Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Теория автоматического управления» дл
.pdf
Для построения амплитудно-фазовой частотной характеристики в декар-
.
jj258,0j01992,0j000476,0
15
)j(W
234
p
.
01992,0j258,0000476,0
15
j258,0j01992,0000476,0
15
)j(W
324
234
p
.
01992,0258,0000476,0
01992,0j15258,0000476,015
01992,0j258,0000476,0
01992,0j15258,0000476,015
01992,0j258,0000476,0
01992,0j258,0000476,0
01992,0j258,0000476,0
15
)j(W
2
3
2
24
324
2
32
2
24
324
324
324
324
p
;
01992,0258,0000476,0
258,0000476,015
U
2
3
2
24
24
.
01992,0258,0000476,0
01992,0j15
V
2
3
2
24
3
товых координатах требуется найти вещественную Р(ω) и мнимую Q(ω) частотные характеристики. ВЧХ Р(ω) находится как вещественная часть комплексной передаточной функции Wp(jω), полученной в результате подстановки
jω вместо s в выражении для передаточной функции Wр(s). МЧХ находится как
мнимая часть комплексной передаточной функции. Комплексная передаточная
функция будет иметь вид:
Учитывая, что j2= –1, j3= j, j
4
= 1, выделим в знаменателе действительную
и мнимую части.
Чтобы выделить вещественную и мнимую частотные характеристики,
нужно числитель и знаменатель комплексной частотной функции Wр(jω) умно-
жить на выражение комплексно сопряженное со знаменателем (обладающее
той же действительной частью, но имеющее мнимую часть противоположного
знака).
Тогда ВЧХ и МЧХ будут иметь вид:
41
Для построения АФЧХ необходимо, прежде всего, определить следую-
ω
0
7,085
23,28
∞
V(ω)
– ∞
0
0,0658
0
U(ω)
– ∞
– 1,28
0
0
щие значения U(ω) и V(ω): U(0) и V(0); V(∞) и U(∞); U(ωi) для значений ω
, при
i
которых V(ωi)=0; U(ωj) для значений ωj, при которых V(ωj)=0, то есть точки пересечения годографом АФЧХ координатных осей и последовательность этих
пересечений. Результаты расчетов для рассматриваемой системы представлены
в таблице 1.
На основании произведенных расчетов строится АФЧХ разомкнутой си-
стемы, которая представлена на рис. 21.
Таблица 1
Результаты расчетов
Рис. 21. АФЧХ разомкнутой системы
4. По критерию Найквиста можно сделать вывод: поскольку АФЧХ разо-
мкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса R охватывает точку (-1, j0), то замкнутая система будет неустойчива.
5. Для обеспечения устойчивости САУ в нее вводят корректирующее
устройство. Простейшим способом коррекции является использование пропор-
ционального звена с коэффициентом передачи kky<1. Его значение должно быть
таким, чтобы исследуемая система была устойчива, а запас устойчивости по
амплитуде изменялся в пределах от 6 до 20 дБ, а запас по фазе — от 30° до 60°.
Таким образом, в рассматриваемую систему последовательно вводится
пропорциональное звено с передаточным отношением равным kky=0,3.
Общее передаточное отношение разомкнутой системы при этом будет
равно:
42
,
ss258,0s01992,0s000476,0
5,4
ssTTTsTTTTTTsTTT
kkkk
)s(W
234
2
321
3
323121
4
321
ky321
p
;
01992,0258,0000476,0
258,0000476,05,4
U
2
3
2
24
24
.
01992,0258,0000476,0
01992,0j5,4
V
2
3
2
24
3
ω
0
7,085
23,28
∞
V(ω)
– ∞
0
0,01974
0
U(ω)
– ∞
– 0,384
0
0
а ВЧХ и МЧХ соответственно будут иметь вид:
Таблица 2
Результаты расчетов
Рис. 22. АФЧХ разомкнутой системы
По критерию Найквиста для скорректированной системы можно сделать
вывод: поскольку АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно
большого радиуса R неохватывает точку (-1, j0), то замкнутая система будет
устойчива.
43
6. Определим запас устойчивости скорректированной системы.
31,8384,0lg20L
.
5,4ss258,0s01992,0s000476,0
5,4
kkkkssTTTsTTTTTTsTTT
kkkk
)s(W
234
ky321
2
321
3
323121
4
321
ky321
Z
.05,4ss258,0s01992,0s000476,0sH
234
5,4258,0000476,00
0101992,00
05,4258,0000476,0
00101992,0
11992,00
5,4258,000476,0
0101992,0
1
258,000476,0
101992,0
3
01992,04
Запас устойчивости по амплитуде по модулю равен:
дБ.
Запас устойчивости по фазе определяется нахождением угла между прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ и единичной окружности и
отрицательной вещественной осью. При измерении запас устойчивости равен
γ=37°.
7. Проверим устойчивость САУ с помощью критерия Гурвица.
Передаточное отношение системы будет иметь вид:
Для определения устойчивости рассматриваемой системы по Гурвицу
необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить опре-
делитель n-го порядка.
Характеристическое уравнение:
Определители Гурвица будут иметь следующий вид:
,
,
,
.
Согласно критерию устойчивости Гурвица, поскольку все определители
Гурвица больше нуля (Δ=0,0129, Δ2=0,0029, Δ3=0,0047, Δ
то рассматриваемая система устойчива.
44
=0,01992 ), при a0>0,
4
7*. Определим устойчивость системы по критерию Михайлова.
324
234
01992,0j5,4258,0000476,0
5,4jj258,0j01992,0j000476,0jH
5,4258,0000476,0Re
24
3
01992,0Im
ω 0 3 5 10
20
100
Re
4,5
2,2166
–1,6525
–16,54
–22,54
45015,5
Im
0
2,4622
2,5100
–9,920
–139,36
–19820
Для этого из характеристического уравнения системы выделим действи-
тельную и мнимую части.
Таким образом, действительная часть равна:
.
Мнимая часть равна:
.
На основании данных уравнений строим годограф Михайлова при соот-
ветствующем изменении частоты ω. Результаты расчетов представлены
в таблице 3.
Таблица 3
Результаты расчетов
Годограф Михайлова, построенный по результатам расчетов, представлен
на рис. 23. Данный график является условным, поскольку масштаб соблюдался
только для первых четырех значений частоты. Однако расположение точки пересечения действительной и мнимой частей при частоте ω=100 позволяет говорить, что система будет уходить в бесконечность в 4 квадранте, что совпадает с
высшей степенью характеристического уравнения. Поскольку последовательность прохождения квадрантов не нарушена, а кривая начинается на положительной действительной полуоси и идет в положительном направлении, рас-
сматриваемая система будет устойчивой.
45
Рис. 23. Кривая Михайлова
Решение c применением программы MATLAB
1. Найдем передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии.
Система является одноконтурной, значит, разомкнутая цепь состоит из
трех последовательно соединенных звеньев, а общее передаточное отношение
такой системы будет вычисляться следующим образом:
% введем значения передаточных функций W1, W2, W3
>>W1=tf([5], [0.068 1]);
>>W2=tf([3], [0.14 1 0]);
>>W3=tf([1], [0.05 1]);
% находим общее передаточное отношение разомкнутой системы
>>Wp=W1*W2*W3
% результат расчета
Wp =
15
----------------------------------------------------------
0.000476 s^4 + 0.01992 s^3 + 0.258 s^2 + s
2. Оцениваем устойчивость корней характеристического уравнения по
расположению корней характеристического уравнения:
Процедура нахождения расположения корней на комплексной плоскости
в MATLAB будет иметь вид:
% определяем расположение корней на комплексной плоскости
>>pzmap(Wp), grid
46
Рис. 24. Расположение корней разомкнутой системы
на комплексной плоскости
Таким образом, имеется три отрицательных корня и один нулей корень.
Это означает, что разомкнутая система находится на границе устойчивости.
3. Построим АФЧХ разомкнутой системы.
Процедура построения АФЧХ в MATLAB будет иметь вид:
% определяем АФЧХ разомкнутой системы
>>nyquist(Wp)
График представлен на рис. 25.
47
Рис. 25. АФЧХ разомкнутой системы
4. Согласно критерию Найквиста: поскольку АФЧХ разомкнутой систе-
мы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса R охватывает точку
(-1, j0), то замкнутая система будет неустойчива.
5. Для обеспечения устойчивости САУ в нее вводят корректирующее
устройство. Простейшим способом коррекции является использование пропор-
ционального звена с коэффициентом передачи k
<1. Его значение должно быть
ky
таким, чтобы исследуемая система была устойчива, а запас устойчивости по
амплитуде изменялся в пределах от 6 до 20 дБ, а запас по фазе — от 30° до 60°.
Таким образом, в рассматриваемую систему последовательно вводится
пропорциональное звено с передаточным отношением равным kky=0,3.
Процедура нахождения общего передаточного отношения разомкнутой
системы при этом будет иметь вид:
% вводим передаточную функцию пропорционального звена
>>Wky=tf([0.3], [1]);
% определяем передаточное отношение системы в разомкнутом состоянии
>>Wp=W1*W2*W3*Wky
% результат расчета
48
Wp =
4.5
---------------------------------------------------------
0.000476 s^4 + 0.01992 s^3 + 0.258 s^2 + s
% определяем АФЧХ разомкнутой системы
>>nyquist(Wp)
Рис. 26. АФЧХ разомкнутой системы
По критерию Найквиста для скорректированной системы можно сделать
вывод: поскольку АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно
большого радиуса R неохватывает точку (-1, j0), то замкнутая система будет
устойчива.
6. Определим запас устойчивости скорректированной системы.
Процедура определения запаса устойчивости в MATLAB будет
иметь вид:
>> margin(Wp)
График представлен на рис. 26.
49
7. Проверим устойчивость САУ с помощью критерия Гурвица.
Процедура проверки устойчивости в MATLAB будет иметь вид:
% определяем общее передаточное отношение замкнутой системы
>> Wz=feedback(Wp, 1)
Wz =
4.5
------------------------------------------------------------------
0.000476 s^4 + 0.01992 s^3 + 0.258 s^2 + s + 4.5
Рис. 27. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ
% вводим определители Гурвица и находим их значения
>> A1=[0.01992 1 0 0; 0.000476 0.258 4.5 0; 0 0.01992 1 0; 0 0.000476 0.258 4.5]
A1 =
0.0199 1.0000 0 0
0.0005 0.2580 4.5000 0
0 0.0199 1.0000 0
0 0.0005 0.2580 4.5000
>> R1=det(A1)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]