Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания. Решение текстовых задач. Учебно-методическое пособие для СПО
.pdf
101
Таблица 16
Расход ситца на 1 наволочку (м)
Количество наволочек
(шт.)
Общий расход
материала (м)
одинаков
8 шт.
24 м
одинаков
?
15 м
Время чтения 1 стр.
(мин)
Количество страниц
(с)
Общее время
Папа
5 мин
8 шт.
одинаковое
Андрей ? 6 шт.
24м
8 наволочек
15м
Андрей
б)
Папа
3 мин
Андрей
а)
Папа
3 мин
Пример. На чтение 6 страниц Андрей тратит столько же времени,
сколько папа на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну
страницу, если папа прочитывает одну страницу за 5 минут?
Таблица 17
При решении задач с пропорциональными величинами полезно
использовать схемы.
Пример. Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек
можно сшить из 15 м ситца?
Обозначив отрезками общий расход материи – 24 метра и 15 метров – дети
обозначают маленькими отрезками расход материи на 1 наволочку (одинаково).
Анализируя схему, необходимо обратить внимание учащихся на то, что
один и тот же отрезок одновременно обозначает и количество метров, и
количество наволочек.
Далее можно проверить эти рассуждения вычислениями:
1) 24 : 8 = 3 (м)
2) 15 : 3 = 5 (н.)
Ответ: 5 наволочек.
Анализ текста задачи с обратно пропорциональными величинами
позволяет построить следующие схемы.
102
При решении задач на нахождение четвертого пропорционального
используют следующие приемы:
- способ прямого приведения к 1;
- способ обратного приведения к 1;
- способ отношений;
- алгебраический метод.
Способ прямого приведения к единице. Этот способ состоит в том, что
сначала узнают значение единицы одной из пропорциональных величин, а затем
– значение указанного в условии количества. Причем к единице приводят
величину, для которой даны 2 значения.
Способ обратного приведения к единице. Прием сводится к тому, что
находят соответствующее значение единицы той величины, для которой в
условии указанно лишь одно значение.
Пример. За 6 часов машинистка печатает 30 страниц текста. За
сколько часов она напечатает 50 таких страниц, если будет работать так
же равномерно?
Рассмотрим два способа решения задачи.
Способ прямого приведения к единице.
1) За какое время машинистка напечатает 1 страницу?
6 ч = 360 мин
360 : 30 =12 (мин)
2) За сколько часов машинистка напечатает 50 страниц?
12 · 50= 600 (мин)
600 мин = 10 ч
Способ обратного приведения к единице.
1) Сколько страниц машинистка напечатает за 1 час?
30 : 6 = 5 (стр.)
2) За сколько часов будет напечатано 50 страниц?
50 : 5 =10 (ч)
Способ отношений.
Пример. Бригада кузнецов изготовила за смену 84 топора, израсходовав
75 кг стали. Сколько нужно стали, чтобы изготовить 336 таких же топоров?
84 топ – 75 кг
336 топ - ?
1) 336 : 84 =
2) 75 · (336 : 84) =
Чем больше изготавливаем топоров, тем больше нужно стали.
84 · 2 (т) 75 · 2 (кг)
84 · 3 (т) 75 · 3 (кг)
103
Необходимо узнать, во сколько раз 336 больше 84, следовательно, во
столько раз больше нужно стали.
Алгебраический метод.
Пример. В первую неделю типография получила с фабрики 6 рулонов
бумаги одного сорта и перечислила за эту продукцию 204 рубля. Сколько рублей
перечислила типография за месяц, если получила 10 таких же рулонов бумаги?
Анализ: цена одинаковая, х – стоимость 10 рулонов.
Цена = 204 : 6
х : 10
204 : 6 = х : 10
Также этот способ применяется для решения задач на движение.
Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого
пропорционального – подготовительный, ознакомительный, закрепление. В
начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной
зависимостью с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса
одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число
сосудов, общая емкость; выработка (производительность) в единицу времени,
время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей,
общий расход материи. Далее вводятся новые группы величин: скорость, время,
расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы
площади, площадь и весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех
шести видов.
Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные
пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше
постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма
соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются
искомыми.
Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной
зависимостью, можно выделить шесть видов задач на пропорциональное
деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с
обратно пропорциональной зависимостью.
В основе этих задач лежат задачи на нахождение четвертого
пропорционального. К задачам на пропорциональность относятся следующие:
1) задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду
данных чисел;
2) задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;
3) задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.
Задачи второго и третьего вида рассматриваются на внеклассных занятиях.
104
Таблица 18
№ вида
задачи
Величины
1-я величина
2-я величина
3-я величина
1
Постоянная
Даны два значения
Дана сумма двух
значений. Каждое из двух
значений является
искомым
2
Постоянная
Дана сумма двух
значений. Каждое из двух
значений является
искомым
Даны два значения
3
Даны два значения
Постоянная
Дана сумма двух
значений. Каждое из двух
значений является
искомым
4
Дана сумма двух
значений. Каждое из
двух значений является
искомым
Постоянная
Даны два значения
5
Даны два значения
Дана сумма двух
значений. Каждое из двух
значений является
искомым
Постоянная
6
Дана сумма двух
значений. Каждое из
двух значений является
искомым
Даны два значения
Постоянная
№ вида
задачи
Величины
1-я величина
2-я величина
3-я величина
1
одинакова
А
?
? С
Б
2
одинакова
?
? С
А
В
3 А одинакова
?
? С
В
4
?
? С
одинакова
А
В
5
А
?
? С
одинакова
В
6
?
? С
А
одинакова
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. В
общем виде задачи всех шести видов задач представлены в таблице.
Таблица 19
105
При решении таких задач также целесообразно использовать схемы:
а)
б)
Пример. На автозаправочной станции 1 водитель залил в бак 25 литров
бензина, 2-й – 40 литров такого же бензина. Сколько заплатил за бензин
каждый водитель, если вместе они заплатили 1300 рублей?
Учитель предлагает из предложенных схем выбрать подходящую.
Один и тот же отрезок обозначает количество литров бензина и количество
денег.
- Кто заплатил денег больше? Почему?
Способ решения – арифметический (нахождение значения постоянной
величины через вычисление отношения заданной суммы величин к сумме двух
данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и
алгебраический (уравнением).
- Что обозначают выражения?
1300 : 25 1300 : 40 1300 : (40 + 25)
2) алгебраический способ решения:
х – цена бензина
25 · х – заплатил первый водитель
40 · х – заплатил второй водитель
25 · х + 40 · х = 1300
Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого
пропорционального – подготовительный, ознакомительный, закрепление.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое
умение школьников решать задачи на нахождение четвертого
пропорционального.
Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: решение
готовой задачи, составление ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого
пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на
пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи
на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки
надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение
четвертого пропорционального. Именно поэтому предпочтительней второй из
названных вариантов введения задач на пропорциональное деление.
В начале рассматривают преимущественно задачи на пропорциональное
деление первого вида с такими группами величин: цена, количество, стоимость;
масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда,
106
число сосудов, общая емкость и др. После этого вводятся задачи второго вида, а
несколько позднее третьего и четвертого.
Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают
упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них. Полезны
упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а
также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление
задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой,
количеством и стоимостью – предложить составить и решить похожую задачу с
теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и
расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде
отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач
по их краткой схематической записи.
Следует отметить, что в начальной школе в основном решаются задачи с
прямо пропорциональной зависимостью величин.
Задача на нахождение неизвестного по двум разностям включает три
величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные
и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной
переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами
значения этой переменной являются искомыми.
Применительно к каждой тройке величин, связанных пропорциональной
зависимостью, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестного
по двум разностям, четыре из которых с прямо пропорциональной
зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью. До
ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям
важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью
которых раскрывается основная проблема задачи.
После подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с
решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при
ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать
различные приемы:
составление задачи на нахождение неизвестного по двум разностям на
основе преобразования знакомой задачи на нахождение четвертого
пропорционального;
запись задачи кратко в таблице рисунком, решение задачи.
Способ решения – арифметический (нахождение значения постоянной
величины через вычисление отношения заданной разности значений величин к
разности значений двух данных величин, а затем вычисление значений каждой
искомой величины) и алгебраический (уравнением). При решении задач
указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например: разности в
числе предметов и разности их стоимостей.
107
Таблица 20
№ вида
задачи
Величины
1-я величина
2-я величина
3-я величина
1
Постоянная
Даны два значения
Дана разность двух
значений,
соответствующих
количеству. Каждое из
этих двух значений
является искомым
2
Постоянная
Дана разность двух
значений,
соответствующих
количеству. Каждое из
этих двух значений
является искомым
Даны два значения
3
Даны два значения
Постоянная
Дана разность двух
значений,
соответствующих
количеству. Каждое из
этих двух значений
является искомым
4
Дана разность двух
значений,
соответствующих
количеству. Каждое
из этих двух
значений является
искомым
Постоянная
Даны два значения
5
Даны два значения
Дана разность двух
значений,
соответствующих
количеству. Каждое из
этих двух значений
является искомым
Постоянная
6
Дана разность двух
значений,
соответствующих
количеству. Каждое
из этих двух
значений является
искомым
Даны два значения
Постоянная
2-й – 40 литров. Первый заплатил на 300 рублей меньше, чем второй. Сколько
заплатил за бензин каждый водитель?
Пример. На автозаправочной станции 1-й водитель залил в бак 25 литров,
- Обращаемся к схемам.
108
- Что обозначают выражения?
1) х – цена бензина
х · 15 = 300 - разница стоимости
300 : х = 40 – 25
2) х – цена бензина
40 · х – 25 · х=300
№ вида
задачи
Величины
1-я величина
2-я величина
3-я величина
1
одинакова
А
?
? на больше (меньше)
Б
2
одинакова
?
? на больше (меньше)
А
В 3 А
одинакова
?
? на больше (меньше)
В
4
?
? на больше (меньше)
одинакова
А
В 5 А
?
? на больше (меньше)
одинакова
В
6
?
? на больше (меньше)
А
одинакова
1300 : 40; 1300 : 25; 1300 : (40 + 25); 1300 : (40 - 25)
300 : 40; 300 : 25; 300 : (40 + 25); 300 : (40 - 25)
б) алгебраический метод:
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. В
общем виде таблицы всех шести видов задач представлены в таблице.
Таблица 21
Этапы обучения решению задач на нахождение неизвестного по двум
разностям – подготовительный, ознакомительный, закрепление.
Подготовкой к решению задач на нахождение неизвестного по двум
разностям является твердое умение школьников решать простые задачи на
установление соответствия между двумя разностями и простых задач с
различными группами пропорциональных величин.
При ознакомлении с задачами на нахождение неизвестного по двум
разностям следует учитывать опыт учащихся, полученный в процессе решения
задач на пропорциональное деление. Задачи нового типа могут быть получены
из решенных задач на пропорциональное деление. Сначала рассматривают
задачи на нахождение неизвестного по двум разностям первого вида с
различными группами пропорциональных величин. При этом обязательна
проверка решения способом установления соответствия между искомыми,
полученными в ответе и данными из условия задачи. После этого вводятся
задачи второго вида. Задачи других видов в начальном курсе математики обычно
109
не рассматриваются.
В процессе закрепления можно использовать решения задачи 1-2 видов с
различными группами пропорциональных величин и упражнения творческого
характера на преобразование условия задач, а также упражнения, аналогичные
тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление.
Библиографический список
1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в
начальных классах. - М: Просвещение, 1984. – 335 с.
2. Белошистая А.В. Обучение решению задач в начальной школе. Книга для
учителя. – М.: «ТИД «Русское слово – РС», 2003. – 288 с.
3. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. - М:
ЛИНКА-ПРЕСС, 1997.
4. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. -
М: Просвещение, 1978.
5. Гребенникова Н.Л. Решение задач на зависимость величин разными
способами. // Начальная школа. – 1999. - №2.
6. Реализация целостного подхода в подготовке учителя начальных классов (на
примере изучения математики и методики ее преподавания). Часть 2.
Зависимости между величинами: Учебно-методическое пособие. /Авторысоставители Ю.О. Бирюкова, О.В. Науменко. – Волгоград: Изд-во ВГИПК
РО , 2004. – 56 с.
Задания
1. Как могут рассуждать учащиеся 3 класса при решении задачи: На
костюм для участников хора купили по одинаковой цене 2 куска шелковой
материи: в одном было 18 м, в другом 15 м. За первый кусок уплатили на 21
рубль больше, чем за второй. Сколько стоил каждый кусок материи?
2. Какие задания целесообразно предложить учащимся в ходе
подготовительной работы к решению задач на нахождение неизвестных по двум
разностям?
3. Оформите запись этих задач в виде таблицы. Почему это
целесообразно?
В первый день магазин продал 8 одинаковых портфелей и получил за них
32 рубля. Во второй день было продано 6 таких портфелей. Сколько денег
получили за портфели во второй день? Какую подготовительную работу
целесообразно провести до решения задач?
Оформите решение этих задач: по действиям с пояснением; по действиям
с вопросом к каждому действию; выражением.
4. Ознакомьтесь с примерами некоторых видов текстовых задач и объясните,
почему о них можно сказать, что это задачи на пропорциональную зависимость?
Задачи на приведение к единице.
110
На 5 грузовиках привезли 20 т угля. Сколько таких грузовиков нужно для
того, чтобы привезти 32 т угля?
На 5 грузовиках привезли 20 т угля. Сколько тонн угля привезут 8 таких
грузовиков?
Задачи, решаемые способом сравнения.
На 3 простыни пошло 8 м материи. Сколько таких простыней можно
сшить из 40 м материи?
На 3 простыни пошло 8 м материи. Сколько метров материи пойдет на
15 таких простыней?
Задачи на нахождение числа по двум суммам.
Две швеи шили одинаковые платья. Причем, первая сшила 5 платьев, а
вторая — 3 платья. Они израсходовали 32 м ткани. Сколько метров ткани
израсходовала каждая швея в отдельности?
Две швеи шили одинаковые платья. Причем, одна израсходовала 20 м
материи, а другая — 12 м. У них получилось всего 8 платьев. Сколько платьев
сшила каждая швея в отдельности?
Задачи на нахождение чисел по двум разностям.
Первая сшила 7 платьев, а вторая — 5 таких же платьев. Вторая швея
израсходовала ткани на 6 м меньше, чем первая. Сколько ткани израсходовала
каждая швея в отдельности?
Первая швея сшила на 2 платья больше второй. Первая швея
израсходовала 21м ткани, а вторая —15 м ткани. Сколько платьев сшила
каждая швея в отдельности, если платья были одинаковые?
Задачи на нахождение процента от числа и числа по величине его
процентов.
Магазин продает вещи, сданные населением, и берет за услуги 7% от
стоимости проданной вещи. Сколько денег удержит магазин, если вещь
продана за 400 рублей?
На элеватор должны привезти 4000 ц зерна. Привезли 36% этой массы.
Сколько центнеров зерна уже привезли на элеватор?
Найдите текст задачи, которую учащиеся начальных классов решают
только на основе свойства пропорциональности из-за того, что оперируют лишь
натуральными числами.
5. Находятся ли в прямой пропорциональной зависимости следующие
величины (докажите)? Если ответ положительный, то (введя необходимые буквы)
запишите эти зависимости с помощью формул.
Количество проданных в автобусе билетов и выручка кассы.
Число книг в библиотеке и кол-во читателей в библиотеке.
Норма выработки деталей за смену и время изготовления деталей.
Количество рыб, пойманных рыбаком и время ловли.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]