Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Теория автоматического управления» дл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

который строится следующим образом. На главной диагонали выписываются

а



аа





420

531

аа0

ааа





 

2njQarg





все коэффициенты по порядку от а

до а

. Затем при движении от этих элемен-

тов вверх размещаются коэффициенты в порядке возрастания индексов, при

движении вниз — в порядке убывания. Например, при построении i-го столбца, двигаясь от элемента a1 вверх, записывают коэффициенты а вниз записывают коэффициенты а

i-1

, а

, … При этом, если индекс превышает n

i-2

i+1

, а

, …, двигаясь

i+2

или принимает отрицательное значение, соответствующий коэффициент при-

нимают равным нулю.

Главные миноры определителя Δ

равные

, …, включая сам определитель Δn, называют определителями

Гурвица.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, при a0>0 были больше нуля.

Критерий Михайлова

Годограф характеристического вектора, т. е. кривую, которую описывает характеристический вектор при изменении частоты от 0 до ∞, называют кривой

Михайлова. При ап > 0 кривая Михайлова начинается в положительной веще- ственной полуоси.

Из принципа аргумента следует, что если все нули характеристического полинома левые, то приращение аргумента характеристического вектора есть

. Отсюда вытекает следующий критерий устойчивости.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при а

> 0 ее кривая Михайлова, начинаясь с положительной веще-

ственной полуоси, последовательно обходила п квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки).

Кривые Михайлова устойчивых систем не пересекают начало координат

и уходят в бесконечность в п-м квадранте (рис. 15).

   

,sW





Рис. 15. Кривые Михайлова устойчивых систем

Критерий Найквиста

При использовании алгебраических критериев и критерия Михайлова бы-

ло не важно, устойчивость каких систем — разомкнутых или замкнутых –

исследуется. Критерий Найквиста используется для исследования устойчивости

замкнутых систем. Он позволяет по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста (Nyqvist, 1932). Для того чтобы замкнутая система с

отрицательной обратной связью была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы охватывала точку (–1, j0) в положительном направлении l/2 раз, где

l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Здесь предполагается, что у характеристического уравнения разомкнутой

системы l корней являются правыми, а остальные п–l корней — левыми. Случай, когда имеются нейтральные корни, рассматривается отдельно.

мулируется следующим образом.

системы с отрицательной обратной связью необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (–1, j0).

разомкнутой системы имеет нулевые корни, т.е. ее передаточная функция мо-

жет быть представлена в виде

Когда разомкнутая система устойчива, l = 0 , и критерий Найквиста фор-

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой

Случай наличия нулевых корней. Если характеристическое уравнение

W0(0)=1, υ≥1,

то АФЧХ при ω→0 уходит в бесконечность. В этом случае АФЧХ дополняются дугой –υ(π/2) окружности бесконечно большого радиуса. И для устойчивости замкнутой системы дополненная АФЧХ должна l/2 раз охватывать или при l=0 (разомкнутая система устойчива) не охватывать точку (–1, j0).

Логарифмический частотный критерий устойчивости

В сложных случаях и для получения логарифмического частотного критерия устойчивости удобно воспользоваться другой формулировкой критерия

Найквиста.

Если АФЧХ охватывает точку (–1, j0), то она пересекает отрезок (–∞, –1)

вещественной оси. Точку пересечения АФЧХ с указанным отрезком называют положительным переходом, если пересечение происходит при возрастании частоты сверху вниз (т.е. в положительном направлении), и отрицательным пе-

реходом, если пересечение происходит снизу вверх (рис. 16, а). Если АФЧХ начинается или кончается на отрезке (–∞, –1), то говорят о ½ — переходе (рис. 16, а).

Критерий Найквиста. Для того чтобы замкнутая система управления

была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

При пересечении АФЧХ отрезка (–∞, –1) (рис. 15, б) амплитудная частотная функция A(ω) > 1 и соответственно L(ω) > 0, фазовая частотная функция φ(ω)=±(2k+1)π, (k=0, 1, 2 ...). Поэтому на логарифмических частотных характе- ристиках (ЛЧХ) положительным переходам соответствуют точки пересечения

логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) прямой

φ(ω)=±(2k+1), (k=0, 1, 2 ...) снизу вверх (в сторону возрастания φ(ω)), отрицательным переходам — сверху вниз при частотах, когда L(ω) > 0 (рис. 16, б). Поэтому на основании критерия Найквиста получаем следующий критерий устойчивости.

Рис. 16. Положительные и отрицательные переходы:

а — АФЧХ, б — ЛАЧХ и ЛФЧХ

Логарифмический частотный критерий устойчивости. Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами ЛФЧХ прямой φ(ω)=±(2k+1)π, (k=0, 1, 2 ...) при частотах, когда L(ω) > 0 (логарифмическая амплитудная частотная характеристика положительна), была равна l/2 ( l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Запас устойчивости

При определении устойчивости системы установления одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить степень удаленности системы от границы устойчивости или запас ее устойчивости. Дело в том, что при проектировании реальных САУ непременно приходится пренебрегать некото-

рыми факторами, влияющими на динамику системы.

Прежде всего при составлении дифференциальных уравнений исследуемой системы учитываются только основные свойства и характеристики элементов. Проводимая затем линеаризация еще сильнее уменьшает близость составленных уравнений к описываемому ими реальному процессу. Кроме того, при определении физических параметров системы (масс, моментов инерции, емко-

стей, постоянных времени и т.д.) из-за несовершенства измерительной аппара-

туры появляются определенные погрешности. Наконец, при изготовлении САУ

из-за технологических допусков на изготовление деталей, их сборку всегда

имеется случайный разброс значений параметров. Перечисленные обстоятельства могут привести к тому, что если по расчету система оказывается слишком близкой к границе устойчивости, то реальная система может быть просто не-

устойчивой.

Отсюда ясно, что после расчета нужно вводить некоторый запас устойчи-

    



180jWarg 



 

ср

jW1l





 

ср

180







llg20L 



вости, оценивая, таким образом, устойчивость системы не только с качествен-

ной, но и с количественной стороны.

Запас устойчивости — это количественная оценка того, насколько значе-

ния параметров системы или ее характеристики отстоят от границы, опасной с

точки зрения устойчивости.

В качестве меры запаса устойчивости обычно рассматриваются две величины: запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе, характе-

ризующие удаление точек кривой W(jω) от критической точки (–1; 0j).

Запас устойчивости по амплитуде l показывает, насколько необходимо изменить модуль амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы при частоте среза, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. За частоту среза разомкнутой системы принимают такую, при которой выполняется равенство А(ω)=ǀW(jω)ǀ=1.

Отсюда следует, что при частоте среза характеристика W(jω) пересекает

окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Если здесь ча-

стоту, соответствующую пересечению характеристики W(jω) с вещественной

отрицательной полуосью, когда выполняется равенство обозначить через ωср, то запас устойчивости по амплитуде

будет

определяться расстоянием от точки этого пересечения до точки с координатами

(–1; –j0) (см. рис. 17).

Запас устойчивости по фазе показывает, насколько необходимо увеличить фазу в разомкнутой системе при частоте среза, чтобы соответствующая ей замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяется углом между вектором W(jωcp) и отрицательной веществен- ной полуосью

(см. рис. 17).

Если частотная характеристика W(jω) огибает критическую точку слева и

справа, то запас устойчивости по модулю и по фазе задается двумя величинами:

±l, ±γ.

Запасы устойчивости также можно рассчитать и по логарифмическим частотным характеристикам. На ЛАЧХ запас устойчивости представляет собой отрезок, заключенный между осью абсцисс и ординатой ЛАЧХ при частоте, со-

ответствующей фазовому сдвигу φ=–π.

рактеристики над линией φ=–π при частоте среза ωср.

ляют по формуле:

Запас устойчивости по фазе на ЛФЧХ это угол превышения фазовой ха-

Обычно запас устойчивости по модулю выражают в децибелах и опреде-

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде

колеблется в пределах от 6 до 20 дБ, а по фазе — от 30° до 60°.

Рис. 17. Определению запаса устойчивости по модулю и по фазе

2. ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ В MATLAB

MATLAB обычно запускается из главного меню операционной системы Windows или активизацией ярлыка с логотипом системы на рабочем столе Windows. После запуска MATLAB на экране появляется основное окно системы MATLAB, показанное на рис. 18.

Рис. 18. Окно системы MATLAB после запуска

Вид окна системы MATLAB, выводимого изначально, вполне отвечает канонам современного интерфейса Windows-приложений. Пользовательский

интерфейс многооконный и имеет ряд средств прямого доступа к различным компонентам системы. В панели инструментов имеется меню просмотра фай-

ловой системы с кнопкой его открытия.

В правой части общего окна системы имеются окна доступа к компонентам системы Launch Pad/Workspace (Панель запуска/Рабочая область) и окно

Current Directory (текущей папки). Под ними расположено окно Command History, содержащее список выполненных команд.

Основным при работе с системой MATLAB является окно Command Window, состоящее из строки меню, панели инструментов, рабочей области и

полосы состояния.

В рабочей области окна Command Window находится строка ввода ко-

манд, отмеченная знаком >>, в котором можно вводить числа, имена переменных и знаки операций, составляющие в совокупности выражение. Имена переменных должны начинаться с буквы и состоять из букв, цифр и знаков препи-

нания. MATLAB распознает в именах переменных до 31 символа и различает

регистр символов. Простейшими знаками операций является знаки арифмети-

ческих операций + и –. Знак = соответствует операции присваивания. Нажатие клавиши Enter, является для MATLAB заданием выполнить введенную команду и отобразить полученный результат.

После отображения результата вычисления в команде окне создается но-

вая строка ввода команд, отмеченная знаком >>.

Для просмотра выполненных команд и результатов вычислений, не умещающихся в командном окне, имеются полосы горизонтальной и вертикальной прокрутки. Использование полос прокрутки ни чем не отличается от других

Windows-приложений. Также можно осуществлять прокрутку содержимого командного окна MATLAB с помощью следующих клавиш клавиатуры: Page Up,

Page Down, Ctrl+Home, Ctrl+End.

Клавиши управления курсором «↑» и «↓» используются для возврата в строку ввода ранее выполненных команд, каждая из которых перед ее выпол-

нением запоминается в стеке команд. Стек команд — это область оперативной

памяти ПК, отведенная для хранения выполненных в данном сеансе работы команд. При этом просмотр стека осуществляется с его конца, то есть последняя выполненная команда будет отображаться в строке команд первой. При нажатии на клавишу «↓» осуществляется прокрутка команд, расположенных в стеке,

в обратном направлении.

Командное окно MATLAB разделено на две принципиально различных зоны: зону просмотра и зону редактирования.

Исправление информации в зоне просмотра невозможно, несмотря на то, что в любую строку, находящуюся в данной зоне можно поместить курсор. Любая попытка редактирования текста, размещенного в зоне просмотра, приведет к автоматическому перемещению курсора в строку ввода, расположенную в зоне редактирования. В зоне просмотра можно с помощью мыши выделить любой фрагмент текста, затем скопировать его в буфер обмена операционной си-

стемы Windows, а затем вставить данный фрагмент в командную строку MATLAB или документ, созданный в каком-либо приложении, работающим под управлением операционной системы Windows.

Действительные и комплексные числа

Число — простейший объект языка MATLAB, представляющий количе-

ственные данные. Числа можно считать константами, имена которых совпадают с их значениями. Числа используются в общепринятом представлении о них. Они могут быть целыми, дробными, с фиксированной и плавающей точкой. Возможно представление чисел в хорошо известном научном формате с указанием мантиссы и порядка числа. Ниже приведены примеры представления

чисел:

3.14

145.456e-24

В мантиссе чисел целая часть отделяется от дробной не запятой, а точкой.

Для отделения порядка числа от мантиссы используется символ e. Знак «плюс» у чисел не проставляется, а знак «минус» у числа называют унарным минусом. Пробелы между символами в числах не допускаются.

Числа могут быть комплексными: z=Re(x)+i*Im(x). Такие числа содержат действительную Re(z) и мнимую Im(z) части. Мнимая часть имеет множитель i или j, означающий квадратный корень из –1.

2+2j

Функция real(z) возвращает действительную часть комплексного числа, Re(x), а функция imag(z) — мнимую, Im(z). Для получения модуля комплексно-

го числа используется функция abs(z), а для вычисления фазы — angel(z). Ниже приведены простейшие примеры работы с комплексными числами:

>> z=2+2i

z =

2.0000 + 2.0000i

>> abs(z)

ans =

2.8284

>> real(z)

ans =

>> imag(z)

ans =

>> angle(z)

ans =

0.7854

По умолчанию MATLAB выдает числовые результаты в нормализован-

ной форме с четырьмя цифрами после десятичной точки и одной до нее. Поскольку для выполнения рассматриваемой работы другие форматы чисел не ис-

пользуются, то способы их задания рассматриваться не будут.

Текстовые комментарии

Поскольку MATLAB используется для достаточно сложных вычислений, иногда возникает необходимость в комментарии решаемых уравнений или по-

следовательности действий. Такие комментарии вводятся с помощью симво-

ла «%», как на русском, так и на английском языках, по желанию программиста.

Переменные и присваивание им значений

Переменные — это имеющие имена объекты, способные хранить некото-

рые, обычно разные по значению данные. В зависимости от этих данных пере-

менные могут быть числовыми или символьными, векторными и матричными.

В системе MATLAB можно задавать переменным определенные значе- ния. Для этого используется операция присваивания, вводимая знаком «=»: Имя_переменной = Выражение (>> z=2+2i).

Типы переменных заранее не декларируются. Они определяются выражением, значение которого присваивается переменной. Так, если это выраже-

ние — вектор или матрица, то переменная будет векторной или матричной. Пе-

ременная, имеющая единственное значение, рассматривается как матрица раз-

мера 1×1.

Имя переменной (ее идентификатор) может содержать сколько угодно символов, но запоминается и идентифицируется только 31 начальный символ.

Имя любой переменной не должно совпадать с именами других переменных, функций и процедур системы, то есть, оно должно быть уникальным. Имя

должно начинаться с буквы, может содержать буквы, цифры и символ подчеркивания «_». Недопустимо включать в имена переменных пробелы и специаль-

ные знаки, например «+», «–», «*» и т.д., поскольку правильная интерпретация выражений становится невозможной.

Желательно использовать содержательные имена для обозначения пере-

менных, например: zveno_1. Следует отметить, что при использовании прописных и строчных букв при обозначении переменной MATLAB будет их идентифицировать как разные имена: zveno_1 будет отличаться от Zveno_1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]