Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Часть 1. Курс лекций.pdf
Вид
средней
Методика расчета и содержание
показателя
Средняя
арифметическая
Z = 1;
,
n
х
х
i
i
a
или
.
i
i
i
ii
a
m
mх
х
Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины.
Статистический вес может быть представлен и относительными величинами
структуры – частостями
()w
, т.е. долей
каждой частоты в общей сумме всех частот и тогда средняя арифметическая
взвешенная будет рассчитываться по
формуле
.
i
i
i
m
m
w
.
i
i
i
ii
a
w
wх
х
Если частоты подсчитываются в долях
(коэффициентах), то
1,
i
i
w
формула
средней упрощается:
a
ii
i
х х w
Средняя
квадратическая
Z = 2;
n
х
х
i
i
кв
2
.
, или
i
i
i
ii
кв
m
mх
х
2
.
Продолжение табл.
41
Вид
средней
Методика расчета и содержание
показателя
Средняя
кубическая
Z = 3;
3
.
,
i
i
куб
х
хn
или
i
i
i
ii
m
mх
х
re
3
.
/,
и др.
.
... квaгеомгарм
хххх
Расчет
средней
способом
моментов
01
0
1
;
,
i
i
i
х k x M
xx
m
k
M
m
Средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя
геометрическая и средняя квадратическая, рассчитанные для
одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга: их
численные значения возрастают с ростом показателя степени z
в формуле степенной средней, т.е.
Это так называемое правило мажорантности средних, которое впервые сформулировал А.Я. Боярский.
5.3. Свойства средней арифметической
Средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств, некоторые из них имеют большое практическое значение для статистики. Они более полно раскрывают
ее сущность и в некоторых случаях используются для упрощения ее расчетов. Такой способ расчетов при исчислении средней величины в вариационном ряду с равными интервалами
называется методом условных моментов. Для расчета средней
арифметической величины используется условный момент
первого порядка.
Окончание табл.
42
где M1 – величина условного момента первого порядка;
Основные свойства средней арифметической
Сумма отклонений отдельных значений
признака (вариантов) от средней арифметической равна нулю. Для первичного ря-
да:
( ) 0хх
, для ряда со сгруппиро-
ванными данными:
( ) 0х х m
Если от каждого варианта отнять или к каждому варианту прибавить какое-либо про-
извольное постоянное число
0
()х
, то новая
средняя уменьшится или увеличится на это
же число:
00
хххх
Если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное постоянное число (к), то новая средняя уменьшится
или увеличится во столько же раз:
: : ,k х k х
или
k х k х
Если все частоты разделить или умножить
на какое-либо произвольное число, то средняя не изменится
k – величина интервала;
х0 – центральная варианта ряда (условное начало или ус-
ловный 0).
Основные свойства средней арифметической
43
5.4. Структурные средние
,
11
1
MoMoMoMo
MoMo
oo
mmmm
mm
kхM
o
х
k
1Mo
m
Mo
m
1Mo
m
Мода
– это
значение признака (варианты), которая чаще всего
встречается в данной совокупности. В вариационном
дискретном ряду модой выступает варианта, имеющая
наибольшую частоту
Помимо перечисленных в предыдущем пункте средних величин, в статистике широко применяются и структурные средние, характеризующие структуру рядов распределения. Это –
мода и медиана.
Понятие моды
В интервальном вариационном ряду модой приближенно
можно считать центральный вариант так называемого модального интервала, т.е. интервала с наибольшей частотой. Более
точный расчет моды для такого ряда производится по следующей формуле:
где
– нижняя граница модального интервала;
– величина модального интервала;
– частота предмодального интервала;
– частота модального интервала;
– частота послемодального интервала.
При наличии в ряду неравных интервалов рекомендуется
предварительно преобразовать такой ряд. Приближенное значение моды можно легко определить графическим способом, используя гистограмму.
44
Понятие медианы
,
2
1
0
Me
Me
m
S
m
kхMe
0
х
k
m
1Me
S
Me
m
min.х Me
Медиана
– это
значение признака (варианты),
которое приходится на середину ранжированного ряда.
Ранжировать ряд, т.е. его упорядочить
Для более точного определения медианы используется известное из математической статистики понятие накопленных
частот, под которым понимается нарастающий итог частот, начиная с первого интервала. Формула расчета медианы следующая:
где
– нижняя граница медианного интервала;
– величина медианного интервала;
– сумма частот ряда;
– сумма накопленных частот до медианного ин-
– частота медианного интервала.
Медиана обладает важными свойствами. В частности, сумма модулей отклонений вариантов от медианы всегда меньше,
чем сумма отклонений вариантов от любой другой величины,
т.е.
ся при проектировании расположения центров массового об-
служивания населения.
Показателями типа медианы, характеризующими структуру вариационных рядов, являются квартили (делят ряд на
4 равные части), квинтили (на 5), децили (на 10), перцентили
(на 100 частей).
тервала;
Это свойство медианы широко использует-
45
Тема 6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Вариация
– это
колеблемость, многообразие,
изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности
План лекции
6.1. Понятие вариации и ее значение
6.2. Обобщающие показатели вариации
6.3. Виды дисперсий и правило их сложения
6.4. Изучение формы распределения
6.1. Понятие вариации и ее значение
Рассматривая зарегистрированные в процессе статистического наблюдения величины того или иного признака у отдельных единиц совокупности, можно обнаружить между ними различия.
Понятие вариации
Исследование вариации в статистике имеет важное значение. Оно дает возможность оценить степень воздействия
на данный признак других варьирующих признаков. Определе-
ние вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построения статистических моделей, разработке материалов экспертных опросов и во многих других случаях.
По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений, в частности об однородности совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между признаками
одного и того же явления и признаками разных явлений.
Для характеристики количественной оценки степени колеблемости признака в совокупности теория статистики опирается
на математическую статистику, в которой излагается математическая сторона показателей вариации. Однако эти показатели
46
находят широкое применение и в социально-экономической
Показатели вариации
Абсолютные
Относительные
Размах вариации
Среднее линейное
отклонение
Дисперсия
Среднее
квадратическое
отклонение
Коэффициент
вариации
Коэффициент
осцилляции
Линейный
коэффициент
вариации
статистике. Рассмотрим их сущность и порядок исчисления.
6.2. Обобщающие показатели вариации
Вариационные ряды показывают вариацию изучаемых явлений по определенному признаку, однако они не дают обобщающей ее характеристики. Обобщающими показателями являются средние величины, но они нивелируют индивидуальные
значения варьирующего признака и различия между ними.
А именно они часто представляют большой интерес с точки
зрения наиболее полного раскрытия структуры и общего анализа изучаемой совокупности.
Обобщающие показатели вариации разработаны, они могут
быть подсчитаны и по вариационному, и по первичному ряду
(непосредственно по конкретным исходным данным или ранжированному ряду).
47
Расчет показателей вариации
Показатель
Методика расчета и содержание
Размах
вариации
(R)
Размах вариации представляет собой абсолютную величину разности между максимальным и минимальным значениями (вариантами) признака:
.
minmax
ххR
Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависит от колебаний
только двух крайних вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т.е. с характером распределения
Среднее
линейное
отклонение
()l
Среднее линейное отклонение представляет
собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных
вариантов от их средней арифметической:
,
хх
l
n
или
.
m
mхх
l
Этот показатель уже не зависит от случайных колебаний вариантов и учитывает всю
сумму отклонений конкретных вариантов
от среднего показателя
Среднее
квадратическое
отклонение
()
Среднее квадратическое отклонение равно
квадратному корню из среднего квадрата
отклонений отдельных значений признака
от средней арифметической.
2
,
хх
n
или
.
2
m
mхх
Элементарное преобразование формулы
приводит ее к виду
2
2
хх
48
Показатель
Методика расчета и содержание
Дисперсия
2
()
Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней
арифметической. Она рассчитывается по
формулам:
2
2
,
хх
n
или
2
2
.
х х m
m
Несмотря на прямую связь со средним
квадратическим отклонением, дисперсия
имеет самостоятельное значение. Для ее
вычисления удобно пользоваться следующей формулой:
.
2
2
2
2
2
хх
n
х
n
х
Дисперсия альтернативного признака равна:
,2pq
где р – доля единиц в совокупности, об-
ладающих определенным признаком;
q – доля единиц, не обладающих
этим при знаком.
Предельное ее значение равно 0,25. Оно получается при p= 0,5.
Определение дисперсии методом условных
моментов:
,
2
12
22
MMk
где
2
k
– величина интервала в интерваль-
ном ряду;
М2 – условный момент второго порядка;
М
1
– условный момент первого порядка
Продолжение табл.
49
Окончание табл.
Показатель
Методика расчета и содержание
Коэффициент
вариации
)(V
Коэффициент вариации применяется для
сравнения вариации разных признаков.
Исчисляется по формуле:
V
х
, или
100 %.V
х
Чем этот показатель меньше, тем однороднее совокупность, а средняя величина признака типична для данной совокупности
Линейный
коэффициент
вариации
)(LV
100 %
L
L
Vх
, или
100 %
L
L
VMe
Коэффициент
осцилляции
)(RV
100 %
R
R
Vх
)(
2
общ
)(
2
i
)(
2
6.3. Виды дисперсий и правило их сложения
Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом необходимо проследить количественные изменения
признака по группам, на которые разделяется совокупность,
а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов диспер-
сии. Выделяют дисперсию общую
, внутригрупповую
и межгрупповую
.
Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии. Это правило (закон) сложения дисперсий, логика которого проста: общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, должна быть равна
сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.
50