Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Н. А. Логинова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебно-методическое пособие
Новосибирск
2023
УДК 519.2(075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензент канд. техн. наук, доцент И.В. Нечта
Логинова, Н. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учебнометодическое пособие / Н. А. Логинова ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2023. – 53 с.
Учебно-методическое пособие содержит основные сведения по теории
вероятностей и математической статистике, а также задачи по всем темам
учебной программы курса с подробными решениями.
Приведены контрольные вопросы для самоконтроля, справочные таблицы и
список литературы.
Для студентов заочной формы обучения по направлениям подготовки
11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и
системы связи».
Логинова Н.А., 2023
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2023
3
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Случайные события. Алгебра событий. Элементы
комбинаторики ………………………………………………………………….4
1.2. Классическое и статистическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность………………………………………………….. 6
1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ………………………….. 8
1.4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса………………………….10
1.5. Схема Бернулли. Предельные теоремы…………………………………... 12
1.6. Дискретные случайные величины и их характеристики…………………15
1.7. Непрерывные случайные величины. Основные законы
распределения непрерывных случайных величин ………………………... 20
1.8. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа ………………. 24
1.9. Системы случайных величин. Корреляция………………………………. 26
ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
2.1. Основные понятия случайных процессов. Основные
характеристики случайных процессов и их свойства……………………... 27
2.2. Законы распределения и числовые характеристики
случайных процессов………………………………………………………... 29
2.3. Преобразования случайных процессов
2.3.1. Прибавление к случайной функции неслучайной
функции …………………………………………………………………….31
2.3.2. Умножение случайной функции на неслучайный
множитель ………………………………………………………………… 32
2.3.3. Дифференцирование и интегрирование случайного
процесса
2.4. Стационарные случайные процессы ……………………………………... 35
ЧАСТЬ 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
3.1. Основные понятия математической статистики.
Полигон и гистограмма ……………………………………………………... 38
3.2. Статистическое оценивание. Точечная оценка
математического ожидания и дисперсии …………………………………...41
3.3. Понятие интервальной оценки числовых характеристик ………………..44
3.4. Интервальная оценка математического ожидания
нормально распределенной случайной величины при
известной дисперсии ………………………………………………………... 45
3.5. Интервальная оценка дисперсии нормально распределенной
случайной величины. Распределение Пирсона……………………………. 46
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1. Значения функции Лапласа ……………………………………..48
Таблица 2. Значения функции Гаусса ……………………………………... 49
СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ………………………….50
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………. 52
4
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Случайные события. Алгебра событий. Элементы комбинаторики
Случайным событием называется результат (исход) испытания (опыта,
эксперимента), который при реализации данного комплекса условий (РДКУ)
может произойти или не произойти. Достоверным называется событие ,
которое при РДКУ происходит с неизбежностью. Невозможным называется
событие , которое заведомо не происходит ни в одной из РДКУ. События
называются несовместными, если они не могут появиться вместе при РДКУ.
A
обозначают событие, противоположное событию А.
Суммой событий А и В, обозначаемой A+B, называют событие, которое
наступает тогда, когда происходит или событие А, или В (или оба вместе). На
языке теории множеств сумме событий соответствует объединение
подмножеств. Аналогично определяется сумма нескольких событий:
=
=+++
n
i
i
A
n
AAA
1
21
происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из Аi.
Произведением событий А и В называется событие, обозначаемое АВ,
происходящее тогда, когда наступают А и В.
События
n
A
i
A ,,
образуют полную группу событий, если
=++
n
AAA
21
=+ AA
, то есть событие A и ему противоположное событие A образуют
полную группу.
Совокупность всех попарно несовместных исходов, которые могут
произойти при РДКУ (пространство элементарных исходов), образует
полную группу и обозначается , а его элементы
,
2
,
1
Для подсчета числа появления того или иного события А при РДКУ
используют методы комбинаторики – раздела математики, где изучаются
способы подсчета числа различных комбинаций с заданными свойствами,
которые можно составить из имеющихся объектов.
Основные правила комбинаторики
Правило сложения (суммы): Если первую из двух несовместных
операций можно выполнить n1 числом способов, а вторую n2 числом
способов, то общее количество способов, которыми можно выполнить
первую или вторую операцию, равно n1+ n2.
Правило умножения (произведения): Если первую из двух совместных
операций можно выполнить n1 числом способов, а вторую n2 числом
способов, то общее количество способов, которыми можно выполнить
первую и вторую операцию, равно n1 n2.
Замечание: эти правила обобщаются на любое конечное число операций.
Основные виды соединений.
Перестановка – это упорядоченное множество из данных n элементов:
nnP
n
...321! ==
5
Размещение – это упорядоченное подмножество, содержащее m
элементов из данных n элементов:
)!(
!
)1)...(2)(1(
mn
n
mnnnnA
m
n
−
=+−−−=
! В таких наборах важен не только состав, но и порядок.
Сочетание – это неупорядоченное подмножество, содержащее m
элементов из данных n элементов:
)!(!
!
!
)1)...(2)(1(
! mnm
n
m
mnnnn
m
A
C
m
n
m
n
−
=
+−−−
==
! В таких наборах важен только состав, порядок не важен.
1,,,1
01
====
−nmn
n
m
nn
n
n
СCCnCС
Пример 1.1 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр
0,1,2,3,4,5, если а) цифры могут повторяться, б) цифры не повторяются?
Решение. Пусть
321
,, nnn
– числа способов занять 1-е, второе и третье
место трехзначного числа предложенными цифрами. По правилу
произведения, количество возможностей составить трехзначное число равно:
321
nnnN =
180665;6,6,5)
321
===== Nnnnа
100455;4,5,5)
321
===== Nnnnб
Пример 1.2. Сколькими способами 5 книг разных авторов можно
расставить на полке в один ряд?
Решение. 1 cпособ. Есть 5 возможностей занять 1-е место, 4 – 2-е, 3 – 3-е,
2 – 4-е и 1 – 5-е
12012345
54321
ияпроизведенправилуПо === nnnnnN
12054321!5
5
:способ2 ==== PN
Пример 1.3. В автомашине 5 мест. Сколькими способами можно
рассадить в ней 5 человек, если место водителя могут занять только трое из
них?
Решение. Занять место водителя можно тремя способами, остальные 4
числом перестановок из 4-х, то есть 4! способами:
7243213!43 ===N
Пример 1.4. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Выбирают наугад 3
шара. Сколькими способами можно выбрать 2 красных шара и один синий?
Решение. Так как в таких наборах важен только состав, нужно
воспользоваться формулой для сочетаний:
10кр,8 син. 3 шара
3608.
21
910
)1,2(
1
8
2
1021
=
=== ССnnсинкрN
6
1.2. Классическое и статистическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность
Вероятностью события А называют неотрицательное число
1)(0 АР
,
которое является количественной мерой степени достоверности наступления
события А.
Достоверному событию приписывается вероятность, равная 1,
невозможному – равная нулю: Р()=1, Р()=0.
Пусть множество элементарных исходов конечно и наступление всех
исходов при испытании равновозможно (или равновероятно). Тогда
вероятность наступления события А может быть найдена по формуле
классической вероятности
( )
)()(
=
N
AN
AP
,
где Р(А) – вероятность события А, N(A) – число исходов, благоприятных
событию А,
(N
)- общее число всех возможных исходов при РДКУ.
Если в результате n испытаний событие А произошло m раз, то отношение
n
m
называют относительной частотой события А или статистической
вероятностью:
n
m
An=)(
При
)()( APAn
n
→→
.
Геометрической вероятностью называется вероятность попадания
точки, взятой наугад в области G, в область g
G
. Она рассчитывается по
формуле:
Р(А)=
)()(G
g
,
где
)(g
и
)(G
- меры областей g и G, соответственно.
Пример 1.5. Монету подбрасывают 1 раз. Найти вероятность выпадения
герба.
Решение. Множество всех исходов (пространство элементарных событий):
2)(),,( == NРГ
Возможный благоприятный исход (выпадение герба) только один:
1)( =ГN
По формуле классической вероятности, вероятность выпадения герба при
однократном подбрасывании монеты равна:
7
( )
2
1
)(
)(
=
=
N
ГN
ГP
Пример 1.6. Монету подбрасывают 2 раза. Какова вероятность того, что
герб выпадет хотя бы один раз?
Решение. Пусть событие А – выпадение герба хотя бы один раз при
двукратном подбрасывании монеты.
Пространство всех элементарных исходов
4)(),,,,( == NРРРГГРГГ
Благоприятными событию А являются исходы: А=(ГГ,ГР,РГ), N(А)=3
По формуле классической вероятности, вероятность события А равна:
( )
75,0
4
3
)(
)(
==
=
N
АN
АP
Пример 1.7. Игральный кубик бросается 2 раза. Какова вероятность того,
что сумма выпавших очков будет равна 6?
Решение. Событие А: выпадение суммы очков, равной 6, при двукратном
бросании кубика.
исходоввозможныхвсехчисло366)(
2
−==N
Событи
Благоприятными событию А являются исходы: А=(1,5; 5,1; 2,4;,4,2; 3,3)
N(A)=5
По формуле классической вероятности, вероятность события А равна:
( )
36
5
)(
)(
=
=
N
АN
АP
.
Пример 1.8. Студент выучил к экзамену 25 вопросов из необходимых 40
по программе. Найти вероятность того, что он знает оба вопроса,
содержащиеся в его билете.
Решение. Событие А: студент знает 2 вопроса билета.
( )
385,0
780
300
)(
300
21
2425
;780
21
3940
;
)(
)(
2
25
2
40
=
=
===
==
= =
AP
CmCn
n
m
N
АN
АP
Пример 1.9. Имеется 10 шаров, среди них 6 белых и 4 черных. Из них
берутся 2 шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.
6 бел,4 чер 2 шара, событие А: оба шара одного цвета
8
Решение.
( )
−=
===
= 45
21
910
;
)(
)(
2
10
Cn
n
m
N
АN
АP
число всех возможных
способов вынуть 2 шара из 10. Благоприятными событию А являются
исходы, при которых оба шара либо белые, либо черные.
21615,6
21
34
черные)шараоба(
,15
21
56
белые)шараоба(,,сложенияправилуПо
21
2
4
2
2
6
121
=+=+==
==
=
==+=
mmmCm
Сmmmm
( )
467,0
15
7
45
21
)(
)(
===
=
n
m
N
АN
АP
1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Пусть А и В два события. Тогда вероятность того, что произошло хотя бы
одно событие из А и В, равно:
Р (А +В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ)
– теорема сложения вероятностей событий А и В
Для несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Так как А и A образуют полную группу несовместных событий, А + A=
,
P(А + A) = P(А) + P(A)=1,
P(А) = 1- P(A)
В случае трех событий совместных А, В, С
Р(А +В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(СА) + Р(АВС)
Для попарно несовместных событий А, В,С Р(А+В+С)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С).
Для двух событий А и В (Р(В)>0) вероятность наступления события А при
условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и
определяется равенством
( )
)()(BP
ABP
BAP =
Два события А и В называются независимыми, если появление одного из
них не изменяет вероятности появление другого. В этом случае выполняется
равенство
( ) ( ) ( )
BPAPBAP =
Для зависимых событий А и В
( ) ( ) ( )
)/()(/ BAPBPABPAPBAP ==
9
– теорема умножения вероятностей.
Для трех зависимых событий А,В,С
( ) ( ) ( )
)/(/ ABCPABPAPCBAP =
Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий
:формулеповычислятьудобно,...,
2
,
1 n
AAA
)(...)()(1)...(1)...(
2121
21
n
APAPAP
n
AAAP
n
AAAP −=−=+++
Пример 1.10. В урне два белых шара и один черный. Один за другим
из нее вынимают два шара. Найти вероятность того, что при втором
вынимании будет вынут белый шар.
Решение. Пусть событие А – появление белого шара при втором
вынимании. Его вероятность зависит от того, какой шар был вынут в
первый раз. Пусть В – появление белого шара при первом вынимании, С –
появление черного шара при первом вынимании. Таким образом,
вероятность события А является условной и определяется следующим
образом:
==
=
=
шарчерныйвынутбылразпервыйвеслиCAP
шарбелыйвынутбылразпервыйвеслиBAP
AР
,1
2
2
)/(
,
2
1
)/(
)(
Пример 1.11. Прибор состоит из 3-х последовательно соединенных
узлов, каждый из которых может работать независимо друг от друга, но отказ
любого из них приводит к отказу прибора в целом. Найти вероятность
безотказной работы (надежность) прибора, если надежность 1, 2, 3 узлов
равна 0,8, 0,9 и 0,7, соответственно.
Пусть Аi – безотказная работа i-го узла,
1 2 3 A – безотказная работа всего прибора.
По условию, Р(А1)=0,8; Р(А2)=0,9; Р(А3)=0,7.
Так как для работы всего прибора необходима одновременная работа
всех трех узлов, работающих независимо, вероятность его безотказной
работы следует вычислять по формуле:
( ) ( ) ( )
.504,07,09,08,0)()(
3
21321
==== АРАPAPААAPАР
Пример 1.12. По каналу связи передается кодовая комбинация из трех
символов. Вероятность искажения при приеме одного символа равна 0,1.
Найти вероятность того, что хотя бы один символ в комбинации будет
искажен.
10
Решение. Событие А: хотя бы один символ в комбинации из 3-х искажен.
Противоположное ему событие A: все три символа не искажены. Если
символы передаются независимо, то
P(А) = 1- P(A) = 1- P(A1 A2 A3) =1-P(A1)P(A2)P(A3)
По условию P(
A
i
) = 0,1, i=1,2,3. Тогда P(
А
i
) =1- P(
A
i
)=0,9
P(А) =1-P(A1)P(A2)P(A3) = 1- (0,9)3 = 1 – 0,729 = 0,271.
Пример 1.13. Прибор состоит из 3-х параллельно соединенных узлов,
каждый из которых может работать независимо друг от друга, а отказ
прибора происходит только при одновременном отказе всех трех узлов.
Найти вероятность безотказной работы (надежность) прибора, если
надежность 1,2,3 узлов равна 0,8, 0,9 и 0,7, соответственно.
1 Решение.
Пусть Аi – безотказная работа i-го узла,
A – безотказная работа всего прибора
2
приборавсегоотказ−А
По условию, Р(А1)=0,8, Р(А2)=0,9; Р(А3)=0,7.
3
3,0)(;1,0)A(0,2;)(
32
1
=== APPАPТогда
Так как, по условию, узлы прибора работают независимо, вероятность
отказа прибора можно вычислить по формуле:
.006,03,01,02,0)()(
321321
====
АРАPAPААAPАР
Искомую вероятность безотказной работы прибора (вероятность того, что
хотя бы один узел работает исправно) вычислим по формуле:
.994,0006,01)(1)( =−=−= APAP
1.4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
Пусть даны события
n
HHH ,,
2
,
1
, образующие полную группу попарно
несовместных событий, и некоторое событие А, которое может произойти
вместе с одним из этих событий. События
n
HHH ,,
2
,
1
называют гипотезами.
Вероятности
(
)
(
)
n
HPHP ,,1
называются априорными (доопытными).
По теоремам сложения и умножения вероятностей, вероятность события А
равна:
( )
=
=+++=
=
=
n
i
HAP
i
HP
n
i
i
AHPAHAHAHPAP
in1
1
21
,)()...(
.гипотезойсвместеАсобытиюпроизойтиьвероятност)/(где
ii
HHAP −
Формула
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]