
14
Определение. Ориентированный граф G/(V/,E
/
) называется ориентиро-
ванным подграфом графа G(V,E), обозначается G/(V/,E/) G(V,E), если V/ V и
E/ Е. Таким образом, каждая вершина в графе G/ является также вершиной в
графе G, и каждое ребро в графе G/ является ребром и в графе G. В свою оче-
редь, ориентированный граф G по отношению к ориентированному графу G/
называется надграфом.
3. Тема «Связность в ориентированном графе»
Определение. Пусть G = G(V,E) – ориентированный граф с вершинами v0,
v1, v2, v3, …, vk V и рёбрами e1, e2, e3, …, ek Е. Ориентированным путем
(ориентированным маршрутом) длины k из v0 в vk (или между v0 и v
k
) называ-
ется последовательность v0,e1,v1,e2,v2,e3,v3,…v
k-1,ek,vk
такая, что eі = (v
і-1
, vі). Таким
образом, ориентированный путь длины k имеет k ориентированных рёбер, при
этом, конечно, обязательно учитывать направление ориентированных ребер, со-
ставляющих путь, т. е. начальная вершина последующего ориентированного ребра должна быть конечной вершиной предыдущего ориентированного ребра.
Определение. Если нет рёбер, предшествующих e1, то вершина v
0
назы-
вается начальной; если нет рёбер, следующих после ek, то вершина vk называется конечной; вершины ориентированного пути, не являющиеся начальной или
конечной, называются внутренними.
Замечание. Для сокращения записи ориентированный путь можно обозна-
чать через v0, v1, v2, v3, …, vk или e1, e2, e3, …, ek (можно также опустить запятые).
Определение. Простым ориентированным путем из v0 в vk называется
ориентированный путь, в котором нет повторяющихся вершин.
Пример 5. Для ориентированного графа G
1
, показанного на рис. 1, опре-
делим несколько путей, в том числе простых. Например, из вершины a в вершину d имеются простые пути abd или acd длины 2.
Определение. Ориентированный путь, в котором каждое ребро используется не более одного раза, называется ориентированной цепью. Простой ори-
ентированной цепью называется ориентированная цепь, в которой нет повто-
ряющихся вершин.
Пример 6. Для ориентированного графа G
1
, показанного на рис. 1, опреде-
лим несколько цепей. Например, из вершины a в вершину d имеющиеся простые
ориентированные пути abd и acd являются ориентированными цепями длины 2.
Определение. Ориентированная цепь называется циклической, если
начальная и конечная вершины ориентированной цепи совпадают.
Определение. Циклическая ориентированная цепь, в которой каждое
ребро используется не более одного раза, называется ориентированным цик-
15
лом. Простым ориентированным циклом называется ориентированный цикл, в
котором нет повторяющихся вершин, кроме вершины, которая является
начальной и конечной вершиной.
Пример 7. Для ориентированного графа G
1
, показанного на рис. 1, по-
скольку он имеет вершину d, являющуюся стоком, цикла нет.
Определения. Неориентированный граф G, полученный из ориентиро-
ванного графа путём удаления ориентации ребер при сохранении инцидентности, называется соотнесённым графом. Ориентированный граф G называется
связным, если его соотнесённый граф является связным неориентированным
графом. Ориентированный граф G называется сильно связным, если имеется
ориентированный путь между любыми двумя его различными вершинами.
Например, ориентированные графы G1 и G2 являются связными, но не являются сильно связными, поскольку содержат стоки и источники, т. е. в этих
ориентированных графах не между любыми двумя различными вершинами
имеется ориентированный путь, например, нет ни единого пути в вершину a.
Теорема. Если в ориентированном графе G = G(V, E) существует путь
из вершины vi в вершину vj, тогда существует простой путь из вершины vi в
вершину vj.
Следствие. Граф G является сильно связным тогда и только тогда, когда
между любыми двумя его вершинами существует простой путь.
Заметим, что необязательно, чтобы в ориентированном графе, который не
является сильно связным, существовали стоки и источники, часто такой граф
состоит из нескольких связных (сильно связных) подчастей. Теория относи-
тельно компонент связности ориентированных графов аналогична понятию для
неориентированных графов (с учётом, конечно, наличия ориентации рёбер в
орграфах), поэтому предлагаем ознакомиться в, например, [12, 14].
4. Тема «Матричное представление орграфов»
Определение. Пусть G — ориентированный граф. Пусть Mc — квадратная
матрица, строки и столбцы которой обозначены вершинами ориентированного
графа G. Элемент i-ой строки и j-гo столбца матрицы Mc, обозначаемый c
ij
, равен
единице, если имеется ребро из i-ой вершины в j-ую вершину, и равен нулю в
противном случае. Матрица Mc называется матрицей смежности графа G.
Заметим, что для сокращения записи обозначения строк и столбцов в
матрицах смежности можно опускать, но рекомендуется их оставлять, особенно
в матрицах больших размерностей.
Говоря о свойствах матрицы смежности ориентированного графа, необходимо отметить, что в отличие от матриц смежности неориентированного графа,
16
она не является квадратной, поскольку наличие ориентированного ребра из i-ой
вершины в j-ую вершину не гарантирует наличие ориентированного ребра из j-ой
вершины в i-ую вершину. Также отметим, что число единиц в строке матрицы
смежности равно степени выхода соответствующей вершины, а число единиц в
столбцах определяет степень входа. Сумма всех единиц в матрице смежности
ориентированного графа равна числу ориентированных рёбер этого графа.
Пример 8. Для ориентированных графов G1 — G3, показанных на рис. 1–
3, определим матрицы смежности. Ориентированный граф G
1
состоит из 6 вер-
шин, поэтому его матрица смежности имеет размерность 6 6:
..
001000
000100
000000
001000
001000
000110
f
e
d
c
b
a
fedcba
Полезно рядом с матрицей смежности указывать также степени (полустепени) вершин, тогда матрица смежности для ориентированного графа G
1
будет
иметь вид:
003210 )(indeg
1
1
0
1
1
2
.
001000
000100
000000
001000
001000
000110
)outdeg(
v
f
e
d
c
b
a
vfedcba
Ориентированный граф G
2
также состоит из 6 вершин, поэтому его мат-
рица смежности также имеет размерность 6 6:
17
.
001000
000000
010000
001000
010000
000100
f
e
d
c
b
a
fedcba
Также представим ориентированный граф G2 матрицей смежности со степенями (полустепенями) вершин:
022100 )(indeg
1
0
1
1
1
1
.
001000
000000
010000
001000
010000
000100
)outdeg(
v
f
e
d
c
b
a
vfedcba
Ориентированный граф G
3
состоит из единственной вершины, поэтому
его матрица смежности имеет размерность 1 1, другими словами, имеет единственный элемент, равный нулю.
Определение. Пусть G — ориентированный граф. Списком вершин
(списком смежности) ориентированного графа называется таблица, в первом
столбце которой указаны вершины графа, а во втором столбце — соответству-
ющие им смежные вершины. Таким образом, можно считать, что список вер-
шин получен из матрицы смежности ориентированного графа путём замены
единиц в каждой строке (столбце) на обозначение соответствующей строки
(столбца), а нули отброшены.
Пример 9. Для ориентированных графов G1 — G
3
, показанных на рис. 1–
3, определим списки вершин. Ориентированный граф G
1
состоит из 6 вершин,
поэтому список вершин будет состоять из 6 строк (табл. 5).
18
Таблица 5
Список вершин графа G
1
a
b, c b d c d
d
e
c
f
d
Ориентированный граф G
2
также состоит из 6 вершин, поэтому его спи-
сок вершин также будет состоять из 6 строк (табл. 6).
Таблица 6
Список вершин графа G
2
a c b
e
c
d
d
e
e
f
d
Ориентированный граф G
3
состоит из единственной вершины, поэтому
его список вершин будет состоять из единственной строки (табл. 7).
Таблица 7
Список вершин графа G
3
a
Определение. Пусть G — ориентированный граф. Пусть Mи — матрица,
строки которой обозначены вершинами графа, а столбцы — рёбрами графа.
Элемент i-ой строки и j-гo столбца матрицы Mи, обозначаемый M
ij
, равен еди-
нице, если i-ая вершина является начальной вершиной ориентированного ребра
(i, j); равен минус единице, если i-ая вершина является конечной вершиной
19
ориентированного ребра (i, j); равен нулю в противных случаях. Построенная
таким образом матрица Mи называется матрицей инцидентности графа G.
Пример 10. Для ориентированных графов G1 и G2, показанных на рис. 1
и 2, определим матрицы инцидентности. Ориентированный граф G
1
состоит из 6
вершин и 6 рёбер, поэтому его матрица инцидентности имеет размерность 6 6:
.
100000
010000
101100
011010
000101
000011
),( ),( ),( ),( ),( ),(
−−−
−−
−
f
e
d
c
b
a
dfcedcdbcaba
Ориентированный граф G2 состоит из 6 вершин и 5 рёбер, поэтому его
матрица инцидентности имеет размерность 6 5:
.
10000
01100
10110
00011
01000
00001
),( ),( ),( ),( ),(
−−
−−
−
f
e
d
c
b
a
dfebeddcca
Пример 11. Изобразите ориентированный граф, соответствующий матрице инцидентности:
.
100001
010010
001100
001100
010010
100001
3
−
−
−
−
−
−
=
и
M
20
Матрица инцидентности
3
и
M
состоит из шести столбцов и шести строк,
следовательно, у соответствующего этой матрице инцидентности ориентирован-
ного графа
шесть вершин и шесть рёбер, причем рекомендуется изображать все
вершины в виде правильного многоугольника, в настоящем примере — шестиугольника. Ребро е
1
инцидентно вершинам 1 и 6, причем минус единица стоит
перед вершиной 1, следовательно, она является конечной вершиной ориентированного ребра (6, 1); ребро е
2
инцидентно вершинам 2 и 5, причем минус едини-
ца стоит перед вершиной 2, следовательно, она является конечной вершиной
ориентированного ребра (5, 2); ребро е
3
инцидентно вершинам 3 и 4, причем ми-
нус единица стоит перед вершиной 4, следовательно, она является конечной
вершиной ориентированного ребра (3, 4); ребро е
4
инцидентно вершинам 3 и 4,
причем минус единица стоит перед вершиной 3, следовательно, она является конечной вершиной ориентированного ребра (4, 3); ребро е
5
инцидентно вершинам
2 и 5, причем минус единица стоит перед вершиной 5, следовательно, она явля-
ется конечной вершиной ориентированного ребра (2, 5); ребро е6 инцидентно
вершинам 1 и 6, причем минус единица стоит перед вершиной 6, следовательно,
она является конечной вершиной ориентированного ребра (1, 6). Граф, соответ-
ствующий матрице инцидентности
3
и
M
, изображен на рис. 4.
Рис. 4. Ориентированный граф,
соответствующий матрице смежности
3
и
M
Определение. Пусть G — ориентированный граф. Списком рёбер (спис-
ком инцидентности) ориентированного графа называется таблица, в первой
строке которой указаны рёбра графа, а во второй строке — инцидентные этим
рёбрам вершины. Таким образом, можно считать, что список рёбер получен из
матрицы инцидентности путём замены единиц в каждом столбце на обозначе-
ние соответствующих вершин, а нули отброшены.
Пример 12. Для ориентированных графов G1 и G
2
, показанных на рис. 1
и 2, определим списки рёбер.
1
2 3 4 5 6
e1 e2 e3 e4 e6 e
5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]