Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие-1
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Самара
2018
Печатается по решению ученого совета СамГТУ
(протокол № 9 от 27.04.2018 г.)
УДК 519.2 (075.8)
ББК 22.171Я73
Фадеева О.В., Мелик-Пашаева И.Б., Николаева Е.Н.
Теория вероятностей: учебно-методическое пособие
О.В. Фадеева, И.Б. Мелик-Пашаева, Е.Н. Николаева. – Самара:
Самар. гос. техн. ун-т, 2018. – 100 с.
/
Учебно-методическое
составлено
«Математика» для студентов заочной формы обучения по специальности «Строительство». Каждая тема включает краткие теоретические сведения, расчетные формулы, методические указания
и примеры решения задач. Приведены необходимые справочные
материалы. Также учебное пособие включает в себя 30 вариантов
к
онтрольных работ, каждый из которых содержит 11 задач по
различным темам. Изложенный материал даст возможность
дентам заочной формы обучения выполнить индивидуальные
контрольные работы, а также подготовиться к зачету или экзамену
по указанному разделу высшей математики.
Рец ензен т – к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей матема-
тики СамГТУ Н.А. Куликова.
Ó Самарский государственный технический университет, 2018
в соответствии с учебной программой по дисциплине
© О.В. Фадеева, И.Б. Мелик-Пашаева, Е.Н. Николаева, 2018
пособие «Теория вероятностей»
сту-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................ 4
Введение .............................
Глава 1. Случайные события ...................................................... 6
1.1. Классическая и геометрическая вероятность.
Элементы комбинаторики .......................................................... 6
1.2. Алгебра событий.
Теоремы сложения и умножения вероятностей ..................... 10
1.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
1.4. Повторение независимых испытаний
Глава 2. Случайные величины
2.1. Дискретные случайные величины.
Закон распределения и
2.2. Непрерывные случайные величины.
Функция распределения и плотность вероятности.
Числовые характеристики ..
2.3. Некоторые типичные законы распределения
непрерывных случайных величин .
2.3.1. Равномерный закон распределения .....
2.3.2. Показательный закон распределения
2.3.3. Нормальный закон распределения
Задания контрольной работы .
Заключение ................................................................................ 95
Библиографический список ..................................................... 96
Приложения ............................................................................... 97
................................................
.............................
................................................
числовые
характеристики
......................................
.........................................
..........................
...........................
...............................
..................................................
......... 5
............
.................
.......
........
14
16
. 23
23
31
37
37
. 41
. 44
48
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие содержит методические указания
и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей» и предназначено для самостоятельной работы студентов заочной формы
обучения, а также может быть использовано студентами дневного
отделения для самостоятельной работы. В начале каждого параграфа указаны разделы рекомендуемой литературы в соответствии с предложенным библиографическим списком, приведены
основные теоретические сведения и расчетные формулы, методические указания и примеры решения задач. Приложения содержат
необходимые справочные материалы.
Во второй части пособия приведены варианты индивидуальных контрольных работ по теории вероятностей по двум
разделам – «Случайные события» и «Случайные величины». Они
предназначены для активизации самостоятельной работы студентов
и более глубокого изучения учебного материала. Индивидуальные
задания рекомендованы либо для итогового контроля с последующей защитой, либо для подготовки к зачету или экзамену по
указанной дисциплине (на усмотрение преподавателя).
Изложенный материал даст возможность студентам заочной
формы обучения выполнить индивидуальные контрольные работы,
а также подготовиться к промежуточной аттестации по указанному разделу высшей математики.
4
ВВЕДЕНИЕ
Как и многие другие науки, теория вероятностей возникла
из практических потребностей. Появление так называемой «математики случайного» относят к середине XVII века и связывают
с попытками анализа стратегий азартных игр (в частности
с игрой в кости). Становление теории вероятностей как строгой
математической науки произошло гораздо позже и связано с именами Я. Бернулли, А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и многих
других. Особо следует отметить вклад академика А.Н. Колмогорова, установившего аксиоматику теории вероятностей, после
чего теория вероятностей получила строгое формально-логическое
обоснование на базе теории множеств.
Теория вероятностей – это наука, которая изучает закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Под
случайным событием понимают явление, исход которого
предсказать невозможно (например, количество выпавших очков
при бросании игральной кости). При этом изучаемые явления
(события) рассматриваются в абстрактной форме, независимо от
их природы. Таким образом, теория вероятностей рассматривает
не конкретные события, а их модели. Создание и изучение таких
математических моделей есть предмет теории вероятностей.
А цель данной науки – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход таких явлений и их контроль. В XX
веке было открыто огромное число вероятностных закономерностей в физике, химии, биологии и других естественных
науках. Развитие современной вычислительной техники привело
к применению теории вероятностей в экономике, социологии
и смежных с ними областях. Практически не осталось ни одной
области науки, в которых в той или иной мере не применялись
бы вероятностные методы. Находит она свое практическое применение и в расчетах строительных конструкций на прочность,
при планировании строительных и ремонтных работ и в других
областях строительства.
Благодаря теории вероятностей появились и получили
развитие такие отрасли науки как математическая статистика,
теория случайных процессов, теория массового обслуживания,
теория информации и многие другие.
5
ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
n
m
0)( =AP
1)( =AP
1)(0 << AP
1
n
2
n
21
nn +
1.1. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ВЕРОЯТНОСТЬ.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [1], гл. 2, п. 2.1, 2.2; [3], гл. 1, § 3, 4; [7], гл. 1,
п. 1.7, 1.8, 1.10.
Событием назовем всякий возможный факт (явление), который в результате опыта может произойти или не произойти.
Различают три вида событий:
невозможное – событие, которое в результате опыта произойти не может;
достоверное – событие, которое в результате опыта произойдет обязательно;
случайное – событие, которое в результате опыта может
произойти, а может не произойти.
В классической модели вероятность события равна:
AP =)(
, (1.1)
где m – число исходов опыта, благоприятствующих событию ,
n – общее число всех равновозможных исходов опыта.
Из определения следует, что, если:
событие – невозможное, то его вероятность
событие – достоверное, то его вероятность
событие – случайное, то его вероятность
,
,
.
При вычислении вероятности часто используют известные
из комбинаторики понятия: правила сложения и умножения, а также
такие виды комбинаций, как перестановки, размещения, сочетания.
Правило суммы. Если объект α можно выбрать
способами, а объект β можно выбрать
объект α или β можно
способами.
6
способами, то выбрать
Правило произведения. Если объект α можно выбрать
n
2
n
( )
βα
,
21
nn ⋅
!nPn=
nn ⋅⋅⋅⋅= ...321!
mn
n
m
n
n
nn
n
nn
CCnCCCC
===== ,,1
способами и после каждого такого выбора объект β можно
1
выбрать
способами, то выбрать пару объектов
можно
способами.
Эти правила можно распространить на любое конечное
число объектов.
Перестановки из n элементов – комбинации из n элемен-
тов, отличающиеся только порядком их расположения.
Число перестановок из n элементов можно вычислить
по формуле:
Заметим, что
. (1.2)
.
Размещения из n элементов по m – комбинации
по
m элементов, отличающиеся не только составом элементов, но
и их порядком.
Число размещений из n элементов по m можно вычислить
по формуле:
. (1.3)
Заметим, что .
Сочетания из n элементов по m – комбинации
по
m элементов, отличающиеся только составом элементов.
Число сочетаний из n элементов по m можно вычислить
по формуле:
. (1.4)
Заметим, что
110
−−
.
Классическое определение вероятности предполагает, что
число исходов опыта конечно. Для случая бесконечного числа
исходов испытания введем понятие геометрической вероятности –
вероятности попадания точки в заданную область.
7
В геометрической модели вероятность события равна:
)(
)(
)(
Dm
dm
AP =
)(dm
)(Dm
)(
dL
)(
dS
)(
)(
)(
DV
dV
AP =
, (1.5)
где
– мера множества, в которое должна попасть точка,
и тогда:
если множество двумерное, то его мерой считают его площадь,
и тогда:
если множество трехмерное, то его мерой считают его объем,
и тогда:
ных картах будет один туз и один король? (Считать, что в колоде
36 карт).
карт один туз и один король. Вычислим общее число равновозможных исходов опытов. Сколькими способами можно извлечь
4 карты из колоды?
а значит:
– мера множества, в которое может попасть точка.
Замечание.
Если множество одномерное, то его мерой считают его длину,
)(
AP =
)(
AP =
Пример 1. Какова вероятность того, что в четырех сдан-
Решение. Пусть событие – среди четырех выбранных
Ясно, что порядок извлечения карт из колоды НЕ ВАЖЕН,
; (1.6)
)(
DL
; (1.7)
)(
DS
. (1.8)
Найдем число благоприятствующих исходов (помня о том,
что в выборке должен быть один туз, один король и (!) две другие
карты).
8
способами можно извлечь одного туза (из четырех
тузов),
способами можно выбрать одного короля (из четырех
королей),
способами можно извлечь две
другие карты (НЕ тузов и НЕ королей в колоде 28).
По правилу умножения комбинаций
.
Тогда
.
Пример 2. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад
одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке
появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА»?
Решение. Пусть событие – получено слово «ДВА». Вычис-
лим общее число равновозможных исходов опытов. Сколько слов
из трех букв можно составить из пяти карточек? Обратим внимание
на то, что при составлении слов порядок извлечения карточек
ВАЖЕН, а значит: .
Число благоприятных исходов при этом m=1, так как слово
«ДВА» может получиться единственным образом.
Итак,
.
Пример 3. На плоскости начерчены две концентрические
окружности с радиусами 4 и 5 см соответственно. Найдите
вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг,
попадет также и в кольцо, образованное этими окружностями.
Решение. Число исходов данного опыта – бесконечно, поэтому
следует использовать формулу геометрической вероятности (1.7):
9
)(
)(
dS
)()()( BPAPBAP +=+
AP =
где D – большой круг, d – кольцо, образованное окружностями.
Тогда
1.2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [3], гл. 2, § 1-3, гл. 3, § 1-4; [7], гл. 1, п. 1.15, 1.16.
События называют независимыми, если вероятность
наступления одного из них не зависит от появления или
непоявления другого. В противном случае события называют
зависимыми.
События называют несовместными, если наступление
одного из них исключает появление других событий в данном
опыте. В противном случае события называют совместными.
Событие, состоящее в ненаступлении события , называется
противоположным событию (обозначается ).
Суммой событий называют событие, состоящее в появле-
нии хотя бы одного из этих событий.
Произведением событий называют событие, состоящее
в совместном появлении всех этих событий.
Теорема (сложения вероятностей несовместных событий).
Вероятность наступления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.:
,
)(
DS
. (1.9)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]