Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
3.
0)()(),(
212121
dtdtttttK
B B
x
(свойство положительной
определенности корреляционной функции).
Рис. 2.4 – Корреляционная функция случайного процесса
Раздел теории случайных процессов, в котором описание их свойств
строится на основе не более чем двумерных законов распределения,
называется корреляционной теорией.
2.3. Преобразования случайных процессов
2.3.1. Прибавление к случайной функции неслучайной функции
Рассмотрим случайную функцию
)(tY
, полученную путем прибавления к
случайной функции
)(tX
неслучайной функции
)(t
:
)(tY
=
)(tX
+
)(t
(2.7)
По теореме сложения математических ожиданий случайных величин,
математическое ожидание процесса
)(tY
для произвольного момента
времени t равно:
)()()()()( tMtXMttXMtYM
+=+=
.
С учетом того, что
)()( ttM
=
для неслучайной функции
)(t
,
окончательно получаем:
)()()()()( ttmttXMtm
xy
+=+=
. (2.8)
Итак, добавление неслучайной функции изменяет величину
математического ожидания случайной функции на величину
неслучайного слагаемого.
В частности, для центрированной случайной функции
)()()( tmtXtX
x
−=
получаем:
0)()()()()( −=−=
tmtmtmtXMtXM
xxx
32
Найдем корреляционную функцию случайной функции
)(tY
:
=
−
−= )()()()(),(
221121
tmtYtmtYMttK
yyy
=
)()()()()()()()(
22221111
ttmttXttmttXM
xx
−−+−−+
=
=
),()()()()(
212211
ttKtmtXtmtXM
xxx
=−−
. (2.9)
Таким образом, корреляционная функция случайного процесса не
изменяется от прибавления к нему неслучайной функции.
Как следствие, не изменяется также и дисперсия исходного процесса:
)(),(),()( tDttKttKtD
xxyy
===
. (2.10)
Пример 2.1. Случайный процесс
)(tX
имеет нормальный одномерный закон
распределения с математическим ожиданием
ttm
x
=)(
, дисперсией
22
)()( tttD
xx
==
:
( )
e
t
tx
t
txf
2
2
2
2
1
);(
−
−
=
Найти одномерную плотность распределения, математическое ожидание
и дисперсию случайного процесса
)()()( ttXtY
+=
, где
tt 2)( =
.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулами (2.2) и (2.4),
ttttm
y
32)( =+=
,
tttttDtD
yyxy
==== )();()()(
22
.
Поскольку линейное преобразование не изменяет вида распределения,
случайная функция
)(tY
также имеет нормальное распределение, и ее
одномерная плотность распределения имеет вид:
( )
e
t
ty
t
tyf
2
2
2
3
2
1
);(
−
−
=
2.3.2. Умножение случайной функции на неслучайный множитель
Умножим случайную функцию
)(tX
на неслучайную функцию
)(t
:
)()()( ttXtY
=
(2.11)
Найдем математическое ожидание, корреляционную функцию и
дисперсию для процесса
)(tY
, используя известные из теории вероятностей
свойства математического ожидания для случайных величин.
)()()()()()()( tmttXMtttXMtm
xy
===
, (2.12)
поскольку
)(t
для любого фиксированного момента времени является
неслучайной величиной (числом) и может быть вынесена за знак
математического ожидания.
33
Итак, умножение случайной функции на неслучайную функцию
приводит к умножению на эту функцию ее математического ожидания.
=
−
−= )()()()(),(
221121
tmtYtmtYMttK
yyy
=
22221111
()()()()()()()( tmttXttmttXtM
xx
−−
= =
( )
=−− )()())()()(
221121
tmtXtmtXttM
xx
),()()(
2121
ttKtt
x
(2.13)
В частном случае, если
)(tX
не зависит от t, то есть является случайной
величиной V с математическим ожиданием
v
m
и дисперсией
v
D
, функция
)(tY
принимает вид:
)()( tVtY
=
, ( 2.14)
то есть становится элементарной случайной функцией с характеристиками:
);()();()(
2
tDtDtmtm
vyvy
==
)()()()(),(),(
21212121
ttDttttKttK
vvy
==
. (2.15)
При этом учтено то обстоятельство, что корреляционная функция для
случайной величины равна ее дисперсии:
vv
DVMtVtVMttK =
=
=
2
2121
)()(),(
. (2.16)
Пример 2.3. Случайная функция
)(tX
задана выражением
tVtX
cos)( =
,
где
V
– случайная величина с характеристиками
,3;2 ==
vv
m
–
неслучайная величина. Найти характеристики случайной функции
)(tX
.
Р е ш е н и е.
)(tX
является элементарной случайной функцией вида
(2.14), где
tt
cos)( =
. В соответствии с формулами (2.15) получаем:
2121
2
coscos9),(;cos9)(;cos2)( ttttKttDttm
xxx
===
.
2.3.3. Дифференцирование и интегрирование случайного процесса
Математическое ожидание
)(tm
y
и корреляционная функция
),(21ttK
y
для
производной случайной функции
).(
)(
)( tX
dt
tdX
tY
==
определяются
формулами:
)()()( tmtmtm
xyx
==
;
21
21
2
2121
),(
),(),(
tt
ttK
ttKttK
x
yx
==
. (2.17)
Математическое ожидание
)(tm
y
, корреляционная функция
),(21ttK
y
и
дисперсия
)(tD
y
процесса
=
t
dXtY
0
)()(
определяются по формулам:
34
=
t
xy
dmtm
0
)()(
,
=
1 2
0 0
212121
),(),(
t t
xy
ddKttK
,
==
t t
xyy
ddKttKtD
0 0
2121
),(),()(
. (2.18)
Пример 2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреля-
ционную функцию для производной элементарной случайной функции
)()( tVtX=
, где V– случайная величина с характеристиками
vv
Dm ,
,
)(t
–
неслучайная функция.
Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.19), математическое ожидание и
корреляционная функция процесса
)()( tXtY
=
равны:
);()( tmtm
xy
=
21
21
2
21
),(
),(
tt
ttK
ttK
x
y
=
.
Для нахождения характеристик элементарной случайной функции
)(tX
воспользуемся формулами (2.15):
);()( tmtm
vy
=
)()(),(
2121
ttDttK
vy
=
.
Тогда
)()()( tmtmtm
vvy
=
=
,
2
2
1
1
21
21
2
21
)()(
)()(),(
t
t
t
t
DttD
tt
ttK
vvy
=
=
,
2
)(
),()(
==
t
t
DttKtD
vyy
.
Те же результаты могли быть получены, если допустить, что при
дифференцировании элементарной случайной функции
)()( tVtX
=
случайная величина V может быть вынесена за знак производной как
обычная константа, то есть если записать:
)()()( tVtXtY
=
=
.
Действительно, и в этом случае имеем:
),()()()( tmVMttVMtm
vy
=
=
=
=−
−
=
= )()()()()()(),(
22112121
tmtVtmtVMtYtYMttK
vvy
2
2
1
1
2
21
)()(
)()(
t
t
t
t
DmVMtt
vv
=−
=
.
В частности, для случайной функции
,)( btVtX +=
где V– случайная
величина, b– вещественное число,
.,,)()( constDDconstmmVtXtY
vyvy
=====
=
35
Пример 2.5. Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию интеграла от элементарной случайной функции
)()( tVtX
=
, где V– случайная величина с характеристиками
vv
Dm ,
,
)(t
–
неслучайная функция.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулами (2.18) и (2.15):
===
===
1 21 21 2
0 0
2121
0 0
2121
0 0
212121
0 00
;)()()()(),(),(
;)()()()(
t tt t
vv
t t
xy
t t
vv
t
xy
ddDddDddKttK
dmdmdmtm
2
0
)(),()(
==
t
vyy
dDttKtD
Те же выражения были бы получены, если допустить, что случайная
величина V может быть вынесена за знак интеграла как обычная константа.
2.4. Стационарные случайные процессы
На практике очень часто встречаются случайные процессы,
вероятностные характеристики которых обладают устойчивостью во времени
и не зависят от начала его отсчета. Реализации таких процессов имеют вид
непрерывных колебаний относительно некоторого постоянного среднего
значения и не обнаруживают тенденции к изменению ни по частотному
составу, ни по амплитуде колебаний. Такие процессы называются
стационарными (или однородными) случайными процессами. В качестве
примеров таких процессов можно привести: 1) вертикальные перемещения
самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) случайные
колебания напряжения в электрических цепях; 3) шумы радиотехнических
устройств; 3) шероховатость обработанной поверхности и т.д. Семейство
реализаций такого процесса приведено на рис. 2.5. На рис. 2.6 приведена
совокупность реализаций явно нестационарного процесса, который
характеризуется значительным ростом его дисперсии во времени.
Рис. 2.5 – Семейство реализаций стационарного процесса
36
Рис. 2.6. – Семейство реализаций нестационарного процесса
В рамках корреляционной теории стационарным называется
случайный процесс
)(tX
, одномерная плотность распределения которого
);( txf
не зависит от рассматриваемого момента времени t, а двумерный
закон распределения
),;,(
2121
ttxxf
зависит только от разности моментов
времени
=−12tt
:
);,();,(),;,(
);(),(
2112212121
xxfttxxfttxxf
xftxf
=−=
=
(2.19)
С учетом (2.19) выражения для математического ожидания, дисперсии
и корреляционной функции принимают вид:
constmdxxfxtmtXM
xx
====
−
)()()]([
.
−
==−=−= constDdxxfmtXtmtXMtXD
xxx
)(])([)]()([)]([
22
)()();,())((),(
122112212121
xxxxx
KttKdxdxttxxfmxmxttK =−=−−−=
−
−
Таким образом, математическое ожидание и дисперсия
стационарного случайного процесса являются постоянными величинами,
а его корреляционная функция зависит только от разности моментов
времени
=−12tt
, то есть является функцией одной переменной .
Значение дисперсии, как и ранее, может быть получено из выражения для
корреляционной функции:
xxxx
DKttKtD === )0(),()(
.
Mатематическое ожидание и корреляционная функция производной
стационарного случайного процесса X(t) определяются формулами:
;0)()(
==
x
mtmtYM
X
( )
2
2
21
12
2
21
)(
),(
−=
−
=
xx
X
K
tt
ttK
ttK
37
.
)(
)0()(
0
2
2
constD
K
KtD
X
x
XX
==
−==
=
Таким образом, производная стационарного случайного процесса
также является стационарным случайным процессом, при этом его
математическое ожидание тождественно равно нулю.
Для математического ожидания и дисперсии интеграла
=
t
tdtXtZ
0
)()(
от стационарного случайного процесса
)(tX
справедливы формулы:
=
==
t
xxz
tmtdmtmtZM
0
;)()]([
−==
t
xzz
dKtttKtD
0
)()(2),()(
Таким образом, интеграл от стационарного случайного процесса не
является стационарным, так как свойствами стационарности не обладает.
Пример 2.6. Является ли стационарным случайный процесс
VtXtY += )()(
, где V– случайная величина с математическим ожиданием
V
m
, дисперсией
V
D
, а
)(tX
– стационарный случайный процесс, не
зависящий от V, с характеристиками
)(,,
xxx
KDm
?
Р е ш е н и е. Проверим условия стационарности процесса
)(tY
:
,)( constmmtm
Vxy
=+=
constDDKtDKDKttK
vxyyyVxy
=+===+= )0()(),()(),(
21
Поскольку математическое ожидание и дисперсия процесса
)(tY
являются постоянными величинами, а его корреляционная функция зависит
только от разности аргументов
=−12tt
,
)(tY
является стационарным
случайным процессом.
38
ЧАСТЬ 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
3.1. Основные понятия математической статистики. Полигон и
гистограмма
Математическая статистика изучает методы сбора и обработки результатов
наблюдений.
Генеральной совокупностью называется вся (в общем случае
бесконечная) совокупность изучаемых объектов.
Выборочная совокупность (выборка) – совокупность объектов, случайно
отобранных из генеральной совокупности для обследования изучаемого
количественного признака объекта.
Простая статистическая совокупность (простая выборка) – значения
измеряемой величины Х, записанные в хронологическом порядке:
n
xxx ,...,,
21
Вариационный ряд – последовательность наблюдаемых значений
(вариант), записанных в возрастающем порядке:
nk
k
xxx ,...
21
Статистический ряд дискретной случайной величины – вариационный
ряд вместе с соответствующими значениями относительных частот
n
i
m
i
=
,
где
i
m
- число повторений значения
i
x
в выборке объема n.
Дискретный статистический ряд оформляется в виде таблицы 3.1:
Таблица 3.1 – Дискретный статистический ряд
i
x
x1 x2 x3
. . .
k
x
i
1
2
3
. . .
k
Графическое представление дискретного статистического ряда называется
полигоном относительных частот. Полигон представляет собой ломаную,
соединяющую точки
)(
, ii
x
, и является статистическим аналогом
многоугольника распределения дискретной случайной величины.
Статистическим аналогом генеральной (теоретической) функции
распределения является полученная по результатам выборки статистическая
функция распределения
)(xF
, определяемая следующим образом:
,
,1
,
,0
)
max
maxmin
:
min
=
xx
xxx
xx
xF
xxi
i
i
(3.1.)
39
Пример 3.1. Дана выборка, представленная статистическим рядом.
Построить полигон относительных частот и статистическую функцию
распределения.
Решение. Общий объем выборки n= 5+15+40+25+8+4+3 = 100,
i
-
относительные частоты. Полигон относительных частот имеет вид (рис. 3.1):
i
0,5
0,4
0.3
0.2
0,1
0
i
x
20 26 32 38 44 50 56 62
Рис. 3.1 – Полигон относительных частот
Статистическая функция распределения в соответствии с формулой (3.1)
имеет вид:
,
62,1
,6256,97,0
,5650,93,0
,5044,85,0
,4438,60,0
,3832,20,0
,3226,05,0
26,0
)(
=
x
x
x
x
x
x
x
x
xF
,
а ее график приведен на рис. 3.2.
x
i
26
32
38
44
50
56
62
mi 5
15
40
25
8
4
3
n
m
i
i
=
0,05
0,15
0,4
0,25
0,08
0,04
0,03
40
)(xF
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 26 32 38 44 50 56 62 x
Рис. 3.2 – Статистическая функция распределения
Если исследуемый количественный признак является непрерывным или
объем выборки велик, значения выборки группируются в интервальный
статистический ряд:
ii
xx ,
1−
10
,xx
21
, xx
32
,xx
. . .
kk
xx ,
1−
i
1
2
3
. . .
k
Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура,
состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы [
i
x
i
x ,
1−
], а высоты равны
i
i
x
. Сумма площадей всех прямоугольников равна
1. Гистограмма является статистическим аналогом плотности распределения
исследуемого признака.
Пример 3.2. Построить гистограмму по статистическому ряду непрерывной
случайной величины
Для каждого разряда вычисляется величина
1
,
−
−=
iii
i
i
xxxгде
x
В данной задаче
ix
i
всехдля2=
,
200,0,225,0,075,0
3
3
2
2
1
1
=
=
=
xxx
.
i
xxi,
1−
(2,4)
(4,6)
(6,8)
i
0,15
0,45
0,40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]