Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие-1
.pdf
)(x
ϕ
2100=n
3,07,0 =⇒= qp
15001470 ≤≤ k
1470≥k
21001470 ≤≤ k
1469≤k
14690 ≤≤ k
Учитывая, что функция
четная и табулируемая (см. при-
ложение 1), окончательно получаем:
.
Для нахождения наивероятнейшего числа бракованных
деталей в этой партии воспользуемся неравенством (1.21)
. Получим:
.
,
Этому неравенству удовлетворяет только одно целое число:
. Это и есть наивероятнейшее число бракованных деталей
в партии из 400 деталей.
Пример 4. Вероятность появления детали первого сорта
в продукции данного предприятия равна 0,7. Найти вероятность
того, что в партии из 2100 штук деталей первого сорта будет: а) не
менее 1470 и не более 1500 штук; б) не менее 1470 штук; в) не более
1469 штук.
Решение. Пусть событие – взятая деталь оказалась первого
сорта.
Число независимых испытаний
,
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа (1.22).
.
а)
б)
в)
, т.е.
, т.е.
:
:
.
Можно вновь воспользоваться формулой (1.22), но заметим,
что это событие является противоположным для события,
описанного в случае б). Тогда:
21
( ) ( )
5,05,0121001470114690 =−=≤≤−=≤≤ kPkP
Пример 5.
10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того,
что относительная частота появления события отклонится от его
вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
Решение. Число испытаний
Чтобы найти вероятность отклонения вероятности от частоты,
воспользуемся формулой (1.23), где отклонение :
Вероятность появления события в каждом из
.
.
22
ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
2.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [3], гл. 6, § 2-3, гл. 7, § 1-2, гл. 8, § 3-4; [7], гл. 2,
п. 2.1-2.2, 2.5; [8], гл. 2, § 10, 12.
Случайная величина – это величина, которая в результате
опыта примет одно и только одно значение, неизвестное заранее.
Если случайная величина принимает отдельные, изолированные значения, то ее называют дискретной; если же случайная величина может принять все значения из некоторого промежутка
(конечного или бесконечного), то ее называют непрерывной.
Примером дискретной случайной величины может служить
число очков, выпадающих на верхней грани при бросании
игральной кости (она может принимать изолированные значения:
1, 2, 3, 4, 5, 6). Пример непрерывной случайной величины – время
безотказной работы прибора (она принимает все значения из
некоторого промежутка ).
Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между ее возможными значениями и соот-
ветствующими вероятностями.
Закон распределения может быть задан:
таблично (рядом распределения) – с перечислением всех
значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
23
Отметим, что в этом случае сумма вероятностей равна
1=
∑
p
),(iipx
i
x
i
p
единице, т.е.
∈Nn
;
i
аналитически – с помощью формулы, в т.ч. с помощью
интегральной функции распределения вероятностей (речь об этой
функции пойдет ниже);
графически – в виде графика интегральной функции
распределения вероятностей или в виде многоугольника распределения.
Если в прямоугольной системе координат Охр отметить точки
, где
а
– соответствующие вероятности, и соединить эти точки
– возможные значения случайной величины Х,
отрезками прямых, то полученную ломаную называют много-
угольником распределения.
Рис. 1
Математическое ожидание дискретной случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное
по вероятностям.
Для дискретной случайной величины математическое ожидание равно сумме произведений всех ее возможных значений
на их вероятности, т.е.:
24
CCM =)(
)()()( YMXMYXM ±=±
)()()( YMXMYXM ⋅=⋅
YX ,
[ ]
2
( )
)()(
XMXMXD −=
0)( =CD
)()()( YDXDYXD +=±
( ) ( )
)()()(
2222
YMXMYMXMYXD ⋅−⋅=⋅
YX ,
npqXD =)(
σ
Свойства математического ожидания:
.
(2.1)
1)
;
2) ;
3)
4)
, если
;
независимы;
5) для биномиального распределения .
Дисперсия (рассеяние) дискретной случайной величины –
это математическое ожидание квадрата отклонения случайной
величины от ее математического ожидания, т.е.:
. (2.2)
)()( XMXMXD −=
На практике часто используют следующую формулу:
, где .
(2.3)
22
Свойства дисперсии:
1)
;
2) ;
3)
4)
;
, если
неза-
висимы;
5) для биномиального распределения
.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной
величины, что в сравнительных целях не всегда удобно. Поэтому,
когда хотят, чтобы оценка рассеяния имела размерность
случайной величины, рассматривают еще одну числовую
характеристику – стандартное отклонение.
Среднее квадратическое отклонение (стандартное
откло
корень
нение) дискретной случайной величины есть квадратный
из дисперсии, т.е.:
.
25
)()( XDX =
(2.4)
Мода
)()( xXPxF <=
1)(0: ≤≤∀ xFx
)(xF
)()()( aFbFbXaP −=<≤
)(xF
дискретной случайной величины –
значение случайной величины, принимаемое с наибольшей
вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями.
Функция распределения (интегральная функция рас-
пределения) случайной величины – функция, определяющая
для каждого значения аргумента вероятность того, что случайная
величина примет значение меньше, чем значение этого аргумента,
т.е.:
Свойства функции распределения:
.
1)
2)
3)
4) , ;
5)
Отметим, что график функции распределения дискретной
случайной величины имеет ступенчатый вид и претерпевает разрыв
в каждой точке , где – значения, принимаемые случайной
величиной.
– неубывающая функция;
непрерывна слева.
;
;
Рис. 2
26
Для непрерывной случайной величины функция распре-
0
A
A
2
A
деления непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением,
быть может, конечного числа точек.
Пример 1. В партии из 8 деталей 2 бракованных. Наудачу
взяли 2 детали. Составьте закон распределения случайной величины X – число стандартных деталей среди отобранных. Найдите
числовые характеристики этой случайной величины.
Решение. Дискретная случайная величина X – число
стандартных деталей из двух взятых. Она может принимать
значения: 0 или 1, или 2. Чтобы составить закон распределения
этой в
еличины, найдем соответствующие вероятности, р
ассматривая каждое значение случайной величины как отдельное
случайное событие:
событие
– взяли два бракованных изделия,
;
событие
– взяли только одно стандартное изделие,
1
;
событие
– взяли два стандартных изделия,
.
Отметим, что в данном случае для нахождения вероятностей была использована теорема о вероятности произведения
зависимых событий. Тот же результат может быть получен с помощью формулы классической вероятности.
Итак, ряд распределения числа стандартных деталей из двух
взятых имеет вид:
Заметим, что сумма полученных вероятностей
27
,
так как рассмотренные нами события
0
A
1
A
2
A
567,0321,0)()( ≈== XDX
σ
4,0)( == APp
6,01 =−= pq
ную группу.
,
,
образуют
Вычислим числовые характеристики этой случайной вели-
чины:
пол-
;
;
;
(т.к. значению х2 соответствует самая большая
вероятность).
Пример 2. Производят три независимых выстрела, вероятность попадания в каждом из которых равна 0,4. Рассматривается
дискретная случайная величина X – число попаданий в мишень
в трех опытах. Постройте ряд распределения и найдите числовые
характеристики этой случайной величины. Составьте функцию
распределения случайной величины X и постройте ее график.
Решение. Дискретная случайная величина X – число
попаданий в мишень при трех выстрелах. Возможные значения
этой случайной величины – 0, 1, 2, 3. Чтобы составить закон
распределения этой величины, найдем соответствующие вероятности с помощью формулы Бернулли:
число испытаний ;
событие А – попадание в мишень при одном выстреле;
;
.
По формуле Бернулли вычисляем:
;
;
;
.
28
Таким образом, ряд распределения случайной величины X
0)()(:0 =<=≤ xXPxFx
0<X
216,0)0()()(:10 ===<=≤< XPxXPxFx
имеет вид:
3
1064,0288,0432,0216,0
(Контроль:
∑
=i
p
i
0
=+++=
).
Числовые характеристики этой случайной величины можно
вычислить с помощью формул (как это было сделано в предыдущем примере). Например,
.
Однако в данном случае гораздо проще воспользоваться
свойствами для математического ожидания и дисперсии № 5,
поскольку данное распределение является биномиальным (так как
оно определялось формулой Бернулли). Получим:
.
;
;
;
Заметим, что для нахождения числовых характеристик
биномиальной случайной величины НЕ требуется составления
ряда распределения.
Составим интегральную функцию, используя ее определение:
Будем находить значения интегральной функции отдельно
на каждом промежутке, на которые разбивают числовую прямую
значения данной случайной величины.
(т.к. событие
– собы-
тие невозможное);
29
;
936,0288,0432,0216,0 =++
1064,0288,0432,0216,0 =+++
<
≤<
≤<
≤<
≤
=
.3,1
,32,936,0
,21,648,0
,10,216,0
,0,0
)(
x
x
x
x
x
xF
;
=
;
=
Итак, интегральная функция имеет вид:
Обратим внимание читателя на соответствие получен-
ного
результата свойствам функций распределения: ее значения
принадлежат отрезку [0, 1],
при ;
при
Построим график интегральной функции распределения.
Как и было указано в свойствах интегральной функции, он имеет
ступенчатый вид с разрывами в точках = 0, 1, 2, 3.
.
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]