Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория ориентированных графов. Учебное пособие
.pdf
31
Рис. 16. Ориентированный граф G18
Описать:
а) порожденный подграф {X1, X2, X4, X5};
б) остовный подграф (V(G18), E'), где (xi, xj) ∈ E' тогда и только тогда, ко-
гда i + j нечетно;
в) остовный подграф подграфа из а), определенный так же, как в пункте (б).
Решение. а) изображаем порожденный подграф с вершинами {X1, X2, X4,
X5}, как показано на рис. 17:
Рис. 17. Порождённый подграф ориентированного графа G18
б) изображаем остовный подграф, у которого содержатся ребра, сумма
индексов соединенных вершин которых равна нечетному числу:
• 1+2 (вершины 1 и 2) = 3;
• 2+3 (вершины 2 и 3) = 5;
X1
X4
X
5
X2
32
• 3+4 (вершины 3 и 4) = 7;
• 4+5 (вершины 4 и 5) = 9;
• 5+2 (вершины 2 и 5) = 7.
5+1 = 6 (сумма вершин 5 и 1 равна четному числу, следовательно, по
условию задачи, ребро между этими вершинами не входит в этот подграф)
4+2 = 6 (сумма вершин 5 и 1 равна четному числу, следовательно, по
условию задачи, ребро между этими вершинами не входит в этот подграф).
Итоговый основный подграф представлен ниже:
Рис. 18. Остовный подграф для ориентированного графа G18
в) для выполнения этого условия задачи используем граф, полученный в
пункте а), так же, как в пункте б), убираем рёбра, которые содержат вершины,
сумма индексов которых равна четному числу. В результате получится остов-
ный подграф, показанный на рис. 19.
Рис. 19. Остовный подграф для порождённого подграфа
X4
X5
X1
X2
X3
X4
X5
X2
X1
33
Задача 6. Дан граф G
20
(показан на рис. 20):
Рис. 20. Ориентированный граф G20
1. Какие из приведенных ниже графов являются для G20 подграфами?
2. Какие из приведенных ниже графов являются для G20 остовными под-
графами?
3. Какие из приведенных ниже графов являются для G20 порожденными
подграфами?
a) b)
c) d)
e d a e a c d b b c d
e
a
a b c
34
e) f)
Рис. 21. Примеры ориентированных графов
Решение. Подграфами графа G
20
являются графы a, b, c, d, e рисунка 21.
Граф f не является подграфом графа G
20,
так как у графа f имеется ребро, не ин-
цидентное графу G20 (ориентированное ребро (e, a)).
1. По определению остовного подграфа будем рассматривать подграфы
графа G20, содержащие 5 вершин. Это графы a, b, e. Но граф b содержит ориентированное ребро (a, c), не принадлежащее множеству ребер графа G
20.
Следо-
вательно, остовными подграфами будут графы a и e.
2. Рассмотрим приведенные подграфы, используя определение порожденного подграфа: подграф a не содержит ребра (a, d), (e, a), (d, e); подграф b
содержит ребро (a, c), не принадлежащее множеству ребер графа G
7;
подграф c
не содержит ребро (a, e); подграф d подходит под определение порожденного
подграфа; подграф e не содержит ребра (a, e) и (e, a); подграф f содержит ребро
(e, a), не инцидентное графу G
20.
Таким образом, из всех вариантов подграфов
подходит ориентированный граф d.
Задача 7. Для каждого из нижеприведённых орграфов (рис. 22) постройте
4 подграфа.
a
d e a
d
e
b
c
35
Рис. 22. Примеры ориентированных графов
Решение. При решении задачи необходимо использовать определение
подграфа; для каждого из заданных на рис. 22 орграфов приведённые на рис. 23
ориентированные графы являются подграфами.
a)
b
c
a b c d a b c d a b c d a
36
b)
c)
d)
Рис. 23. Примеры подграфов для ориентированных графов, представленных на рис. 22
a
b
c d a b c
d c a b d
e
a
b
e d c b e d a b e
d
c
a b d c a
b
c
d
a
b
c
d c a d
e c a b d e a
b c d
e
37
Задача 8. Дан граф G24.
Рис. 24. Ориентированный граф G24
1. Какой из приведённых ниже графов является подграфом для ориенти-
рованного графа G24?
2. Какой из приведённых ниже графов является остовным подграфом для
ориентированного графа G24?
3. Какой из приведённых ниже графов является порождённым подграфом
для ориентированного графа G24?
a)
b)
c)
Рис. 25. Примеры подграфов для ориентированных графов, представленных на рис. 24
Решение. Ориентированные графы a), b) и c) являются подграфами
графа G24.
1. По определению остовного подграфа найдем подграф, содержащий все
вершины графа G24. Таким подграфом будет являться подграф c). Проверим сохранение инцидентности ориентированных рёбер подграфа ориентированным
рёбрам орграфа G24. Множество ребер подграфа c) равно Eс = {(X1, X2), (X3, X2),
(X4, X2), (X3, X5), (X6, X5), (X1, X1)}, а самого орграфа с) E = {(X1, X2), (X3, X2), (X4,
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
X5
X6
38
X2), (X3, X5), (X6, X5), (X1, X1), (X1, X3), (X1, X4), (X4, X4), (X5, X4), (X1, X6)}, т. е. E =
Eс {(X1, X3), (X1, X4), (X4, X4), (X5, X4), (X1, X6)}. Подграфы а) и b) не являются
остовными, так как не содержат вершины X5 и X
6
. Таким образом, только
граф c) соответствует условию остовного подграфа.
2. Рассмотрим граф a). Орграф a) содержит вершины X1, X2, X3, X
4
. Но эти
вершины соединены не всеми ориентированными рёбрами из графа G24 (нет рёбер (X1, X2), (X3, X2), (X1, X1)). Рассмотрим граф b). Граф b) содержит вершины
X1, X2, X3, X
4
. И эти вершины соединены такими же ориентированными рёбра-
ми, как в графе G
24.
Рассмотрим граф c). Граф c) содержит все вершины графа
G
24.
Но эти вершины соединены не всеми рёбрами из графа G24 (нет рёбер (X1,
X6), (X4, X4), (X1, X3), (X5, X4), (X1, X4)). Следовательно, искомым подграфом яв-
ляется орграф под вариантом b).
Задача 9. Дан граф G26 (показан на рис. 26).
Рис. 26. Ориентированный граф G26
Требуется определить и изобразить:
1) остовный подграф;
2) порождённый подграф;
3) пустой подграф.
Решение. Используя определение остовного подграфа, оставим все вер-
шины графа G
26
и удалим несколько любых ориентированных рёбер (например,
ориентированные рёбра (a, e), (g, c), (d, h), (f, b)).
G26
b
a
c
d e f
g
h
39
Рис. 27. Остовный подграф ориентированного графа G26
Аналогично удалим несколько вершин (например, вершину b), а все
остальные вершины соединим с теми же рёбрами, что и в графе G
26
, получен-
ный орграф будет порождённым подграфом.
Рис. 28. Порождённый подграф ориентированного графа G26
Наконец, чтобы найти пустой подграф, необходимо удалить все ориенти-
рованные рёбра из графа G26, при этом все вершины сохранять не обязательно.
b
a
c
d e f g h
a c d e f g h
40
Рис. 29. Пустой подграф ориентированного графа G
26
3. Тема «Связность в ориентированном графе»
Задача 10. Для ориентированного графа G1 запишите, если возможно, пу-
ти, простые пути, цепи, простые цепи, циклы, простые циклы.
Решение. Ориентированный граф G1 является связным, потому что явля-
ется связным соотнесённый граф для графа G1. Ориентированный путь из вершины a в вершину f: acdf (путь длины 3). Ориентированный путь между вершинами a и e: acdbe (путь длины 4). Оба указанных пути — простые, а также
являются цепями (простыми цепями). Циклов в ориентированном графе G1 нет.
Задача 11. Какая из следующих последовательностей является ориенти-
рованным путём в ориентированном графе (с петлёй) G30 (рис. 30):
a) aсbсdehi;
б) acdgf;
в) acdehi;
г) acbcdgfgdehi?
Которые из них являются простыми путями? Приведите длину каждого
из путей.
Решение. Последовательность aсbсdehi не является путём, потому что
нет ориентированного ребра из вершины с в вершину b. Последовательность
acdgf является ориентированным путём, более того, простым путём. Последовательность acdehi является простым ориентированным путём. Последовательность acdgfgdehi не является путём, потому что нет ориентированного ребра из
вершины f в вершину g.
b
a
c
d e f g h
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]