Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Теория автоматического управления» дл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Многоконтурная система имеет перекрестные связи, если она содержит

 

tgbsb...sbsbtyasa...sasa

m1m

0n1n





 

asa...sasa

bsb...sbsb

n1n

m1m







два контура, которые имеют общий участок, и при этом ни один из них не вло-

жен внутрь другого (рис. 11).

Рис. 11. Многоконтурная система с перекрестными связями

Порядок вычисления передаточной функции следующий:

1) путем переноса узлов и сумматоров освободиться от перекрестных свя-

зей, если таковые имеются;

2) используя правила преобразования последовательных, параллельных и

обратных соединений, преобразовать рассматриваемую систему и определить

искомую передаточную функцию.

При преобразовании структурной схемы нужно позаботиться о том, чтобы не исчезли точки съема переменных, относительно которых ищутся передаточные функции, или чтобы эти точки не оказались на неэквивалентном участ-

ке (т.е. не следует переносить сумматор через эти точки).

Понятие частотных характеристик

Важную роль при исследовании линейных стационарных систем играют частотные характеристики. Они представляют собой еще один способ описания

систем.

В общем случае уравнение линейной системы с одним входом можно за-

писать в виде:

(1)

Ее передаточная функция:

Функцию W(jω), которая получается из передаточной функции в изображениях Лапласа при подстановке jω:

(2)

 

     

aja...jaja

bjb...jbjb

n1n

m1m











(3)

       

,eAjVUjW

)(j







     

,VUA





   

.jWarg





 

jWarg







 

   

arctgjWarg)(







называют частотной передаточной функцией. Она является комплекснозначной функцией от действительной переменной ω, называемой частотой.

Частотную передаточную функцию можно представить в виде

где

Если

то

На комплексной плоскости частотная передаточная функция W(jω) определяет вектор ОС (рис. 12), длина которого равна А(ω), а аргумент равен углу φ(ω), образованному этим вектором с положительной действительной полуосью.

Годограф этого вектора, т.е. кривую, описываемую концом вектора W(joj) при изменении частоты от 0 до ∞ или от –∞ до +∞, называют амплитудно- фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). АФЧХ, получаемую при изменении частоты от –∞ до +∞, также называют диаграммой Найквиста.

Рис. 12. Годограф вектора W(jω)

Модуль

   



jWA 

 



jWarg)( 

 



jWRe)(U 

 



jWIm)(V 

     



jWlg20Alg20L 

   





sWsW

     





WlgjWlg20L



называют амплитудной частотной функцией, ее

график — амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент

называют фазовой частотной функцией, а его

график (при изменении ω от 0 до ∞) — фазовой частотной характеристикой.

Частотную передаточную функцию W(jω) называют также амплитудно-

фазовой частотной функцией. Ее действительную

и мнимую

части называют соответственно вещественной и мнимой ча-

стотными функциями, а их графики — кривые зависимостей U=U(ω) и V=V(ω) называют соответственно вещественной и мнимой частотными характери-

стиками.

Кроме перечисленных частотных характеристик, имеются логарифмиче-

ские частотные характеристики (ЛЧХ) — логарифмические амплитудные ча-

стотные характеристики и логарифмические фазовые частотные характеристи-

ки.

Функцию

называют логарифмической ампли-

тудной (частотной) функцией, а график зависимости функции L(ω) от лога- рифма частоты lg(ω) называют логарифмической амплитудной частотной ха- рактеристикой (ЛАЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значение частоты в логарифмическом масштабе, при этом на отметке, соответствующей значению

lgω, записывают значение ω по оси ординат откладывают и записывают значе- ние L(ω) = 20lgA(ω).

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости функции φ(ω) от логарифма частоты lgω. При ее по-

строении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответ-

ствующей значению lgω, записывают значение ω.

В ЛЧХ единицей L(ω) является децибел, а единицей lgω декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что частота изменилась на одну декаду.

Построение логарифмических частотных характеристик.

Для построения логарифмической амплитудной (ЛАЧХ) и фазовой

(ЛФЧХ) частотной характеристик звена с произвольной дробно-рациональной передаточной функцией W(s) нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить W(s) в виде произведения передаточ-

ных функций элементарных звеньев:

Из этого соотношения получаем:

, (5)

     





jWargjWarg



. (6)

Из соотношения (5)–(6) следует, что для построения ЛАЧХ произвольно-

го звена достаточно построить ЛАЧХ элементарных звеньев, на которые оно разлагается, а затем их геометрически сложить. Однако для построения асимп-

тотических ЛАЧХ можно использовать другое правило.

Правило построения асимптотических ЛАЧХ.

1. Вычислить 20lgk и сопрягающие частоты ω

пронумеровать в порядке возрастания: ω1<ω

<...

=1/Тi, которые следует

2. На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости — точку (1, 20lgk). Построить первую асимптоту — прямую под наклоном — ν20дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной

плоскости. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте ω

3. Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой

асимптоты и проводится до второй сопрягающей частоты ω2. Его наклон изме-

няется на ±20 дБ/дек или ±40 дБ/дек в зависимости от того, обуславливается

элементарным множителем 1-го или 2-го порядка. Берется знак плюс, если

указанный множитель находится в числителе, и знак минус, если этот множи-

тель находится в знаменателе.

4. Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: i-я асимптота начинается с конца предыдущей, (i–1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты ω

i-1

Последняя асимптота представляет прямую, которая начинается с конца

асимптоты, заканчивающейся на последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.

Построение ЛФЧХ.

ЛФЧХ системы (звена) можно построить следующим образом: разложить числитель и знаменатель передаточной функции на элементарные множители и представить ее в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев, затем построить ЛФЧХ элементарных звеньев и в соответствии с форму-

лой ())() их геометрически сложить.

ЛФЧХ пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего зве-

ньев представляют собой прямые и строятся легко.

Форма ЛФЧХ апериодического и форсирующего звеньев не зависит от параметров и для построения можно воспользоваться шаблоном, так как ЛФЧХ апериодического звена получается из ЛФЧХ форсирующего звена зеркальным

отображением относительно оси частот. В зависимости от постоянной времени

Т они перемещаются вдоль оси абсцисс: при ω=1/Т фазовая частотная функция

форсирующего звена принимает значение π/4, а апериодического звена — значение –π/4.

Форма ЛФЧХ форсирующего звена 2-го порядка и колебательного звена зависит от коэффициента демпфирования ζ. Положение вдоль оси частот зависит от постоянной времени Т: при ω=1/Т фазовая частотная функция форсирующего звена 2-го порядка принимает значение π/2, а колебательного звена —

значение –π/2. ЛФЧХ колебательного звена получается из ЛФЧХ форсирующе-

го звена 2-го порядка зеркальным отображением относительно оси частот.

Понятие устойчивости

Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью

возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия иллю-

стрируется на рис. 13, а, на котором изображен шар, лежащий в некотором

углублении. При всяком отклонении его от положения равновесия он будет

стремиться возвратиться к нему точно (при отсутствии сил трения) или к неко-

торой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия

(при наличии сил трения). Такое положение шара будет устойчивым.

Рис. 13. Виды устойчивости

На рис. 13, б изображен другой случай, когда положение шара оказывается неустойчивым. Рис. 13, в соответствует случаю безразличного положения равновесия.

Можно ввести понятия о невозмущенном состоянии равновесия, соответствующем точке А

ка А

). После прекращения действия внешних сил шар возвратится в точку А

на рис. 13, а, и возмущенном состоянии равновесия (точ-

или A1. Условие устойчивости здесь можно сформулировать так: система назы-

вается устойчивой, если из возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, окружающую невозмущенное состояние равно-

весия.

Понятие устойчивости можно, распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координата-

ми х1(t), х2(t), ... , хn(t). Заданное движение системы определяется некоторым за-

     

tytyty

общчастн



     

tytyty

пв



t

коном изменения координат: х10(t), х20(t), ... , х

(t).

Аналогично случаю равновесия положения заданное движение можно

назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного:

х1(t) ≠ х10(t), х2(t) ≠ х

(t) и т. д. Это движение будет возмущенным.

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение

по истечении некоторого времени войдет в заданную область: |xi(t) — xi0(t)|≤ εi

(i=1, 2, ... , n).

Дифференциальное уравнение движения системы управления можно за-

писать и для возмущающего воздействия. В этом случае левая часть уравнения

(1) останется без изменения, а правая часть будет иметь иной вид. В общем ви-

де дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться не-

которая функция времени f(t).

Характер переходных процессов в системе определяется видом левой ча-

сти дифференциального уравнения (1). Поэтому для определения качественной

картины переходных процессов является практически безразличным, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущаю-

щего воздействия.

Уравнение (1) может с равным успехом быть записано для ошибки регулирования х(t). При этом левая часть уравнения (1) полностью сохраняет свой вид.

Процесс регулирования определяется решением дифференциального

уравнения как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (1) с правой частью и общего решения уравнения (1) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю:

(7)

В случае y

(t) = const это будет установившееся значение. Первое сла-

частн

гаемое (7) называют также вынужденным решением ув(t), а второе слагаемое — переходной составляющей у

(t). Тогда формула (7) может быть записана в виде:

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при

переходная составляющая будет стремиться к нулю: yп(t)→0. Найдем эту

(8)

составляющую из уравнения (1). Для этой цели необходимо решить дифферен-

0ya

a...

n1n





   

общп

Сetyty





Сe



0aa...aa

n1n







0asa...sasa

n1n





 

,eC...eCeCty

1п



циальное уравнение без правой части

. (9)

Общее решение ищется в виде

. (10)

Дифференцируя это выражение n раз и подставляя в уравнение (10), по-

лучаем после сокращения на общий множитель

. 1)

Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Корни его δ1, ... , δn будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть (11) полностью совпадает с левой частью (1). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (1) нулю:

. (12)

Однако здесь буква s = δ означает уже не символ дифференцирования, а

некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характери-

стического уравнения.

Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в виде:

(13)

где s1, ... , sn — корни характеристического уравнения, C1, ... , Cn — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (1). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса

определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального

уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линей-

ной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения





t

   

 









tsinAeeCeC

ttj

(1) и определяется только характеристическим уравнением (12).

Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была

устойчивой.

Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми.

Рассмотрим эти случаи.

1. Вещественный корень. Пусть один из корней, например р

вещественным. Если он отрицательный (s1= –α

), то слагаемое, определяемое

, является

этим корнем в уравнении (13), будет представлять собой экспоненту

Очевидно, что при

этот член будет затухать.

При s1= +α1 получится не затухающий, а расходящийся процесс (рис. 14, а).

ными. При отрицательной вещественной части два корня, например s1 и s2, будут иметь вид s ми в уравнении (6), могут быть представлены в виде

где А и ψ — новые постоянные интегрирования.

Рис. 14. Виды корней характеристического уравнения

2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряжен-

=–а±jβ. В этом случае слагаемые, определяемые этими корня-

1,2

, (14)

Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания,

 









tsinAeCeC

причем мнимая часть корня β представляет собой круговую частоту затухаю-

щих колебаний, а α — показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 14, б).

При положительной вещественной части s

=+а±jβ колебания будут не

1,2

затухающими, а расходящимися (рис. 14, в).

3. Чисто мнимые корни. В этом случае s1=+jβ и s2=–jβ. Слагаемое, опре-

деляемое этими корнями в уравнении (8), будет представлять собой незатуха-

ющие колебания, т. е. колебания с постоянной амплитудой:

. (15)

Такой процесс изображен на рис. 14, г.

Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характери-

стического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то пе-

реходный процесс в целом будет расходиться, т. е. система окажется неустой-

чивой.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек

на комплексной плоскости величины р.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким

образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней,

за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся

левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая

граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устой- чивости при наличии:

1) нулевого корня;

2) пары чисто мнимых корней;

3) бесконечного корня.

Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют от-

рицательные вещественные части.

В первом случае, вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, т. е. выполняется условие sk=0. Это озна-

чает, что в характеристическом уравнении (12) будет отсутствовать свободный член an=0. Дифференциальное уравнение (1) в этом случае может быть записа-

но в виде:

 

tgbsb...sbsbtysa...sasa

m1m

01n









420

531

a......00

...............

0...aa0

0...aaa





и система бу-

дет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее

скорости изменения sу. Величина же отклонения регулируемой величины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины.

На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной

амплитудой (рис. 14, г).

Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую, проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое

порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при а

в выражении (13) обращается в нуль, что соответствует понижению

=0. Гра-

ница устойчивости третьего типа встречается сравнительно редко.

Критерий Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Рау-

сом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием про-

цесса регулирования турбин.

Для определения устойчивости системы по критерию Гурвица из коэф-

фициентов характеристического полинома составляется определитель n-го порядка

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]