Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие-1
.pdf
Полученный график функции распределения можно рассматривать как еще один способ задания закона распределения
случайной величины – графический.
2.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ
ВЕРОЯТНОСТИ.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [3], гл. 10, § 1-2, гл. 11, § 1-3; [7], гл. 2, п. 2.3-2.5;
[8], гл. 2, § 11, 13.
Напомним, что случайная величина называется непрерыв-
ной, если все ее значения непрерывно заполняют некоторый
промежуток (конечный или бесконечный).
Непрерывная случайная величина может быть задана функцией распределения или дифференциальной функцией распределения. Отметим, что если случайная величина непрерывна, то
ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду,
кроме, быть может, отдельных точек (а также удовлетворяет всем
свойствам, перечисленным в п. 2.1).
Рис. 3
31
Дифференциальная функция распределения (плотность
)()( xFxf′=
0)(: ≥∀ xfx
[ ]
ba,
[ ]
ba,
распределения вероятностей) непрерывной случайной величины – производная ее функции распределения, т.е.:
График дифференциальной функции распределения назы-
вают кривой распределения.
Свойства плотности распределения:
1)
2)
3)
4)
5)
Математическое ожидание непрерывной случайной вели-
чины – это среднее значение случайной величины, взвешенное
по вероятностям.
Для непрерывной случайной величины математическое
ожидание есть число, определяемое равенством:
В частности если все значения случайной величины принадлежат отрезку
равенством:
Дисперсия (рассеяние) непрерывной случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения случай-
ной величины от ее математического ожидания, т.е.:
В частности если все значения случайной величины принадлежат отрезку
;
;
;
.
, то математическое ожидание определяют
, то ее дисперсию определяют равенством:
.
;
.
.
. (2.7)
(2.5)
(2.6)
32
.
σ
)(xf
)(xf
На практике часто используют более удобные формулы:
(2.8)
,
.
Свойства математического ожидания и дисперсии, указан-
(2.9)
(2.10)
ные для дискретных случайных величин, сохраняются и для
непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной
случайной величины – квадратный корень из дисперсии, т.е.:
(2.11)
.
)()( XDX =
Мода непрерывной случайной величины – точка
локального максимума плотности вероятности
.
Медиана непрерывной случайной величины –
такое ее значение, для которого:
. (2.12)
Геометрически медиану можно истолковать как точку,
в которой ордината
делит пополам площадь под кривой
распределения.
Пример 1. Непрерывная случайная величина X задана
функцией распределения:
Найдите параметр и числовые характеристики этой слу-
чайной величины.
Решение. Неизвестный параметр найдем, используя свойство
№ 3 дифференциальной функции распределения (свойство нормировки): .
;
33
9
1
19 =⇒= aa
σ
22=−=
a
b
x
B
Так, плотность распределения данной случайной величины
имеет вид:
Найдем ее числовые характеристики.
.
;
=
.
Мода случайной величины – точка локального максимума
ее дифференциальной функции. Поскольку плотность вероятностей есть квадратичная функция, графиком которой является
парабола (ветви направлены вниз), то легко определить точку ее
максимума – это ее вершина. Находим по формуле
Таким образом, .
34
733,05375,0)()( ≈== XDX
;
.
Пример 2. Непрерывная случайная величина X задана
2
π
−4,
6
ππ
функцией распределения:
,0
1
)(
xf
=
2
,0
Найдите интегральную функцию этой случайной величины.
Вычислите вероятность того, что значение случайной величины
x
,cos
x
,
−≤
2
ππ
,
xx
<<−
22
π
≥
.
попадет в интервал
графике.
Решение. Интегральную функцию найдем, используя свой
№ 5 дифференциальной функции распределения: .
Заметим, что плотность вероятности задана кусочно (что
встречается довольно часто). Поэтому значения интегральной
функции будем находить отдельно на каждом из промежутков, на
которых задана дифференциальная функция. Получаем:
и покажите эту вероятность на
ство
;
;
.
35
Таким образом, интегральная функция распределения
−4,
6
ππ
4
2
2
2
2
−4,
6
ππ
6
π
данной случайной величины имеет вид:
Вероятность попадания данной случайной величины
в интервал
интегральной функции распределения (свойство № 3, п. 2.1):
−
а также с помощью дифференциальной функции распределения
(свойство № 2, п. 2.2):
кой интерпретации полученного результата, поскольку известно,
что геометрический смысл определенного интеграла есть площадь
фигуры. Вероятность попадания случайной величины в интервал
кривой распределения, ограниченной слева прямой
=
1
Второй способ вычисления дает возможность геометричес-
графически можно интерпретировать как площадь под
можно найти двумя способами. С помощью
−
FFP
1
2
=
sin
2
1
=⋅+⋅=
12
+
,
1
1
−
2
sin
ππππππ
64644,6
=
11
+−+−
−=x
.
36
и
4
π
),( ba
),(~ baRX
справа – прямой
и покажем искомую вероятность.
2.3. НЕКОТОРЫЕ ТИПИЧНЫЕ ЗАКОНЫ
НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы,
следует изучить рекомендованные разделы учебной литературы
(нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия).
Литература: [3], гл. 12, § 1-3, гл. 13, § 1-3; [7], гл. 2 п. 2.7.
=x
. Построим график кривой распределения
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.3.1. Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина называется равномерно
распределенной на интервале
ятностей постоянна на этом интервале, а вне его равна нулю, т.е.:
Обозначают:
Кривая распределения равномерной случайной величины
имеет вид:
.
37
, если ее плотность веро-
Рис. 4
≥
<<
−
−
≤
=
. , 1
, ,
, , 0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
Интегральная функция распределения равномерной
случайной величины:
График интегральной функции распределения имеет вид:
Рис. 5
38
Числовые характеристики равномерного распределения:
() () ,
2
ab
M X Me X
+
= =
2
()
() ,
12
ba
DX−=
6
σ
),(
βα
(,)ab
5
1
( )3
X
=
Вероятность попадания равномерной случайной величины
в интервал
можно вычислить по формуле:
, принадлежащий целиком интервалу
( )
ba
−
.
,
.
Геометрически эта вероятность представляет собой площадь
прямоугольника, заштрихованного на графике функции (см. рис. 4).
К равномерным величинам относятся те случайные велич
ины, про которые известно, что все их значения лежат внутри
некоторого промежутка, и все они имеют одинаковую вероятность.
Среди них – время ожидания транспорта, курсирующего с определенным интервалом, ошибка округления чисел и пр.
Пример. Случайная величина X имеет равномерное рас-
пределение в интервале (1, 3). Напишите дифференциальную
и интегральную функции, постройте их графики. Вычислите
числовые характеристики и вероятность попадания случайной
величины в интервал
Решение. Случайная величина X имеет равномерное рас-
пределение, следовательно, дифференциальная функция имеет вид:
, покажите эту вероятность на графике.
,
2
2
(2.13)
ее график:
39
>
≤≤
−
<
=
. 3 , 1
, 31 ,
2
1
, 1 , 0
)(
x
x
x
x
xF
Интегральная функция имеет вид:
ее график:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]