Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания. Решение текстовых задач. Учебно-методическое пособие для СПО
.pdf
11
1.
1) Дети пошли в поход. Было 18 мальчиков и 10 девочек. Сколько детей
пошло в поход?
2) В один бидон вмещается 32 л. воды, а во второй – на 12 л. меньше. Найди
емкость двух бидонов вместе.
3) Дети посадили 4 куста малины, 5 кустов смородины, а крыжовника
столько кустов, сколько малины и смородины вместе. Сколько вместе кустов
посадили дети?
4) В оркестре 8 скрипок, а альтов – на 2 меньше. Когда к альтам добавили
еще несколько инструментов, то их в оркестре стало 9. Сколько альтов
добавили?
2.
5) Сколько марок подарил Петя, если Сереже он подарил 8 марок, а Коле
5 марок?
6) Сколько пассажиров совершало полет, если в самолете было 25 женщин,
мужчин на 15 человек больше, чем женщин, а детей на 10 человек меньше, чем
женщин?
7) Сколько карандашей в двух одинаковых коробках, если в одной два
десятка карандашей?
8) Сколько нужно колес для двух трехколесных велосипедов?
3.
9) Мама испекла 20 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как
за ужином съели 15 пирожков?
10) В магазине продали 22 ящика с помидорами. Сколько ящиков с
помидорами было, если осталось продать 8 ящиков?
11) Белоснежка вырастила 14 астр и 20 гвоздик. Сколько цветов осталось у
Белоснежки после того, как она подарила гномам 7 цветов?
12) Когда отцу было 40 лет, сыну было 12. Найди возраст сына, когда отцу
было 52 года.
Такие тексты в методике обучения математике младших школьников
принято называть трансформированными. Работа с такими текстами является
наиболее полезной с точки зрения обучения решению задач, поскольку именно
такие тексты учат ребенка внимательно читать и анализировать задачу,
целенаправленно устанавливать связи между данными и искомым с целью
осознанного выбора действия. Работа над такими задачами - и есть та
перспективная линия, имея в виду преемственность обучения математике.
12
2. Виды текстовых задач
В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее
проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач,
которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые
необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В
зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать по:
1. Числу выполняемых действий для нахождения ответа задачи;
2. Соответствию числа данных и искомых;
3. Фабуле задачи;
4. Способам решения и др.
Положив в основание классификации число действий, которые необходимо
выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу,
для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие,
называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или
более действий, называют составной.
Пример. У Маши 7 шаров, у Миши – на 2 шара больше. Сколько шаров у
Миши?
Данная задача является простой.
Пример. В одной бочке 60 ведер воды, в другой – на 10 ведер меньше.
Сколько ведер воды в двух бочках?
Данная задача является составной.
С точки зрения М.И. Моро, процесс обучения решению простых задач
является одновременно процессом формирования математических понятий. В
зависимости от понятий, которые рассматриваются в курсе математики
начальных классов, простые задачи делятся на 3 группы [8].
1.Простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл
арифметических действий:
1. Нахождение суммы;
2. Нахождение остатка;
3. Нахождение суммы одинаковых слагаемых;
4. Деление на равные части и деление по содержанию.
2.Простые задачи, при решении которых дети устанавливают связь между
компонентами и результатами арифметических действий:
1. Нахождение неизвестного компонента арифметического действия (8
видов).
3.Простые задачи, при решении которых дети раскрываются понятия
разности:
1. На сколько единиц больше;
2. На сколько единиц меньше;
3. Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма);
13
4. Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма);
5. Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма);
6. Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма).
и кратного отношения:
1. Во сколько раз больше;
2. Во сколько раз меньше;
3. Увеличение числа в несколько раз (прямая форма);
4. Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма);
5. Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма);
6. Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма).
В зависимости от соответствия между числовыми данными и искомыми
выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, задачи с
недостающими данными, задачи с лишними данными.
Определенные задачи – это задачи, в которых условий столько, сколько
необходимо и достаточно для получения ответа.
Пример. Библиотеке нужно переплести 1500 книг. Одна мастерская
может переплести эти книги за 15 дней, другая – за 10 дней. За сколько дней
выполнят эту работу обе мастерские, работая одновременно?
В этой задаче число условий соответствует числу данных и искомых.
Поэтому она является определенной.
Задачи с альтернативным условием – это задачи, в ходе решения которых
необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ
находится после того, когда все эти возможности будут исследованы.
Пример. От одной пристани по реке одновременно отправляются два
катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй – со скоростью
19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 часа,
если скорость течения равна 2 км/ч?
В задаче не сказано, в одном направлении или нет отправляются катера.
Если считать, что они отправились в одном направлении, получим один ответ,
если в противоположных направлениях – другой.
Задачи с недостающими данными – задачи, в которых условий
недостаточно для получения ответа.
Пример. В одной корзине лежало 10 страусовых яиц, в другой – 14.
Первая корзина была легче второй. Какова масса страусовых яиц в каждой
корзине?
В задаче не сказано, на сколько одна корзина легче второй.
Задачи с лишними данными – задачи, имеющие условия, которые не
используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют
лишними. Однако при решении задачи другим способом могут оказаться уже
14
другие условия. Если в данных задачах лишние условия не противоречат
остальным условиям, то они имеют решение.
Пример. В одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за шесть дней, а в
другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней
можно обжечь 143000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой
печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй?
Задача имеет одно решение: используя обе печи одновременно можно
обжечь 143000 кирпичей за 10 дней. Здесь условия «в одной печи можно обжечь
39000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за
пять дней» и «в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше,
чем во второй» не противоречат друг другу.
Иногда лишние условия противоречивы.
Пример. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч.
Спустя 3 часа из пункта В ему навстречу вышел другой поезд, скорость
которого на 10 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пунктами 570
км. Сколько часов до встречи был в пути второй поезд, если его скорость в 2
раза больше скорости первого поезда?
В задаче одно условие лишнее. Причем условия «скорость второго на 10
км/ч больше, чем у первого» и «скорость второго в 2 раза больше скорости
первого поезда» противоречат друг другу. Эта задача может иметь решение,
если исключить одно из условий.
Иногда лишние условия при решении задачи не используются и не влияют
на ответ.
Пример. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и
третьего классов. Билетов второго класса было продано в 2 раза меньше, чем
третьего. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет
второго класса стоил 120 рублей, а третьего – на 30 рублей дешевле?
В задаче имеется лишнее условие (три дня).
Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего
выделяют такие группы задач: «на движение», «на работу», «на время», «на
куплю/продажу» и т.п.
Пример. Из деревни выехал мотоциклист со скоростью 78 км/ч. Через 3
часа из той же деревни в противоположном направлении выехал велосипедист.
Через 4 часа после выезда велосипедиста расстояние между ними стало 594 км.
Какова скорость велосипедиста?
Задача на движение.
Пример. Начавшееся в 1702 г. В Москве строительство большого
оружейного склада – Арсенала – растянулось на 35 лет. В каком году
закончилось это строительство?
15
Задача на время.
Пример. Купец продал 47 аршин плиса по 47 копеек. К вырученным
деньгам добавил 1 копейку и купил 170 аршин ситца. Сколько стоил аршин
ситца?
Задача «на куплю/продажу».
Положив в основание способы решения задач, можно выделить такие
группы задач:
задачи на тройное правило;
задачи на пропорциональное деление;
задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и т.п.
Пример. На чтение 6 страниц Андрей тратит столько же времени,
сколько папа на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну
страницу, если папа прочитывает одну страницу за 5 минут?
Задача на тройное правило.
Пример. Из 2 кг муки получается 44 булочки. Утром испекли 660 булочек,
а днем на 220 булочек больше. Сколько килограммов муки потратили утром и
днем?
Задача на пропорциональное деление.
Пример. Один русский князь, живший в XIII веке, для своей жены и дочери
купил 4 рукавки (рукавицы) из черного бархата и 6 рукавок из красного по
одинаковой цене. За красные рукавки он заплатил на 10 рублей больше. Сколько
стоила одна покупка?
Задача на нахождение неизвестного по двум разностям [12].
Для выполнения любого требования применяется определенный метод или
способ действия, в зависимости от которого выделяются различные виды
математических задач: арифметические, на построение, доказательство,
преобразование, комбинаторные.
3. Функции текстовых задач
Исследование функции задач в обучении проводитесь в работах многих
психологов, дидактов и методистов (К. И. Нешкова и А. Д. Семушина,
Н. К. Рузина, Е. И. Лященко, Ю. М. Колягина, А. П. Сманцера, Л. М. Фридман и
др.).
Первой работой, в которой поставлена проблема конкретизации
функций задач в обучении математике, явилась статья К.И. Нешкова и
А.Д. Семушина, в которой авторы делят все задачи на дидактические,
познавательные и развивающие. К задачам с дидактическими функциями ими
отнесены задачи на прямое применение и закрепление знаний основных фактов
школьного курса математики; с познавательными функциями — задачи на
углубление этих знаний. Задачи с развивающими функциями, по мнению
16
авторов, — это те, «содержание которых может отходить от основного
школьного курса, посильно осложнять некоторые из изученных ранее
вопросов».
В работе впервые указывается на необходимость изменения методов
работы с задачами в соответствии с изменившимися функциями задач в
обучении математике при переходе на новые программы. Однако
характеристика функций здесь ещѐ недостаточно чѐткая и полная, что позволяет
толковать эти функции по-разному.
Проблеме функций задач посвящено исследование Н.К. Рузина [11].
Автором выделены познавательные, развивающие и прикладные функции, а
также функция обучения решению задач. Функцию обучения решению задач
автор связывает с существованием задач, «обслуживающих сам процесс
обучения решению задач и,. следовательно, не имеющих самостоятельного
значения в системе метода обучения через задачи».
Уточнение дидактических функций задач, выделенных К.И. Нешковым и
А.Д. Семушиным, проведено Е.И. Лященко, которая разработала требования к
системе задач, способствующие усвоению математических знаний и методов
решения задач.
Ю.М. Колягин в качестве основных выделяет обучающие,
воспитывающие, развивающие и контролирующие функции. Автор отмечает,
что каждая задача несѐт в себе все три функции, хотя в зависимости от условий
обучения одна из них (или несколько) будет ведущей. «Ведущая функция задачи
определена основной целью еѐ постановки перед учащимися и должна быть
реализована в первую очередь» [8].
Существенным является понимание функций, реализация которых
отражала бы достижение одной из важных целей обучения математике —
научить учащихся решать текстовые задачи. Такого рода функции отнесены
автором к специальным развивающим: «К специальным развивающим функциям
математических задач могут быть отнесены, например, следующие: ...4) умение
планировать поиск решения задачи, исключать из условия ненужные данные,
дополнять недостающие, отбирать методы, средства и операции, необходимые
для еѐ решения».
А.П. Сманцер выделяет пять основных функций задач в обучении:
методическую, обеспечивающую овладение учащимися методами решения
задач; дидактическую, способствующую овладению учащимися учебным
материалом; организующую и управляющую, отражающую использование
учителем задач для организации и управления познавательной деятельностью
учащихся; развивающую; воспитывающую [3].
Л.М. Фридман выделяет расчетную, прогностическую и
исследовательскую функции текстовых задач [11].
17
Расчетная функция, когда с помощью решения задачи производятся
какие-то расчеты, например:
а) при покупке и продаже товаров: сколько нужно заплатить за купленные
товары или сколько сдачи нужно получить при оплате купленного товара, когда
дана какая-то крупная денежная купюра и т.д.;
б) при процентных расчетах в сбербанке: сколько процентных денег
следует получить за вклад на определенный срок и т.д.;
в) при различных измерениях: определение площади помещения,
земельного участка, поля по их измерениям, определение объема простейших
тел по их измерениям и т.д.
Прогностическая функция, когда с помощью решения задачи делается
прогноз результатов каких-то действий, операций, например: а) сколько времени
придется затратить для совершения какой-то поездки, путешествия или с какой
скоростью нужно передвигаться, чтобы совершить какой-то путь за
определенный промежуток времени и т.д.; б) сколько нужно материала и
времени для построения какого-то здания или предприятия, сколько продукции
сможет изготовить это предприятие и т.д.; в) какой урожай можно получить с
определенного поля, если будет достигнута та или иная урожайность и т.д.
Исследовательская функция, когда с помощью решения задачи
устанавливается, как лучше, выгоднее выполнить ту или иную операцию, можно
ли выполнить то или иное действие за определенное время, какой способ
выполнения некоторого действия более лучший в каком-то смысле и т.д.
С точки зрения решения дидактических задач можно выделить следующие
функции:
Обучающая. Задача выступает в качестве средства формирования новых
математических знаний. Решая математическую задачу, ученик познает много
нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением
математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые
теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д.
Иными словами, при решении математических задач человек приобретает
математические знания, повышает свое математическое образование.
Развивающая. Решение математических задач требует применения
многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию,
сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя
скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие
математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать,
отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко
и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли;
объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать
или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые
18
проявления заданной ситуации. Таким образом, реализуется развивающая
функция.
Воспитывающая. Данная функция реализуется через содержание задач и
через организацию работы учащихся с ними (индивидуальная, групповая и
фронтальная формы работ), через различные методические приемы.
4. Подготовительная работа к обучению детей решению задачи
Прежде чем приступить к обучению детей решению задачи, в процессе
подготовительной работы необходимо сформировать у ребенка целый комплекс
знаний и умений.
Авторы традиционного подхода (М.И. Моро и др.) ориентируются на
развитие речи младшего школьника. С их точки зрения готовность ребенка к
работе над задачей может быть определена знанием и пониманием школьников
специфических терминов «больше», «меньше», «столько же»; «длиннее»,
«короче», «такой же длины»; «ближе», «дальше»; «глубже», «мельче»; «толще»,
«тоньше», «дороже», «дешевле» [1,7,8].
А.В. Белошистая выделяет базовыми следующие умения, необходимые для
усвоения детьми понятия «задача»:
● слушать и понимать тексты различных структур;
● правильно представлять себе и моделировать ситуации, предлагаемые
педагогом;
● правильно выбирать арифметическое действие в соответствии с
ситуацией;
● составлять математические выражения в соответствии с выбранным
действием, выполнять простые вычисления [2].
Н.Б. Истомина под готовностью школьников к работе над задачей
предполагает сформированность:
навыков чтения;
представлений о смысле действий сложения и вычитания, их
взаимосвязи, понятий «увеличить (уменьшить) на...»;
основных мыслительных операций (анализ и синтез, сравнение,
обобщение);
умения описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем
и математических символов;
умения чертить, складывать и сравнивать отрезки;
умения переводить текстовые ситуации в предметные и
схематические модели [3].
А.В. Белошистая основными условиями корректной методической
подготовки ребенка к обучению решения задач выделяет:
19
1. Обучение ребенка моделированию различных ситуаций (объединение
совокупностей, удаление части, увеличение на несколько штук, сравнение и
т.п.) на различной предметной наглядности символического характера;
2. Обучение ребенка выбору соответствующих арифметических действий и
составлению математических выражений в соответствии с ситуацией,
заданной текстом;
3. Уверенное использование ребенком приема присчитывания и отсчитывания,
а также пересчетом только в качестве способа проверки правильности
полученного результата [2].
Рассмотрим подготовительную работу к введению понятия «задача».
С целью формирования у учащихся умения переводить различные
реальные явления и связи между ними на язык математических символов
можно использовать следующие задания:
1. Составить рассказ по картинке, который соответствовал бы записи
+ = .
Например: «На одной ветке висело 3 вишни, а на другой - 1. На двух
ветках вместе было 4 вишни».
В соответствии с этой ситуацией в первое окошко нужно поставить число
3, во второе - 1, а в третье - 4.
Можно составить и другой рассказ: «На одной ветке висела 1 вишня, а
на другой - на 2 вишни больше. На второй ветке было 3 вишни».
Тогда получим запись 1 + 2 = 3. Второй вариант, конечно, можно
услышать не так часто, но педагог должен быть готов к любому ответу.
Рассказ не должен на первых порах содержать вопроса, поскольку цель
такого задания - учить ребенка составлять математическое выражение или
равенство в соответствии с заданной ситуацией. Ситуация задана рисунком, что
облегчает ученику ее восприятие, поскольку ведущий вид мышления в этом
возрасте - наглядно-образный.
Приведем более сложный вариант такого задания.
2. Составь рассказы по картинке в соответствии с разными видами
записей (сложение и вычитание).
Сложность этого задания состоит в том, что картинка лишена динамики и
ее мысленную «кодировку на ситуацию» ребенок должен выполнить, не двигая
элементы картинки. В качестве помощи к данному заданию можно использовать
соответствующие записи: составь рассказ в соответствии с записью 5-2.
(«Было 5 вишен. Из них 2 на одной ветке, значит, на другой 5 - 2 = 3»).
В дальнейшем можно предлагать детям более абстрактные варианты
рисунка, например:
3. Составьте сюжетные рассказы по модели, вложив в нее свое
содержание:
20
Действия учителя
Действия учащихся
- На ветке сидели 6 мартышек.
(На фланелеграф выставляются
мартышки, и их количество обозначается
цифрой. Затем изображение задергивается
занавеской и сообщается продолжение
сюжета).
Одна свалилась. (Одну мартышку можно
достать из-за занавески и поставить на
незакрытую часть доски).
Этап работы над такими заданиями можно считать завершенным, когда
дети научатся легко составлять по аналогичным рисункам тексты вида:
1. Было 7 белых и 2 серых квадрата, вместе 7 + 2 = 9;
2. Всего было 9 квадратов, из них 7 белых, а 2 серых: 9-7 = 2;
3. Всего было 9 квадратов, из них 2 серых, а 7 белых: 9-2 = 7;
4. Было 7 белых квадратов, 2 - серых, значит, белых было на 5 больше: 7 -
2 - 5 и т.п.
Такие задания будут одновременно готовить ребенка к пониманию
схематических моделей ситуаций задач в дальнейшем [2].
С целью формирования умения учащихся делать выбор
соответствующего арифметического действия в соответствии с заданной
ситуацией Н.Б. Истомина рекомендует использовать прием работы со
«скрытой» наглядностью, т.е. сначала наглядность предъявляется,
сосчитывается, обозначается цифрами, а затем прячется (в коробку, конверт,
корзину, за ширму и т. п.). После этого в соответствии с сюжетом задания
приступают к выбору действия, поясняя его. Данный прием исключает
возможность пересчета предметов детьми.
Данная методика работы с наглядностью может быть использована в
ситуации любой простой задачи, поскольку позволяет организовать и
стимулировать как процесс выбора действия для решения задачи, так и провести
проверку полученного результата пересчетом. Это уже с первых шагов будет
формировать у ребенка правильное представление о том, что в решении задачи
главное — это поиск действия и о том, что решение задачи и еѐ проверка – это
разные учебные действия.
Таблица 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]