Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
( ) ( )
−
=
x
dxxfxF
Функция
)(xf
(или
)(xp
) называется плотностью распределения
вероятностей, а F(x) – функцией распределения вероятностей непрерывной
случайной величины (НСВ). Они обладают следующими свойствами:
;1)(0);()()( −== xFxXPxXPxF
1)(,0)( =+=− FF
.
( )
( )
−
−
== 1)(;0)(; dxxfxf
xd
xFd
xf
условие нормировки.
Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения
)(xf
математическое ожидание определяется равенством
( ) ( )
−
= dxxfxX
Cправедливо также равенство
( )
( )
( )
2
2
)( XXXD −=
,
из которого следуют формулы, удобные для вычисления дисперсии
дискретных и непрерывных случайных величин:
( )
=
−=
1
2
)(
2
)(
i
X
i
PxXD
Вероятность попадания НСВ в интервал (а,b) вычисляется по формулам:
−==
b
a
aFbFdxxfbXaP )()()()(
Пример 1. 25. Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое
ожидание и дисперсию случайной величины.
( )
2
0, 1,
( ) 1 , 1 2,
1, 2.
x
F x x x
x
= −
Решение. Плотность распределения вероятностей случайной величины X:
22
−
=
=
1,0
21),1(2
1,0
)()(
x
xx
x
xFxf
Математическое ожидание случайной величины X равно:
−
=−=−=−==
2
1
2
1
2
1
23
2
3
5
)
23
(2)(2)1(2)(
xx
dxxxdxxxdxxfxm
x
Дисперсия случайной величины Х равна:
.
18
1
9
25
6
17
)
3
5
()1(2)(
2222
2
1
=−=−−=−=
−
dxxxmdxxfxD
xx
Пример 1.26. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины выражается формулой:
4
, 1,
()
0, 1.
c
x
fx
x
x
=
Найти: а) неизвестный параметр с; б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины;
г) построить графики функций
( ), ( )f x F x
.
Решение. а) Параметр с найдем из условия нормировки:
31
3
)
3
1
0()
1
(;1)(
1
1
34
===+=−==
−
c
c
c
x
cdx
x
c
dxxf
( ) ( )
→
−
+ +−=−+=
=
−
=
x
dx x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dxxfxFб
,1
0 1,1
3
1
)
3
1
(0
4
3
1,0
)
1
1
1
.
4
3
4
9
30
4
93
4
9
3)
2
3
(
3
)(
;
2
3
2
3
0
2
333
)()
1
1
2
2
1
4
2
2
1
2
1
3
1
2
4
=−+=−−=−=−=−=
=+=−====
−
−
x
x
dx
dx
x
x
mdxxfxD
x
dx
x
dx
x
x
dxxfx
x
mв
xx
23
Графики плотности и функции распределения имеют вид: (рис. 1.5 и
рис. 1.6)
f(x) F(x)
г) 3 1
0 1 x 0 1
Рис. 1.5 – Плотность распределения Рис. 1.6 – Функция распределения
Равномерное распределение. Плотность и функция распределения
задаются на отрезке [a, b] равенствами:
( )
−
=
bx
bxa
ab
ax
xf
,0
,
1
,0
( )
−
−
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,1
,
,0
где
( )
− ;b,a
– параметры, a < b.
Для равномерного распределения математическое ожидание и дисперсия
равны:
( )
12
2
,
2
ab
x
D
ba
x
m
−
=
+
=
Для равномерного закона графики плотности и функции распределения
имеют вид (рис. 1.7 и рис. 1.8, соответственно):
Рис. 1.7 – Плотность распределения Рис. 1.8 – Функция
распределения
Показательное (экспоненциальное) распределение.
Плотность и функция показательного распределения таковы:
24
( )
=
−
0,0
0,
0,0
x
xe
x
xf
x
( )
−
=
−
0,1
0,0xex
xF
x
, где
( )
;0
– параметр.
Для показательного распределения математическое ожидание и дисперсия
равны:
2
1
,
1
==
xx
Dm
Графики плотности и функции распределения показательного показаны на
рис. 1.9 и рис. 1.10, соответственно:
Рис. 1.9 – Плотность распределения Рис. 1.10 – Функция
распределения
1.8. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа
Наиболее часто на практике встречается нормальное распределение с
параметрами a, .
Плотность распределения, функция распределения, математическое
ожидание и дисперсия для нормального распределения даются равенствами:
( )
( )
2
2
2
2
1
ax
exf
−
−
=
2
,
==
x
Da
x
m
( )
( )
−
+==
−
−
−
ax
dtexF
x
ax
0
2
2
1
2
1
2
2
,
где
−
=
−
x
t
dte
ax
0
2
0
2
2
1
– функция Лапласа (рис. 1.12)
При а =0 и =1 нормальное распределение называется стандартным:
функция Гаусса (рис. 1.11),
)()( xx=−
25
Рис. 1.11 – Функция Гаусса
Рис. 1.12 – Функция Лапласа
Вероятность попадания в интервал
),(
случайной величины,
распределенной по нормальному закону:
= )(
XP
−
a
0
-
−
a
0
. Значения
( )
x
и
)(x
берутся из таблиц
(таблицы 1 и 2 в данном пособии).
( ) ( )
5,03; −=−
о
Фxприxx
.
Пример 1.26. Известны математическое ожидание а = 5 и среднее
квадратическое отклонение
4=
нормально распределенной случайной
величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в интервал
( )
1;6
.
Решение.
= )(
XP
−
a
0
-
.6,1,
0
==
−
a
.44,0341,0099,0
)1()25,0()1(
4
1
4
51
4
56
)61(
+
+=−−
=
−
−
−
=
оооo
ФФФФoФoФXP
Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины
от своего математического ожидания на величину x0 равна:
)(2)()(
)()())(
0
0
0
0
0
0
00000
x
Ф
x
Ф
x
Ф
xaXxaPxaXxPxaxP
=−−=
=+−=−−=−
26
998,0)3(23( =−
o
ФaxP
– вероятность отклонения нормально
распределенной случайной величины от своего математического ожидания
не более чем на
3
близка к 1: «правило трех сигм».
1.9. Системы случайных величин. Корреляция
Пусть
),( YX
– двумерная случайная величина, причем
X
принимает
значения
m
xx ,,1
, Y – значения
k
y,,y
1
,
11 k,m
и пусть
kjmi
j
yY
i
xXP
ji
P ,,1;,,1,, =====
Тогда для одномерных законов распределения справедливы формулы
,
1=
===
k
j
ij
P
i
xXP
i
P
=
===
m
i
ijjj
PyYPP
1
Для двумерной непрерывной случайной величины
),( YX
одномерные
плотности вероятности случайных величин
1
и
2
могут быть найдены по
формулам
( ) ( ) ( ) ( )
dxyxfyfdyyxfxf
−
−
== ,,,
21
Для двумерной случайной величины
),( YX
корреляционный момент
определяется равенством
( )
( )
y
mY
x
mX
xy
K −−=
а коэффициент корреляции равенством
,11, −=
xy
yx
xy
xy
r
K
r
где
yyxx
DD ==
,
– средние квадратические отклонения случайных
величин
YX,
.
Вычислить
xy
K
для дискретных случайных величин
YX,
можно по
формулам
,
1 1
yx
min
j
jijixy
mmPyxK −=
= =
где
mix
i
,,1, =
– значения
kjyX
j
,,1,; =
– значения
Y
.
Для непрерывных
YX,
справедлива формула
( )
.,
yxxy
mmdxyxfxyK −=
−
−
27
ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
2.1. Основные понятия случайных процессов. Основные характеристики
непрерывных случайных процессов и их свойства
Случайным процессом (случайной функцией)
)(tX
называется функция
неслучайного аргумента t, значения которой для любого фиксированного
значения
t
являются случайными величинами. В отличие от
детерминированных процессов, течение которых определено единственным
образом, случайный процесс описывает изменения во времени (или в
пространстве) физической системы, которые заранее предсказать нельзя.
Хорошо известными примерами случайных процессов являются:
броуновское движение частицы, взвешенной в однородной жидкости или
газе, случайные ошибки измерения непрерывно изменяющихся величин, а
также флюктуационные шумы в радиотехнических устройствах (помехи),
присутствие которых приводит к тому, что реальные электрические сигналы
являются, как правило, случайными функциями времени. Примерами
случайных функций, аргументом которых является не время, а
пространственная переменная, могут быть: характеристика прочности
неоднородного стержня в зависимости от его длины, высота профиля
шероховатой поверхности вдоль выбранного направления, скорость ветра
над заданной точкой земной поверхности как функция высоты и т.д. Без
нарушения общности аргумент случайной функции обычно называют
временем и обозначают t.
Пусть для изучения какой-либо физической закономерности,
описываемой случайной функцией
)(tX
, произведено n опытов. В каждом
i
-том опыте будет получена вполне определенная, то есть неслучайная
функция
)(tx
i
, называемая реализацией случайного процесса
)(tX
.
Совокупность всех реализаций
)(),...,(),(
21
txtxtx
n
образует так называемое
“семейство” (или “пучок”) кривых, статистические свойства которого и
определяют свойства изучаемого процесса
)(tX
.
Если аргумент t может принимать любые значения на заданном
интервале (конечном или бесконечном), а реализации
)(tx
i
– непрерывные
функции времени, то
)(tX
называют непрерывным случайным процессом в
непрерывном времени (или просто непрерывным случайным процессом).
Если же при непрерывном t значения
)(tX
дискретны,
)(tX
называют
дискретным случайным процессом.
28
Рис. 2.1 – Реализация непрерывного процесса
На рис. 2.1 и рис. 2.2 приведены примеры реализаций непрерывного и
дискретного случайных процессов в непрерывном времени, соответственно.
Рис. 2.2 – Реализация дискретного процесса
В случае, когда аргумент
t
может принимать только определенные
дискретные значения
,...,...,,
21 k
ttt
, а значения
)(tX
могут быть любыми,
случайный процесс представляет собой случайную последовательность
этих значений
)(1tX,),..,(2tX
),...(ktX
. Такую последовательность образуют,
например, координаты броуновской частицы в дискретные моменты времени
tkt
k
=
, кратные t.
Если значения случайной последовательности образуют лишь
дискретное множество, то реализуется дискретная случайная
последовательность. Примером дискретной случайной последовательности
является простая цепь Маркова, которая представляет собой такую
последовательность состояний системы, в которой вероятность перехода в
одно из возможных состояний в момент времени
k
t
зависит только от
предшествующего состояния в момент времени
1−k
t
и не зависит от того,
какие состояния принимались в моменты
22,1
,...,,
−k
ttt
.
Особым классом случайных процессов являются так называемые
элементарные (квазидетерминированные) случайные функции, для которых
зависимость от t задана неслучайной функцией S, содержащей один или
несколько случайных параметров
21
,
,… , не зависящих от времени:
,...),;()(
21
tStX =
Рассмотрим основные закономерности, присущие непрерывным процессам
в непрерывном времени, далее именуемыми просто случайными процессами
(или случайными функциями).
29
2.2. Законы распределения и числовые характеристики случайных
процессов
Пусть в результате n независимых опытов получено n реализаций
случайного процесса
)(tX
, которые представлены на рис. 2.3 в виде
семейства кривых
)(),...,(),(
21
txtxtx
n
.
Каждая из них является неслучайной (детерминированной) функцией
аргумента t. Но если зафиксировать значение аргумента, например, в точке
1
tt =
, случайная функция
)(tX
становится случайной величиной
)(11tXX =
,
значения которой равны
)(),...,(),(
11211
txtxtx
n
. Случайная величина
1
X
называется сечением случайного процесса
)(tX
в момент времени
1
t
. Она
полностью характеризуется своим одномерным законом распределения, то
есть функцией распределения
})({);(
1111
xtXPtxF =
и плотностью
распределения
1
11
11
);(
);(
x
txF
txf
=
, зависящими от
1
t
как от параметра.
Рис. 2.3 – Семейство реализаций непрерывного случайного процесса
Знание одномерного закона распределения для сечения случайного
процесса позволяет определить такие важные для практики числовые
характеристики, как математическое ожидание
)]([1tXM
и дисперсию
)(1tXD
случайного процесса
)(tX
для рассматриваемого момента времени
1
t
. При этом, поскольку момент времени
1
t
выбран произвольно, индекс 1
можно опустить и записать:
dxtxfxtmtXM
x
);()()]([
−
==
(2.1)
−
−=−== dxtxftmtXtmtXMtDtXD
xxx
);()]()([)]()([)()]([
22
(2.2)
Таким образом, математическое ожидание
)(tm
x
и дисперсия
)(tD
x
случайного процесса
)(tX
являются не числами, а функциями
30
неслучайного аргумента
t
. При этом математическое ожидание
)(tm
x
представляет собой некоторую среднюю линию для пучка всех возможных
реализаций случайного процесса (на рис. 2.3 она выделена пунктирной
линией), а дисперсия
)(tD
x
характеризует разброс реализаций относительно
средней линии
)(tm
x
.
Среднее квадратическое отклонение
)(t
x
, получаемое по формуле
)()( tDtxx=
, (2.3)
также является функцией аргумента t.
Для того чтобы учесть связь между значениями процесса
)(tX
в различные
моменты времени
1
t
и
2
t
, необходимо знание двумерной плотности
совместного распределения двух его сечений
)(),(
2211
tXXtXX ==
),;,(
2121
ttxxf
, которая позволяет определить корреляционный момент для
системы случайных величин
21
, XX
по известной формуле теории
вероятностей:
212121221121
),;,())())(((),(
21
dxdxttxxftmxtmxttK
xxXX
−
−
−−=
(2.4)
Таким образом, корреляционный момент сечений случайного процесса
зависит от значений аргумента
1
t
и
2
t
, то есть является неслучайной
функцией двух переменных. Эта функция называется корреляционной
функцией (иногда автокорреляционной функцией) случайного процесса
)(tX
и обозначается
),(21ttK
x
(рис.2.4).
Формула (2.4) может быть записана в виде:
=−−= )()()()()()(),(
21221121
tXtXMtmtXtmtXMttK
xxx
, (2.5)
где
)()()(),()()(
222111
tmtXtXtmtXtX
xx
−=−=
– центрированные сечения
случайного процесса
)(tX
для моментов
1
t
и
2
t
.
При
ttt ==
21
получаем:
)()()(),(
2
tDtmtXMttK
xxx
=
−=
, (2.6)
то есть корреляционная функция обращается в дисперсию случайного
процесса. Таким образом, понятие корреляционной функции включает в себя
и понятие дисперсии.
Основными свойствами корреляционной функции являются:
1.
),(),(
1221
ttKttK
xx
=
- свойство симметрии относительно своих
аргументов
2.
),(),(),( ttKttKttK
xxx
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]