Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Механика материалов и конструкций. Изгиб. Учебное пособие
.pdf
41
Трех уравнений равновесия недостаточно для однозначного определения
четырёх неизвестных сил реакций опор (подчеркнуты).
В нашей задаче имеем четыре неизвестные реактивные силы и систему из
трёх уравнений статики.
Разность между числом неизвестных, входящих в уравнения статики и числом составленных уравнений статики называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости показывает, сколько допол-
нительных уравнений необходимо составить к уравнениям статики. Эта задача
статически неопределимая один раз. Таким образом, необходимо составить одно
дополнительное уравнение, связывающее неизвестные силы реакции.
5.3. Применяем метод начальных параметров
Воспользуемся методом начальных параметров и запишем функцию, описывающую линейные перемещения сечений балки (рис. 28). Начало координат
помещаем в левое крайнее сечение А.
Разбиваем балку на участки – их два: АВ и BС.
3 2 3
44
00
()
1 ( )
( ) .
6 2 24 6 24
A A B
I II
z
R x M x R x l
qx q x l
f x f V x
EJ
(47)
Для нахождения начальных параметров f0 и V0, входящих в выражение (47),
записываем условия равенства нулю перемещений на опорах А и В.
f
(x = 0)
= 0 f0 = 0
V
(x = 0)
= 0 V0 = 0
f
(x = l)
= 0 (на опоре В f = 0)
Используя эти условия, получаем следующее уравнение:
32
4
()
1
0,
6 2 24
AA
xl
z
R l M l
ql
f
EJ
(48)
так как
z
EJ 0
, получаем:
32
4
0.
6 2 24
AA
R l M l
ql
(49)
Уравнение (49) является четвёртым уравнениям, дополняющим систему
уравнений (46).
42
5.4. Решение системы уравнений и определение реактивных сил RB и RА
Решаем следующую систему, состоящую из четырёх уравнений, в состав
которых входят четыре неизвестных реактивных силы.
1. 0; 0
A
xH
2. 0; 0
AB
y R ql R
2
0
3. ( ) 0; 0
2
AB
ql
M A M R l M
(50)
32
4
4. 0
6 2 24
AA
R l M l
ql
Решаем систему уравнений (50). Домножим обе части уравнения (47) на
(– l) и сложим с уравнением (48).
2
0.
AB
R l ql R l
2
0
0.
2
AB
ql
M R l M
2
2
0
0.
2
AA
ql
R l ql M M
(51)
00
.
22
AA
A
MM
MM
ql ql
R ql
l l l l
(52)
Подставляем значение RA из (52) в уравнение (49) системы (50):
2
22
44
0
0.
12 6 6 2 24
AA
Ml
M l M l
ql ql
(53)
Из (53) определяем МА, приведя к общему знаменателю:
4 2 2 2 4
0
2 4 4 12 0.
AA
ql M l M l M l ql
(54)
43
4 2 4
8 2 0.
A
ql M l ql
(55)
2
.
8
A
ql
M
(56)
Определяем реакцию RB из уравнения (48) системы (50):
222
2
0
9
2 2 8
2
.
8
A
B
ql ql ql
ql
MM
R ql
ll
(57)
Определяем реакцию RА из уравнения (47) системы (50):
9
.
88
A
ql
R ql ql
(58)
Определение всех неизвестных сил реакции опор означает раскрытие ста-
тической неопределимости.
5.5. Проверка
В качестве проверки составляем уравнение моментов относительно () В:
( ) 0.MB
2
0
0.
2
AA
ql
M R l M
(59)
2 2 2 2
0.
8 8 2 2
ql ql ql ql
Реакции найдены верно.
5.6. Построение эпюр Q(x) и M(x)
I участок (АВ)
Пометим начало координат этого участка в () А. Произвольно выбранное
сечение на этом участке может принимать следующие значения:
1
0 xl
Внутренняя поперечная сила на участке АВ:
44
1 1 1
( ) .
8
A
ql
Q x R qx qx
(60)
Внутренний изгибающий момент на участке АВ:
22
2
1 1 1
11
( ) .
2 8 8 2
AA
qx qlx qx
ql
M x M R x
(61)
II участок (CB)
Поместим начало координат участка СВ – в () С. Произвольно выбранное
сечение на этом участке принимает следующие значения:
2
0 0,5 .xl
Внутренняя поперечная сила на участке СВ:
2
( ) 0.Qx
(62)
Внутренний изгибающий момент на участке АВ:
2
2
20
4
( ) .
28
ql
M x M const ql
(63)
Функции Q(x) и M(x) для этих участков строим графически в масштабе в
долях
ql
под схемой балки (рис. 29 а, б).
45
Рис. 29. Схема нагружения балки и соответствующие ей эпюры:
а – Q(x), б – M(x), в – f(x)
46
5.7. Построение изогнутой оси балки
Для графического изображения изогнутой оси балки необходимо вычис-
лить значения линейных перемещений нескольких сечений (точнее –центров тяжести этих сечений) балки. В рассматриваемой задаче (рис. 29) вычисляем вер-
тикальные перемещения сечений () 1 и () 2 – середина пролета
l
. Вертикальные
перемещения сечений А и В известны –
0
AB
ff
, так как эти сечения рас-
положены на опорах.
Воспользуемся написанной функцией (2) линейных перемещений сечений
балки. В функцию (2) подставим координату сечения () 1 (
1,5xl
). Это сечение
принадлежит II участку, поэтому в выражении (2) учитываем все слагаемые до
скобки с цифрой II:
3 2 3
44
( ) ( 1,5 )
4 4 4 4 4
3 2 4 3 4
4
(1,5 ) (1,5 ) (1,5 )
1 (1,5 ) (1,5 )
6 2 24 6 24
19
(1,5) (1,5) (1,5) (0,5) (0,5)
48 16 24 48 24
3,375 2,25 5,06 1,125 0,06
48 16 24 48
A A B
C x l
z
z
z
R l M l R l l
q l q l l
f
EJ
ql ql ql ql ql
EJ
ql
EJ
4
25
0,114 .
24
z
ql
EJ
Линейное перемещение () 2 вычисляем, подставив в функцию (2) коорди-
нату этого сечения (
0,5xl
). В выражении (2) учитываем слагаемые до скобки
с цифрой I, так как это сечение принадлежит I участку.
32
4
( )2( 0,5 )
4 4 4
44
(0,5 ) (0,5 )
1 (0,5 )
6 2 24
1
0,125 0,25 0,0625
48 16 24
0,0026 0,016 0,0026 0,01 .
AA
xl
z
z
zz
R l M l
ql
f
EJ
ql ql ql
EJ
ql ql
EJ EJ
Перемещение сечения () 1 в расчете получилось со знаком минус, это ука-
зывает на то, что сечение () 1 сместилось вниз. Соответственно сечение () 2 сме-
стилось вверх.
47
По полученным значениям перемещений сечений () 1 и () 2, а также с уче-
том равенства нулю перемещений сечений А и В строим в масштабе изогнутую
ось балки под эпюрой M(x) (рис. 29 в).
Удобно сопоставить очертание эпюры M(x) (рис. 29, б) с изображением
изогнутой оси балки (рис. 29, в): положительные значения моментов эпюры M(x)
указывают на то, что кривизна изогнутой оси балки на этом интервале положи-
тельная; отрицательные значения моментов эпюры M(x) соответствуют отрицательной кривизне изогнутой оси балки.
Из полученных результатов можно сделать выводы:
опасными сечениями балки являются все сечения, принадлежащие
участку ВС, так как на этом участке наблюдается наибольшее по абсолютной ве-
личине значение внутреннего изгибающего момента
2
max
4
;
8
M ql
наибольшее линейное перемещение (прогиб) испытывает сечение
балки () 1,
4
max
z
ql
f 0,11 .
EJ
С целью закрепить теоретический материал Вам предлагается решить самостоятельно задачи, изображенные на рис. 30.
Условие задачи. Для стальной балки квадратного поперечного сечения
10 × 10 см, изображенной на рис. 30, требуется построить эпюры Q(x), M(x);
эпюру прогибов f(x), вычислив прогибы сечений (1) и (2).
Вариант задачи и данные к ней выбираются по последней цифре номера
студенческого билета с использованием табл. 4.
Т а б л и ц а 4. Вариант задачи для самостоятельной работы и данные к ней
Последняя цифра
студ. билета
Номер
схемы
q, кН/м
l, м
M0, кН·м
Р, кН
1
а
10
4
0,5
40
–
2
б
20
2
0,5
50 – 3
в
15
3
0,5 – 5
4
г
30
5
0,5 – 10
5
а
10
2
0,5
30 – 6
б
15
4
0,5
20
–
7
в
30
3
0,5 – 20
8
г
25
5
0,5 – 10 9 а
20
2
0,5
40
–
10
б
25
4
0,5
30
–
48
Рис. 30. Схемы задач для самостоятельной работы
49
Контрольные вопросы по теме «Плоский поперечный изгиб»
1. Укажите на примере нагруженной балки силовые плоскости при плос-
ком поперечном изгибе.
2. Какие типы опор Вы знаете?
3. Сколько неизвестных реактивных сил дают различные типы опор?
4. Какие балки мы называем статически определимыми (неопредели-
мыми)? Приведите примеры статически определимой и неопределимой балок.
5. Какое сечение балки называют опасным?
6. Какой метод применяют для нахождения внутренних силовых факторов
при изгибе?
7. Постройте эпюры внутренних продольной силы и изгибающего момента
на предложенных Вами примерах нагруженных балок.
8. Напишите дифференциальные зависимости между интенсивностью рас-
пределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.
9. Как определяют внутреннюю поперечную силу (внутренний изгибаю-
щий момент) в сечении балки?
10. Запишите и поясните формулу для определения нормальных напряже-
ний при изгибе.
11. Поясните, как определяют максимальные нормальные напряжения при
изгибе?
12. Поясните, как определяют касательные напряжения при изгибе?
13. Вычислите наибольшие касательные напряжения в балках на предло-
женных Вами примерах.
14. Запишете условие прочности для плоского поперечного изгиба?
15. Запишите уравнения для вычисления линейных и угловых перемеще-
ний балок (на собственных примерах).
16. Определите начальные параметры для балок (на собственных примерах).
50
6. Лабораторные работы по теме плоский поперечный изгиб
6.1. Лабораторная работа 1. Определение нормальных напряжений
в балках при изгибе
Цель работы. Изучение распределения нормальных напряжений по сече-
нию балки при изгибе и сопоставление полученных величин с расчетными.
Основные положения
Испытание на изгиб проводится для практического изучения теоретиче-
ских положений. Теоретическую формулу для вычисления нормальных напряжений получают из рассмотрения равновесия деформаций «продольных воло-
кон» (рис. 31).
Рис. 31. Деформация продольных волокон при изгибе
Интенсивность деформирования любого продольного волокна зависит от
кривизны балки – общего фактора и положения волокна относительно нейтральной оси, координаты Y – частного фактора. Применяя закон Гука
yy
E
и приближенную формулу для кривизны балки
EJ
M
K
изг
,
получаем формулу для вычисления нормального напряжения в сечениях балки:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]