Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие-1
.pdf
Теорема (сложения вероятностей противоположных событий).
)()()()( BAPBPAPBAP ⋅−+=+
)()()( BPAPBAP ⋅=⋅
)/()()( ABPAPBAP ⋅=⋅
A
2
A
AAA +=
A
A
)()()(
21
APAPAP +=
1
A
2
A
Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице, т.е.:
1)()( =+ APAP
(1.10)
.
Теорема (сложения вероятностей совместных событий).
Вероятность наступления суммы двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.:
. (1.11)
Теорема (умножения вероятностей независимых событий).
Вероятность наступления произведения двух независимых
событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.:
. (1.12)
Теорема (умножения вероятностей зависимых событий).
Вероятность наступления произведения двух зависимых
событий равна произведению вероятности одного из этих событий
на условную вероятность другого, вычисленную в предположении,
что первое событие наступило, т.е.:
. (1.13)
Пример 1. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров.
Из них 12 белых и 8 черных. Наудачу выбирают 3 шара. Какова
вероятность того, что среди них окажется: а) не менее двух черных;
б) хотя бы один черный шар?
Решение. а) пусть событие – среди трех отобранных шаров
не менее двух черных (т.е. среди трех отобранных шаров два черных
и один белый шар или все три шара черные). Если
трех шаров два черных и один белый,
черные, то
. События
21
1
– среди трех шаров все
и
– несовместны, поэтому
2
по теореме сложения вероятностей
Для обоих событий
и
общее число равновозможных
– среди
1
.
исходов опытов
11
Число исходов, благоприятных событию
A
1140
336
)(
1
1
==
n
m
AP
2
A
B
1140
220
n
m
1140
920
1140
220
1
A
2
A
3
A
а его вероятность равна
:
1
,
.
Число исходов, благоприятных событию
а его вероятность равна
Тогда
.
:
,
;
б) пусть событие В – среди трех отобранных шаров хотя бы
один черный.
Для нахождения вероятности этого события можно поступить
аналогично случаю а), представив событие В в виде суммы трех
событий. Но в данном случае проще использовать противоположное
событие B – среди трех отобранных шаров все белые.
Ч
исло исходов, благоприятных опытов для события
, о
равно
бщее число
исходов не
изменилось (см. а), тогда его вероятность
3
)(
BP
==
.
Найдем искомую вероятность по теореме сложения вероят-
ностей противоположных событий:
.
1)(1)( ≈=−=−= BPBP
807,0
Пример 2. Три орудия производят по одному выстрелу по
мишени. Вероятности их попадания равны 0,4; 0,5 и 0,7 соответственно. Какова вероятность, что в результате этих выстрелов
в мишени будет: а) только одна пробоина; б) не менее двух пробоин?
Решение. Введем обозначения: событие
в мишень из первого орудия, событие
орудия, событие
– попадание из третьего орудия.
– попадание из второго
– попадание
12
а) пусть событие А – состоит в том, что результате трех
321321321
321
AAA ⋅⋅
321
AAA ⋅⋅
1
A
2
A
3
A
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
)()()()()()()()()(
)()()(
)()(
321321321
321321321
321321321
APAPAPAPAPAPAPAPAP
AAAPAAAPAAAP
AAAAAAAAAPAP
выстрелов в мишени только одна пробоина. Это событие можно
представить так:
AAAAAAAAAA ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
, где:
событие
означает, что из первого орудия попали,
а из второго и третьего не попали;
событие
означает, что из второго орудия попали,
а из первого и третьего не попали;
событие
AAA ⋅⋅
означает, что из третьего орудия попали,
321
а из первого и второго не попали.
Перечисленные события несовместны, а события
,
– независимы. Тогда с учетом теорем сложения вероятностей
несовместных событий и умножения вероятностей независимых
событий получим:
ц
;
б) пусть событие В– в результате трех выстрелов в мишени
оказалось не менее двух пробоин (т.е. две или три пробоины).
Аналогично тому, как это было сделано в пункте а), событие В
можно представить в виде:
.
И снова с учетом теорем сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий
получим:
,
.
13
1.3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
n
HHH ...,,,
21
1)(...)()(
21
=+++
n
HPHPHP
n
HHH ...,,,
21
n
HHH ...,,,
21
n
HHH ...,,,
21
n
HHH ...,,,
21
H
ФОРМУЛА БАЙЕСА
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [3], гл. 4, § 2, 3; [5], гл. IV, § 11, 12; [7], гл. 1,
п. 1.17, 1.18.
События
называют полной группой событий,
если они представляют собой совокупность всех возможных
результатов опыта (т.е. эти события попарно несовместны и в ре-
зультате испытания обязательно появится только одно из них).
Очевидно, что сумма вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице, т.е.:
. (1.14)
Пусть событие А может наступить при условии появления
одного из событий
, которые образуют полную группу.
Теорема (формула полной вероятности). Вероятность
события А, которое может наступить только вместе с одним
из попарно несовместных событий
, образующих
полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого
из этих событий на соответствующую условную вероятность
события А, т.е.:
События
.
часто называют гипотезами. Если
(1.15)
в результате опыта событие А произошло, то вероятности гипотез
можно переоценить.
Теорема гипотез (формула Байеса). Если события
образуют полную группу событий, то условная
вероятность события
при условии, что событие А в результате
i
опыта наступило, равна:
14
)()(
)()(
APHP
APHP
Hi
1
H
2
H
H
321
,, HHH
)(
HP
iA
n
∑
i
1
=
i
)()(
APHP
Hi
i
Hi
i
)(
AP
===
.,...,2,1,
ni
(1.16)
Пример 1. В магазин поступает однотипная продукция
с трех заводов, причем первый завод поставляет 50 % продукции, а второй и третий – 30 % и 20 % соответственно. Среди
продукции первого завода 80 % первого сорта, второго – 90 %,
третьего – 95 %. Какова вероятность того, что случайно выбранный продукт окажется первого сорта?
Решение. Пусть событие А – взятый продукт первого сорта.
Здесь возможны три гипотезы (это несовместные события, одно из
которых обязательно наступит в результате опыта):
– продукция изготовлена на первом заводе;
– продукция изготовлена на втором заводе;
– продукция изготовлена на третьем заводе.
3
События
образуют полную группу событий.
Вероятности этих событий пропорциональны производительностям заводов и составляют соответственно
; ;
(напомним, что сумма вероятностей гипотез 0,5+0,3+0,2
должна быть равна 1). Событие А может наступить только
с одной из вышеперечисленных гипотез. По условию задачи
условные вероятности события А при указанных гипотезах:
;
;
.
Тогда по формуле полной вероятности (1.15) будем иметь:
Пример 2. В больницу поступают в среднем 40 % пациентов
с заболеванием А и 60 % – с заболеванием В. Вероятность
полного излечения болезни А равна 0,7, болезни В – 0,8. Больной,
поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите
вероятность, что этот больной страдал заболеванием В.
15
Решение. Пусть событие – полное излечение заболевания.
1
H
2
H
21
, HH
7,0)(1=AP
8,0)(2=AP
Здесь возможны две гипотезы:
– больной страдает заболеванием А;
– больной страдает заболеванием В.
События
образуют полную группу (это несовместные
события, одно из которых обязательно наступит в результате
опыта). Вероятности этих событий равны соответственно
;
(контроль: 0,4+0,6=1). Событие может наступить только с одной
из этих гипотез. По условию задачи условные вероятности события при указанных гипотезах:
H
;
H
.
Тогда по формуле полной вероятности (1.15) находим
вероятность события :
.
По формуле Байеса (1.16) находим искомую вероятность
того, что выздоровевший пациент страдал заболеванием В:
.
1.4. ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [3], гл. 5, § 1-3; [7], гл. 1, п. 1.19-1.21.
При решении вероятностных задач часто приходится
сталкиваться с ситуациями, в которых многократно повторяется
одно и то же испытание (например, контролер проверяет партию
деталей).
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов
других испытаний, то такие испытания называют независимыми
относительно события .
16
Пусть производят
10 << p
pq −= 1
)(,AP
n
nkn
qPAP −=−=
≥
11)(
0,1,
λ
k
!
100≥n
независимых испытаний, в каждом из
n
которых событие может наступить с вероятностью p (где
) и не наступить с вероятностью
. Поставим
своей задачей найти вероятность того, что в n испытаниях событие наступит ровно k раз –
.
kn
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события
равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой
последовательности), равна:
. (1.17)
Из формулы Бернулли, очевидно, следует, что вероятность
того, что в серии из n независимых опытов событие наступит
хотя бы один раз, равна:
. (1.18)
Отметим, что формулу Бернулли удобно применять в случае,
если число опытов невелико: .
При большом числе испытаний пользоваться формулой
Бернулли затруднительно. Тогда подсчет вероятностей можно
производить по одной из следующих теорем.
Формула Пуассона. Если вероятность p появления
события в каждом из n независимых испытаний постоянна
и мала, а число испытаний n велико, то вероятность того, что
в n испытаниях событие наступит ровно k раз, приближенно
AP
)(
k
λ
≈ e
−
, где . (1.19)
, а значение параметра .
равна:
kn
,
Отметим, что формулу Пуассона целесообразно применять
в
случае, если число опытов
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появ-
ления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна
и отлична от 0 и 1, а число испытаний n велико, то вероятность
того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз,
приближенно равна (тем точнее, чем больше n):
, где (1.20)
17
2
2
2
1
)(
x
ex−=
π
ϕ
– функция Гаусса. Эта функция четная
( ) ()xx
ϕϕ
−=
4>x
0)( ≈x
ϕ
)(,AP
)(,AP
0
k
0
k
0
k
0
k
0
k
10+k
10 << p
1
k
2
k
)()( xx Φ−=−Φ
5>x
5,0)( ≈Φ x
10 << p
и табулируемая (ее значения приведены в таблице; для значений
следует считать
).
Можно убедиться, что вероятности
(
изменяются
kn
с изменением k, а именно: с возрастанием k от 0 до n вероятности
вначале растут до некоторого момента, а затем начи-
kn
нают убывать.
Число
того, что событие наступит в n испытаниях
называют наивероятнейшим, если вероятность
раз, превышает
(или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов.
Наивероятнейшее число
определяют из двойного
неравенства:
причем:
1) если число – дробное, то
, (1.21)
единственное;
2) если число – целое, то существуют два наиве-
роятнейших числа:
и
(с равными вероятностями);
3) если число – целое, то .
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p
появления события в каждом из n независимых испытаний
постоянна (
событие наступит не менее
), то вероятность того, что в n испытаниях
и не более
раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше n):
)
где
(
лице, для значений
Оценка отклонения относительной частоты от посто-
янной вероятности. Если вероятность p появления события
в каждом из n независимых испытаний постоянна (
вероятность того, что абсолютная величина отклонения частоты
,
(1.22)
– функция Лапласа. Эта функция нечетная
) и табулируемая (ее значения приведены в таб-
полагают
).
), то
18
события от вероятности его появления в одном опыте не пре-
1
p
2
p
n
p
n
qqq ,...,,
21
)(...)()()(
2211 nnn
qzpqzpqzpz +⋅⋅+⋅+=
ϕ
)(,AP
k
z
3
1
6
2
)( === APp
3
2
:3=k
3≥k
вышает положительного числа ε, приближенно равна:
(1.23)
Рассмотрим серию из n независимых испытаний, но вероятности появления события различны. Пусть вероятность
наступления события в первом испытании равна
испытании –
ненаступления события равны
, …, в n-ном испытании –
(тогда вероятности
соответственно).
, во втором
Производящей функцией вероятностей называют функцию,
определяемую равенством:
.
Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях
событие наступит ровно k раз
равна коэффициенту при
kn
в разложении производящей функции.
Пример 1. Игральную кость подбрасывают 4 раза. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, появится: а) трижды;
б) не менее трех раз?
Решение. Пусть событие – выпало число очков, кратное
трем.
Число независимых испытаний удобно
использовать формулу Бернулли (1.17), где
(вероятность выпадения числа очков, кратных трем, при одном
броске); тогда вероятность ненаступления события
1 =−= pq
.
а)
б)
;
, т.е. событие должно наступить 3 или 4 раза. По
теореме сложения вероятностей несовместных событий и формуле
Бернулли (1.17) получим:
19
.
:1=k
!1
4
:1≥k
Пример 2. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,02. Определите вероятность того, что при
проверке партии из 200 изделий будет обнаружено: а) одно бракованное изделие; б) хотя бы одно бракованное изделие.
Решение. Пусть событие – взяли бракованную деталь.
Число испытаний , т.е. использовать формулу Бернулли затруднительно.
Вычислим значение параметр
целесообразно использовать асимптотическую формулу Пуассона
(1.19).
а)
1,200
1
4
)(
073,0
≈≈−eAP
;
б)
.
Пример 3. При автоматической штамповке деталей наблюдается в среднем 12 % брака. Какова вероятность того, при проверке
партии из 400 изделий окажутся бракованными 10 % от общего
числа деталей? Каково наивероятнейшее число бракованных
деталей в этой партии?
Решение. Пусть событие – взяли бракованную деталь.
Число испытаний п = 400, 400 > 20 использовать формулу
Бернулли затруднительно.
Значение параметра
, условия
применения формулы Пуассона не выполняются. Будем применять
локальную теорему Лапласа (1.20), в которой
(10 % от 400 деталей):
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]