Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
i
i
x
0,225
0,200
0,075
0 2 4 6 8 x
Рис. 3.3 – Гистограмма относительных частот
3.2. Статистическое оценивание. Точечная оценка математического
ожидания и дисперсии
Статистической оценкой называется числовая характеристика,
вычисленная по данным выборки. Задача нахождения оценки называется
статистическим оцениванием.
Точечной называется оценка числовой характеристики случайной
величины, выражаемая числом. Точечная оценка должна обладать тремя
свойствами: несмещенностью, состоятельностью и эффективностью.
Несмещенность оценки.
Несмещенной называется оценка
, математическое ожидание которой
равно оцениваемому параметру , т.е.
=)(M
. Такая оценка не содержит
постоянной составляющей.
Состоятельность оценки
Состоятельной называется такая оценка, которая приближается (сходится
по вероятности) к параметру , то есть для любого >0
1)(
lim
=−
→
P
n
Cмысл состоятельности точечной оценки: ее дисперсия стремится к нулю
при
→n
.
Эффективность оценки
Эффективной называется оценка, дисперсия которой минимальна по
сравнению с оценками вычисленными другими способами:
)(min)(
=
i
DD
.
Замечание: если несмещенная оценка эффективна, то она и состоятельна.
42
Точечная оценка математического ожидания (выборочное среднее) для
дискретной случайной величины является средним арифметическим
наблюдаемых значений и вычисляется по формуле:
=
=+++=
k
i
ii
x
n
xxx
n
в
x
1
)...(
1
21
. (3.2)
Она является несмещенной и состоятельной. Если случайная величина
распределена по нормальному закону, то оценка (3.2) является также
эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.
Выборочной дисперсией
в
D
называется среднее арифметическое
квадратов отклонений наблюдаемых значений случайной величины от
выборочного среднего:
2
)
1
(
1
=
−=
n
i
в
x
i
x
n
в
D
(3.3)
По сгруппированным данным выборочная дисперсия для дискретной
случайной величины может быть вычислена по формуле (3.4)
i
k
i
в
x
i
x
в
D
2
)
1
(
=
−=
(3.4)
или по вытекающей из нее формуле (3.5):
2
)(
1
2
в
x
k
i
ii
x
в
D −
=
=
, (3.5)
более удобной для расчетов.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной
дисперсии D, так как ее математическое ожидание и D не равны между
собой:
.
1
)( D
n
n
DM
в
−
=
Для компенсации этой «ошибки» вводится поправочный коэффициент
1−n
n
и так называемая «исправленная» выборочная дисперсия рассчитывается
по формуле (3.6):
вв
D
n
n
D
1~−
=
(3.6)
При больших объемах выборки обе оценки отличаются незначительно.
Выборочным (смещенным) средним квадратическим отклонением
называется квадратный корень из выборочной дисперсии:
43
в
D
в
=
Выборочным «исправленным» (несмещенным) средним квадратическим
отклонением называется квадратный корень из «исправленной» выборочной
дисперсии:
ввв
D
n
n
D
1
~
~
−
==
.
Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой генеральной
дисперсии.
Пример 3.2. Вычислить точечные оценки математического ожидания,
дисперсии и среднего квадратического отклонения по данным простой
статистической совокупности:
0, 0, 0, 1, -1, 1,-1,-1 ,0, 0, -1, 0, -1, 0, 2, -2, -1, 0, -2, 1,
0, 2, 0, -1, -1, 0, 0, -1, 1, -1, 1, -1, 0, 1, 1, -2, 0, -1, 2, 0,
-1, 0, 0, 1, -2, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 1, 0, 0, -3, 0, -1, 0,
2, 0, 0, 1, 5, -2, 2, -3, -1, 2, -2, 0, -2, 2, -4, -4, 2, 1, 1, 0,
0, -1, 2, 0, -1, 1, 0, 5, -2, 0, -2, 1, 4, 0, -2, -2, 1, 1, 2, 4 .
n=100
Решение. Составляем дискретный статистический ряд:
x
i
-4
-3
-2
-1
0
1
2
4
5
mi 2
2
11
19
35
17
10
2
2
n
m
i
i
=
0,02
0,02
0,11
0,19
0,35
0,17
0,1
0,02
0,02
52,2002,02502,016
1,0417,01019.0111,0402,0902,016
002,0502,041,02
17,0135019,0)1(11,0)2(02,0)3(02,0)4(
9
1
22
9
1
=−++
+++++++=−=
=+++
+++−+−+−+−=
=
=
=вi
iiв
xxD
i
ii
x
в
x
55,252,2
99
100
1
~
равнадисперсиявыборочнаяая"Исправленн" =
−
=
вв
D
n
n
D
.6,1
~
σ
~
равноотклонениескоеквадратичесреднееое"Исправленн"
в
=вD
44
3.3. Понятие интервальной оценки числовых характеристик
Пусть по выборке объема n вычислена оценка
характеристики .
Поскольку выборочная характеристика является случайной величиной, то она
может оценивать неизвестный параметр с большей или меньшей точностью.
Оценка
тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютное
значение разности
−
. Можно потребовать, чтобы эта разность не
превышала заданной малой величины >0, которая называется точностью
оценки:
−
< (3.7)
Неравенство (3.7) может быть записано в виде двойного неравенства:
−
< <
+
Нахождение интервала (
−
,
+), за пределы которого не выходит
оцениваемый параметр , и является задачей интервальной оценки.
Определение. Интервальной называется оценка, которая определяется
двумя числами – концами интервала
−
и
+.
Длина интервала равна
2
, середина интервала равна
.
Так как
является случайной величиной и изменяется от выборки к
выборке, указать границы интервала можно только с некоторой
вероятностью
,
которая называется доверительной вероятностью (или
надежностью), а сам интервал
(
−
,
+)
называется доверительным
интервалом.
Итак: найти интервальную оценку для параметра означает указать
границы доверительного интервала, в который этот параметр попадает с
заданной доверительной вероятностью
:
)(
−=P
. (3.8)
Чем больше требуемая надежность оценки и меньше объем выборки n,
тем шире оказывается доверительный интервал.
Трудность получения интервальной оценки состоит в том, что
распределение случайной величины
зависит от распределения исходной
случайной величины X и от ее параметров, которые заранее неизвестны.
Наиболее просто задача решается в случае, когда случайная величина Х
имеет нормальное распределение.
45
3.4. Интервальная оценка математического ожидания нормально
распределенной случайной величины при известной дисперсии
Пусть из генеральной совокупности случайной величины X, имеющей
нормальное распределение с математическим ожиданием a и известной
дисперсией
2
извлечена выборка объема n:
n
xxx ,...,,
21
. По выборке найдено
выборочное среднее
в
x
Требуется найти интервальную оценку для математического ожидания a.
Ввиду независимости выборочных значений
n
xxx ,...,,
21
, имеющих
одинаковые
математические ожидания a и дисперсии
2
, получаем для
математического ожидания и дисперсии выборочного среднего:
ax
n
MxM
n
i
iв
=
=
=1
1
)(
n
n
Dn
xD
n
x
n
DxD
n
i
i
n
i
iв
2
2
1
2
1
)(
11
)(
===
=
==
(3.9)
Потребуем, чтобы выполнялось неравенство с заданной надежностью :
)(
−= а
в
xP
(3.10)
Для нормально распределенной величины выборочного среднего
вероятность попадания в симметричный интервал относительно
математического ожидания определяется по формуле (с учетом 3.9):
)(2)(2)(2)( tФ
n
Ф
в
Фа
в
xаP
===+−=
,
γнадежностизаданнойприоценкитьточно
Лапласафункциидлятаблицыизнаходится
;
2
)(,Лапласафункция)(
с
n
t
n
t
tФtФ
−=
=
=−
Окончательно:
=+−=+− )()(
n
t
в
ха
n
t
в
хP
в
ха
в
хP
46
Итак, с доверительной вероятностью (надежностью)
можно
утверждать, что доверительный интервал
),(
n
t
х
n
t
х
вв
+−
покрывает
оцениваемое математическое ожидание.
Пример 3.3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с
известным
3=
. Найти доверительные границы для неизвестного
математического ожидания с надежностью
95,0=
. Выборочное среднее
.36;1,4 == n
в
х
Решение. Находим
2
)(=tФ
=0,475; по таблице 1 для функции Лапласа
находим t=1,96
По формуле
n
t
=
вычисляем точность оценки
98,0
36
396.1=
=
Таким образом, 4,1-0,98 < а <4,1+0,98, 3,12< а<5,08
Ответ: с вероятностью
95,0=
можно утверждать, что математическое
ожидание заключено в интервале (3,12; 5,08)
3.5. Интервальная оценка дисперсии нормально распределенной
случайной величины. Распределение Пирсона
Пусть по выборке объема n:
n
xxx ,...,,
21
из генеральной совокупности
нормально распределенной случайной величины Х найдено выборочное
среднее
в
x
и «исправленное» выборочное среднее квадратическое
отклонение :
вв
D
nn1~−
=
.
Требуется найти доверительный интервал для «истинного» среднего
квадратического отклонения с заданной надежностью .
Получим его из требования:
)
~
(
−=вP
(3.11)
Введем в рассмотрение случайную величину «хи»:
1~−= n
в
47
Квадрат этой величины имеет распределение Пирсона («хи-квадрат»),
функция распределения которой
)(
2
m
F
зависит от числа m = n-1 (число
степеней свободы).
Можно показать, что неравенство в (3.10) равносильно двум другим:
21
2
2
2
2
1
1
~~
−+− n
в
вв
,
Отсюда доверительный интервал для определяется неравенством:
1
~
1
~
12
−− nn
вв
,
а для дисперсии D неравенством:
)1(
~
)1(
~
2
1
2
2
2
2
−− nDn
вв
Числа
2
1
и
2
2
являются квантилями порядков
2
1
1
−
=
и
2
1
2
+
=
распределения «хи-квадрат» со степенью свободы m=n-1 , которые берутся
из таблицы. Они удовлетворяют уравнениям:
2
1
)()(;
2
1
)()(
2
1
22
1
2
2
22
2
−
==
+
== PFPF
.
Пример 3.4. Для выборки объема n=35 нормально распределенной
случайной величины Х найдено «исправленное» среднее квадратическое
отклонение
в
~
=3. Найти его интервальную оценку с надежностью
95,0=
.
Решение. m=n-1=35-1=34;
2
1
1
−
=
=0,025;
2
1
2
+
=
=0,975
По таблице для квантилей распределения «хи-квадрат»
2
1
=
)34(
2
025,0
=51,966,
2
1
=
)34(
2
975,0
=19,806.
34
806,19
3
34
966,51
3
Ответ: доверительный интервал для среднего квадратического
отклонения : (2,43; 3,93)
48
Таблица 1 – Значения функции Лапласа
49
Таблица 2 – Значения функции Гаусса
50
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что называется случайным событием?
2. Какие события являются достоверными и какие невозможными?
3. Какие события называются несовместными?
4. Как определяется сумма событий?
5. Как определяется произведение событий?
6. Какие события образуют полную группу?
7. Как формулируется правило сложения в комбинаторике?
8. Как формулируется правило произведения в комбинаторике?
9. Что такое перестановка?
10. Что такое размещение?
11. Что такое сочетание?
12. Как формулируется классическое определение вероятности?
13. Что такое статистическая вероятность?
14. Что такое геометрическая вероятность?
15. Как формулируется теорема сложения вероятностей?
16. Какие события называются независимыми?
17. Как формулируется теорема умножения вероятностей?
18. Как формулируется теорема полной вероятности?
19. Что позволяет найти теорема Бейеса?
20. В чем заключается смысл схемы независимых испытаний?
21. Как формулируется формула Бернулли?
22. Когда справедлива формула Пуассона?
23. Какие случайные величины называются дискретными?
24. Что такое ряд и многоугольник распределения?
25. Какие случайные величины называются непрерывными?
26. Как определяются математическое ожидание и дисперсия
случайной величины?
27. Какими свойствами обладают математическое ожидание и дисперсия
случайной величины?
28. Как определяется среднее квадратическое отклонение?
29. Что такое биномиальное распределение случайной величины?
30. Что такое плотность распределения случайной величины?
31. Как задается равномерное распределение?
32. Как задается показательное распределение?
33. Как задается нормальное распределение?
34. В чем заключается «правило трех сигм»?
35. Что такое коэффициент корреляции?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]