Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие-1
.pdf
Вычислим числовые характеристики случайной величины:
( )
5,2;5,0
( )
5,2;5,0
≥
<
=
−
,0 ,
,0 ,0
)(
xe
x
xf
x
λ
λ
0>
λ
Вероятность попадания случайной величины в интервал
можно вычислить рассмотренными выше способами. Например,
с помощью интегральной функции распределения:
.
Можно воспользоваться формулой нахождения вероятности
попадания равномерной величины в данный интервал (2.13)
или найти вероятность из геометрических соображений.
Последний вариант в данном случае кажется наиболее удобным. На графике дифференциальной функции заштрихуем площадь под кривой распределения на интервале
прямоугольник, площадь которого численно равна искомой вероятности. Таким образом,
2.3.2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Непрерывная случайная величина называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, если
ее плотность вероятностей имеет вид:
– получим
.
где число
называется параметром распределения.
41
Кривая распределения равномерной случайной величины
≥−
<
=
−
.0 , 1
,0 , 0
)(
xe
x
xF
x
λ
1
() ,MXλ=
2
1
() ,
DXλ=
1
()X
σ
λ
=
),,(
βα
0>
α
()PX ee
βλ
αλ
αβ
−
−
<< = −
0>
α
4=
λ
имеет вид:
Рис. 6
Интегральная функция распределения показательной случай-
ной величины:
График интегральной функции распределения имеет вид:
Рис. 7
Числовые характеристики показательного распределения:
.
Вероятность попадания показательной случайной величины
в интервал
, где
можно вычислить по формуле:
,
. (2.14)
Пример. Случайная величина X имеет показательное
распределение с параметром
. Запишите дифференциаль-
ную и интегральную функции распределения этой случайной
42
величины, постройте их графики. Найдите числовые характерис-
4=
λ
≥
<
=
−
,0 , 4
,0 ,0
)(
4
xe
x
xf
x
≥−
<
=
−
.0 , 1
,0 , 0
)(
4
xe
x
xF
x
F (x)
1
0
x
тики случайной величины, а также вероятность попадания ее
в интервал (1,5; 2,5), покажите эту вероятность на графике.
Решение. Случайная величина X имеет показательное
распределение с параметром
, следовательно, дифферен-
циальная функция имеет вид:
ее график:
Интегральная функция имеет вид:
Ее график:
43
Числовые характеристики найдем по формулам:
2
πσ
0>a, 0>
σ
),(~σaNX
0=a
1=
σ
)1,0(N
Вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5; 2,5)
найдем по формуле (2.14):
.
2.3.3. Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятностей
имеет вид:
1
)(
2
ax
−
)(
−
2
2
σ
,
,
Rxexf
∈⋅=
где числа
Обозначают:
– параметры распределения.
.
График плотности распределения вероятности нормального
закона – кривая, которую называют нормальной кривой или кривой
Гаусса.
Рис. 8
Нормальное распределение с параметрами
и
называют стандартным. Плотность вероятности
стандартной случайной величины имеет вид:
44
2
1
π
ax
)(xΦ
() () () ,M X Mo X Me X a= = =
2
() ,DXσ=
()X
σσ
=
( )
,
αβ
)(
Эта функция и ее свойства были описаны выше (п. 1.4).
Интегральная функция распределения нормального распре-
деления:
xF 5,0)(
где функция
График интегральной функции нормального распределения
имеет вид:
Числовые характеристики нормального распределения
равны:
Вероятность попадания нормально распределенной
случайной величины в интервал
– функция Лапласа, также была описана в п. 1.4.
Рис. 9
2
,
Φ+=
можно вычислить по формуле:
Rxexf
∈⋅=
.
−
,
σ
2
x
−
.
Вероятность отклонения нормально распределенной слу-
ч
айной величины от ее математического ожидания можно
вычислить по формуле:
(2.15)
(2.16)
45
Последняя формула при подстановке
σε
3=
( )
3, 3aa
σσ
−+
105=a
5=
σ
сделать важный вывод – правило трех сигма: практически
достоверно (с вероятностью 0,9973), что абсолютное отклонение
нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е. все ее значения лежат в промежутке
.
Закон Гаусса играет исключительную роль в теории вероятностей и математической статистике. Его отличительной
особенностью является тот факт, что он является предельным
законом, к которому (при определенных условиях) приближаются
другие законы распределения. Именно нормальный закон распределения встречается на практике чаще других.
Пример 1. Средний процент выполнения плана некоторым
предприятием составляет 105 % со средним отклонением – 5 %.
Полагая, что выполнение плана предприятием подчинено закону
нормального распределения, вычислить долю предприятий, выполняющих план от 110 % до 130 %.
Решение. Случайная величина X – процент выполнения
плана предприятиями, она имеет нормальное распределение с параметрами
воспользуемся указанной выше формулой (2.15):
и
. Для нахождения искомой вероятности
позволяет
Так, доля предприятий, выполняющих план на 110 % – 130
составляет около 16 % от общего числа предприятий.
Пример 2. Длина изготовляемой детали представляет собой
случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия – 0,25 мм2. Какое
поле допуска длины изготовляемой детали можно гарантировать
с вероятностью 0,99?
%,
46
Решение. Длина изготовляемой детали – случайная величи-
495,0)( =Φ x
на X, имеющая нормальный закон распределения с параметрами
и . Известна вероятность, гаран-
тирующая поле допуска:
.
Воспользуемся указанной выше формулой (2.16) для
нахождения отклонения ε значений случайной величины от ее
математического ожидания:
;
;
.
По таблице значений функции Лапласа (см. приложение 2)
находим значение аргумента, при котором значение функции
:
;
;
.
Тогда с вероятностью 0,99 можно указать поле допуска
длины детали:
;
;
.
47
ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
К выполнению контрольной работы следует приступать
только после изучения соответствующего материала курса по
учебникам, рекомендованным в начале каждого пункта. Следует
также внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в данном пособии к каждой теме.
Вариант 1
1. В классе 30 учеников, среди которых 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, отвечает
один ученик. Какова вероятность того, что среди ответивших
учеников были два мальчика и одна девочка?
2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических
валиков. Сборщик наудачу взял один, а затем другой валик. Найдите
вероятность того, что второй валик конусный.
3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий.
Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002.
Найдите вероятность того, что на базу придут 4 поврежденных
изделия.
4. Вероятность поражения движущейся мишени при каждом
отдельном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что при
2000 выстрелах отклонение частоты попадания от его вероятности
не будет превышать по абсолютной величине 0,03?
5. Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность того,
что сумма выпавших очков – нечетная и при этом на грани одной
из костей появится пятерка.
6. В жюри из трех человек два человека независимо друг
от друга принимают правильное решение с вероятностью р,
а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное
решение выносится большинством голосов). Жюри из одного
человека выносит справедливое решение с вероятностью р.
Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей
вероятностью?
48
7. На стройку поступает 50 % деталей с первого завода,
20 % – со второго, 30 % – с третьего завода. Первый завод дает
2 % брака, второй – 3 %, третий – 1 %. В результате поступления
бракованной детали возникла авария. Какова вероятность того, что
бракованная деталь была изготовлена на втором заводе?
8. Определите вероятность того, что при пяти бросаниях
игральной кости четное число очков выпадет: а) ровно три раза;
б) не менее трех раз; в) не более двух раз.
9. В одной урне 3 белых и 9 черных шаров, а в другой –
8 белых и 4 черных. Из каждой урны взяли по шару. Найдите закон
распределения случайной величины – числа белых шаров среди
этих двух и математическое ожидание этой величины, постройте
многоугольник распределения. Найдите функцию распределения
F(x) и постройте ее график.
10. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероят-
ности:
Определите постоянный коэффициент a и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность
того, что случайная величина примет значение из интервала
(0,5; 1).
11. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, есть величина, распределенная по нормальному закону с математическим
ожиданием 8 мм и дисперсией 0,16 мм2. Какова вероятность брака
по размеру диаметра, если разрешенный допуск ±0,6 мм?
Вариант 2
1. Вероятность выпуска изделия, отвечающего утвержденным техническим нормам, равна 0,9. Какова вероятность в партии
из 300 изделий получить 265 стандартных?
2. На сборку поступило 35 конусных и 30 эллиптических
валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем, не возвращая
его, второй. Какова вероятность того, что первый валик был
конусным, а второй – эллиптическим?
49
3. В ящике находится 54 одинаковых по виду и весу деталей,
≤
,0,0
x
2
1
помеченных номерами от 1 до 54. Найдите вероятность того, что
наудачу вынутая деталь будет иметь номер, кратный трем?
4. Вероятность всхожести семян ржи составляет 90 %. Чему
равна вероятность того, что из 6 семян взойдут 4?
5. Два датчика посылают сигналы в общий канал связи,
причем первый датчик посылает в четыре раза больше сигналов,
чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого
датчика равна 0,06; от второго – 0,03. Какова вероятность того,
ч
то наугад выбранный из общего канала связи сигнал будет
искаженным?
6. Студент выучил 45 из 60 вопросов программы. Каждый
экзаменационный билет содержит пять вопросов. Найдите вероятность того, что этот студент получит на экзамене оценку
«удовлетворительно» (ответит правильно только на три вопроса
билета).
7. Первый рабочий производит 55 % общего количества де-
талей, а второй рабочий – 45 %. В продукции первого рабочего
содержится 2 % брака, у второго рабочего – 3 % брака. Случайно
взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что
эта деталь была сделана вторым рабочим?
8. Две монеты подбрасываются 1000 раз. Найдите вероятность
того, что число выпадений комбинации «герб – герб» будет не менее
чем 236 и не более чем 264.
9. Функция распределения случайной величины имеет вид:
2
=
)(
xF
Найдите числовые характеристики этой случайной величины
и вероятность попадания ее в интервал
графики интегральной и дифференциальной функций.
50
≤<
,10,
xx
>
.1,1
x
. Постройте
)(;
XM
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]