Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сенсорные и перцептивные процессы. Учебное пособие
.pdf
Расчёт и интервальное оценивание некоторых статистических параметров 101
Рассмотрим теперь наиболее важный, на наш взгляд, вопрос, связанный с применением коэффициента корреляции в психологическом исследовании – вопрос об интерпретации факта его статистической значимости. Именно неверный подход к решению этого вопроса служит источником большинства не заслуживающих доверия выводов, сделанных в корреляционных исследованиях. К сожалению, исторически сложилось так,
что неверная интерпретация корреляций стала чуть ли не психологической традицией. Суть последней сводится к тому, что проверяется гипотеза о равенстве коэффициента 0; если гипотеза отвергается, коэффициент признаётся значимым без дальнейшего исследования возможной
природы связи и оценки её силы. Однако рассуждения, производимые на
основании проведённой проверки, часто строятся так, как будто из неравенства r нулю (т.е. коррелированности, наличия статистической связи)
вытекает сильная статистическая или линейная связь.
Обычно для проверки гипотезы о равенстве r нулю рассчитывают
статистику t, которая при ρ = 0
∗
имеет распределение Стьюдента с n−2
степенями свободы:
t =
r√n−2
√
1−r
2
.
Гипотеза отвергается, если |t| > t
cr
, где tcr– критическое значение распределения Стьюдента для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы. Критические значения могут быть определены из таблицы (напр., 3.2) или расcчитаны в табличном процессоре вызовом функции TINV. Следует учитывать, что «в случае проверки нуль-гипотезы
об отсутствии связи между двумя ранговыми переменными находится
точное выборочное распределение r (не Стьюдента – Д.Я. и др.)» [7,
с. 288], и применение данного метода для оценки значимости коэффициента Спирмена допускается только при n > 10. При очень малых n рекомендуется использовать таблицы критических значений r Спирмена,
составленные с учётом необходимых поправок (напр., [13, Приложение B,
с. 453]
1
). Критические значения rcrдля n ≤ 10 приведены в таблице 3.6.
∗
Греческой буквой ρобозначают коэффициент корреляции генеральной совокупности.
1
Приложение, содержащее статистические таблицы, доступно для бесплатного скачивания
по адресу http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9781118342978.app2/pdf. Отдельно таблицу критических значений r Спирмена можно скачать по адресу http://www.real-statistics.com/statisticstables/spearmans-rho-table/. Считаем важным предупредить читателя, что на ряде русскоязычных
102 Методический справочник
Нулевая двунаправленная гипотеза о некоррелированности отвергается,
если |r| ≤ r
cr
.
Таблица 3.6
Критические значения r Спирмена
α
n 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
4 1,000 1,000 – – – –
5 0,800 0,900 1,000 1,000 – –
6 0,657 0,829 0,886 0,943 1,000 –
7 0,571 0,714 0,786 0,893 0,929 1,000
8 0,524 0,643 0,738 0,833 0,881 0,976
9 0,483 0,600 0,700 0,783 0,833 0,933
10 0,455 0,564 0,648 0,745 0,794 0,903
Иногда при тестировании гипотезы о некоррелированности случай-
ных величин рассчитывают точный уровень значимости α. Для этого
определяют площадь под хвостами распределения случайной величины
T (распределения Стьюдента), лежащими за вычисленным значением t.
Так, в случае двунаправленной гипотезы суммируют площади слева
и справа от соответственно −t и t. Эту операцию удобно выполнять
в табличном процессоре при помощи функции T.DIST.2T, принимающей
два аргумента: некое значение (в нашем случае |t|) и число степеней
свободы (n −2). Более традиционная функция TDIST имеет третий аргумент, числовое значение, определяющее, будет ли возвращаться значение
функции плотности вероятности (0) или, как нужно нам, кумулятивной функции распределения (1). TDIST возвращает одностороннюю
площадь, поэтому при проверке двунаправленной гипотезы результат
следует умножить на 2.
Что же практически следует из коррелированности двух случайных
величин, из неравенства коэффициента нулю? Очень часто оказывается,
что в качественных терминах, содержательно эти следствия сформулировать сложно, так как данные не демонстрируют выраженной зависимо-
сайтов в сети Интернет можно найти таблицы, содержащие нескорректированные критические значения, которые при малых n существенно ниже, чем скорректированные. Пользование такими таблицами ведёт к ошибкам первого рода – отвержению нулевой гипотезы в случае, когда она верна.
Расчёт и интервальное оценивание некоторых статистических параметров 103
сти. На рис. 3.4А показан пример статистически значимой положительной (α ≈ 0, 0005), на рис. 3.4Б – отрицательной (α ≈ 0, 0065) связи.
Заметим, что судить даже о направлении связи по разбросам точек
в пространстве признаков (значений двух случайных величин) довольно
трудно. Поэтому, чтобы избежать столь распространённых ошибок интерпретации коэффициента корреляции, для качественных оценок часто
используют специальные шкалы величины корреляционной связи.
А
Б
Рисунок 3.4: взаимное рассеяние значений двух случайных величин, имеющих сов-
местное примерно нормальное распределение. А – r ≈ 0, 34, Б – r ≈ −0, 27
Наиболее традиционная шкала – шкала Чеддока1– приведена в таблице 3.7.
Таблица 3.7
Шкала Чеддока [14] для качественной оценки величины корреляционной
связи
Связь: слабая умеренная заметная сильная очень сильная
r 0,1 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 >0,9
1
Роберт Эммет Чеддок (1879–1940) – видный американский учёный, в 1925 г. возглавлял Американскую статистическую ассоциацию. Парадоксально, но термин «шкала Чеддока» сейчас используется преимущественно в Восточной Европе, тогда как у современных авторов из США он
непопулярен.
104 Методический справочник
Американская психологическая ассоциация по крайней мере с 90-х гг.
прошлого столетия (напр., [15, с. 362]) обращает внимание исследователей на желательность использования показателей величины эффекта,
в том числе и при интерпретации результатов корреляционного анализа. Величина эффекта при корреляционной связи характеризуется либо самим коэффициентом корреляции, либо его квадратом r
2
, дающим
возможность прямо описывать зависимость одной переменной от другой
в терминах доли или процента объясняемой дисперсии: например, при
r ≈ −0, 27 только около 7 % дисперсии одного признака будет объяс-
няться варьированием другого. Значение r
2
, называемого также коэффи-
циентом детерминации и широко применяемого в регрессионном анализе, учитывается современными шкалами величины корреляционной связи
Джейкоба Коэна (1923–1998) [16] и Джеймса Эванса [17] (соответственно
таблицы 3.8 и 3.9).
Таблица 3.8
Шкала Коэна для качественной оценки величины корреляционной связи
Связь: слабая умеренная сильная
r 0,1 – 0,3 0,3 – 0,5 >0,5
r2, % 1 – 10 10 – 25 >25
Итак, признавая r = 0, мы не можем ограничиться констатацией направления связи; необходимо как минимум охарактеризовать её величину. Однако, рассчитав выборочное значение r ≈ −0, 27, можем ли мы
быть уверены в том, что оно действительно репрезентирует слабую связь
по Коэну, что ρ генеральной совокупности не окажется другим? Чтобы как-либо обосновать свою уверенность или неуверенность, нам стоит
вновь обратиться к построению доверительного интервала.
Таблица 3.9
Шкала Эванса для качественной оценки величины корреляционной связи
Связь: очень слабая слабая умеренная сильная очень сильная
r 0 – 0,2 0,2 – 0,4 0,4 – 0,6 0,6 – 0,8 >0,8
r2, % 0 – 4 4 – 16 16 – 36 36 – 64 >64
Расчёт и интервальное оценивание некоторых статистических параметров 105
Опишем основные действия, обычно выполняемые при построении до-
верительного интервала для коэффициента корреляции.
1. Выполним нормализующее преобразование Фишера
1
, вычислив об-
ратный гиперболический тангенс r:
z = 0, 5 · ln(
1+r
1−r
).
Даже при сравнительно небольших n (n > 10, напр., [4, c. 393]) величина z распределена приблизительно нормально со стандартным
отклонением σ
z
.
2. Определим σ
z
=
1
√
n−3
.
3. Получим z-значения нижней и верхней границ доверительного ин-
тервала соответственно вычитанием и прибавлением к r значения
абсциссы кривой нормального распределения, умноженного на σ
z
:
z
l
= z − z
1−α/2
· σ
z
zu= z + z
1−α/2
· σz,
где z
l
– нижняя (lower), zu– верхняя (upper) границы. Значение
z
1−α/2
определяется так же, как при построении доверительного интервала для среднего (раздел 3.1.1), при этом можно использовать
таблицу 3.1. Так, если задана доверительная вероятность 1 − α, следует выбирать значение абсциссы, соответствующее Φ(−z) = α/2.
Например, если α = 0, 05, z
1−α/2
будет составлять 1,96.
4. Выполним обратное преобразование z-значений нижней и верхней
границ доверительного интервала по формуле гиперболического тангенса:
r
x
=
e
2z
x
−1
e
2z
x
+1
,
где e – число Эйлера (≈ 2, 71828), z
x
– любое z-значение.
1
Рональд Эйлмер Фишер (1890–1962) – выдающийся биолог, разработчик значительного числа
математико-статистических методов.
106 Методический справочник
5. Построим доверительный интервал P(rl< ρ < ru).
В табличных процессорах имеются функции FISHER и FISHERINV,
а также полностью аналогичные им ATANH (арктангенс гиперболический) и TANH (тангенс гиперболический), существенно упрощающие
процедуру построения доверительного интервала.
Мы настоятельно рекомендуем при работе с коэффициентами корреляции пользоваться именно интервальными оценками. Это даёт возможность как тестировать гипотезу о равенстве коэффициента нулю, так
и более обоснованно характеризовать силу связи качественно. Кроме того, интервальное оценивание позволяет проверять гипотезы о равенстве
двух или более коэффициентов корреляции.
3.2 Некоторые статистические критерии
3.2.1 Критерии согласия χ2Пирсона
и Шапиро – Уилка
При помощи критериев согласия проверяют гипотезы о соответствии
эмпирического распределения случайной величины какому-либо закону
распределения, определяя, насколько эмпирические частоты согласуют-
ся с теоретическими (ожидаемыми). Критерий согласия χ
2
Пирсона «яв-
ляется наиболее универсальным и наиболее часто используемым из всех
критериев согласия» [5, c. 302]. Вместе с тем, имеются и другие критерии,
которые при определённых условиях оказываются предпочтительнее χ
2
.
Статистика критерия рассчитывается по формуле
χ
2
=
k
i=1
(n
i
−npi)
2
np
i
,
где k – размер статистического ряда (количество интервалов группирования при расчёте частот), n – объём выборки, n
i
– эмпирическая частота
выборочных значений, попавших в i-ый интервал, p
i
– ожидаемая вероятность появления значения исследуемой случайной величины в i-ом
интервале группирования в случае, если она распределена по предполагаемому закону.
Некоторые статистические критерии 107
Если нулевая гипотеза о том, что исследуемая случайная величина
распределена по некоторому теоретическому закону, верна, при увеличении n распределение статистики критерия будет стремиться к распреде-
лению χ
2
(Пирсона) с ν = k − r − 1 степенями свободы, где k – размер
статистического ряда, r – количество неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборочным данным [5]. Причём сказанное справедливо, каким бы ни был предполагаемый закон распределения. Таким
образом, критерий Пирсона может применяться для проверки гипотез
о самых разных распределениях. Имеются, однако, условия, очень сильно
ограничивающие применение критерия на практике. Наиболее важным
для нас является объём выборки n, некоторым образом связанный с минимальными значениями рассчитываемых частот. В литературе высказываются различные мнения относительно допустимого n. Так, Ратмир
Николаевич Вадзинский ссылается на работы, содержащие утверждения
о возможности применения критерия при n ≥ 50 и даже n ≥ 25; во
втором случае имеется требование, чтобы не менее 80 % процентов рассчитанных частот были равны или превышали 5 [5, с. 298]. Для проверки
согласия статистических рядов, длина которых равна 2, т. е. при анализе
таблиц сопряжённости 2×2, совершенно необходимо, чтобы минималь-
ная частота составляла не менее 5 [8].
Нулевая гипотеза о согласии эмпирического и теоретического распре-
делений не отвергается, если расчётное значение статистики χ
2
меньше
критического, определяемого по таблицам распределения χ
2
(напр., [13,
Приложение B, с. 473]).
Основываясь на том, что распределение статистики
χ2−ν
√
2ν
, где ν – степени свободы, стремится к стандартному нормальному, Всеволод Иванович Романовский (1879–1954)
1
предложил [18, c. 96] считать расхож-
дение между эмпирическими и ожидаемыми частотами существенным,
если
χ2−ν
√
2ν
≥ 3 (в т. ч. [5]). В ряде источников предложенную статистику
именуют критерием Романовского, что вносит определённую путаницу:
критерием Романовского также принято именовать статистику, используемую для исключения грубых погрешностей (метод не рассматривается
в данном пособии).
1
Выдающийся статистик, с 1911 г. работавший в Императорском Варшавском университете.
В 1915 г. вместе с университетом он эвакуировался в Ростов-на-Дону и до 1918 г. преподавал в нашем
городе.
108 Методический справочник
Следует иметь в виду, что в современной западной литературе применять критерий согласия Пирсона для проверки нормальности не рекомендуют (напр., [19, с. 94]) по причине его недостаточной мощности.
Однако он широко используется для анализа частот категориальных признаков, долей и т.д.
Специально для проверки гипотез о нормальности распределений был
разработан критерий Шапиро – Уилка
1
. Он характеризуется достаточной
мощностью даже при работе с выборками небольшого объёма. Первоначальный вариант критерия был предназначен для 3 ≤ n ≤ 50 (практическое применение имеет смысл при n ≥ 8), существуют также многочисленные модификации для б´ольших n [19, с. 95]. Статистика критерия
рассчитывается по формуле
W =
(
m
k=1
ak(x
n+1−k−xk
))
2
n
i=1
(xi−¯X)
2
.
Перед вычислением выборочные значения располагают в порядке неубывания и нумеруют. Если n чётно, то m =
n
2
, если нет, то m =
n−1
2
. Ко-
эффициенты a
k
определяются из таблиц. Применение критерия Шапиро – Уилка для проверки нормальности регламентируется ГОСТ Р ИСО
5479 – 2002 [20]; этот документ содержит таблицы и коэффициентов a
k
для 8 ≤ n ≤ 50, и критических значений W для p-уровней 0, 01 и 0, 052.
При пользовании таблицами критических значений следует иметь в виду,
что нулевая гипотеза о нормальности не отклоняется при W > W
cr
.
Вычисление значения критерия даже с использованием табличного
процессора является довольно трудоёмким. Мы рекомендуем использовать для расчётов вычислительную среду R, в которой имеется функция
shapiro.test.
3.2.2 Критерий Фишера
Если две генеральные совокупности распределены нормально, для
проверки равенства их дисперсий можно воспользоваться критерием Фи-
1
Сэмуел Сэнфорд Шапиро и Мартин Бредбери Уилк (1922–2013) – выдающиеся статистики,
действительные члены Американской статистической ассоциации. Рассматриваемый критерий был
предложен ими в совместной работе, опубликованной в 1965 г.
2
Таблицы с б ольшим числом p-уровней можно скачать по адресу http://www.real-
statistics.com/statistics-tables/shapiro-wilk-table/.
Некоторые статистические критерии 109
шера. Это простой, но очень важный критерий, широко используемый
в процедурах регрессионного и дисперсионного анализа. Статистика критерия представляет собой отношение б ольшей дисперсии к меньшей:
F =
max(s
2
x
,s
2
y
)
min(s
2
x
,s
2
y
)
,
где s
2
x
и s
2
y
– исправленные оценки генеральных дисперсий, рассчитанные
по выборкам:
s
2
=
n
i=1
(xi−¯X)
2
n−1
.
Если нулевая гипотеза о равенстве дисперсий верна, то статисти-
ка F имеет F-распределение (Фишера – Снедекора
1
) c n
max(s
2
x
,s
2
y
)
− 1
и n
min(s
2
x
,s
2
y
)
− 1 степенями свободы (мы обозначаем n
max(s
2
x
,s
2
y
)
и n
min(s
2
x
,s
2
y
)
объёмы выборок с соответственно б ольшей и меньшей дисперсиями).
Гипотеза о равенстве отвергается в пользу альтернативы max(s
2
x
, s
2
y
) >
min(s
2
x
, s
2
y
), если F > Fcr.
Критические значения находят по таблицам (напр., [13, Приложение B, с. 458]; таблицы критических значений и способ расчёта содержатся также в ГОСТ Р 50779.21 – 2004 [21]. Для проверки односторонней гипотезы с альтернативой max(s
2
x
, s
2
y
) > min(s
2
x
, s
2
y
) в табличном процессоре можно использовать функцию FINV, принимающую в качестве
аргументов α-уровень и два значения степеней свободы n
max(s
2
x
,s
2
y
)
− 1
и n
min(s
2
x
,s
2
y
)
−1. Функция возвращает табличные значения Fcr. Используя
функцию FDIST с аргументами (F; n
max(s
2
x
,s
2
y
)
− 1; n
min(s
2
x
,s
2
y
)
− 1), можно
получить значение вероятности равенства дисперсий при одностороннем
тесте.
В табличных процессорах имеется также функция FTEST, возвращающая двустороннюю вероятность того, что дисперсии выборок одинаковы (рассматривается альтернативная гипотеза s
2
x
= s
2
y
). В качестве аргументов функция принимает два диапазона ячеек, содержащих выборочные значения. Чтобы получить одностороннюю вероятность, результат
следует разделить на 2. Для вычисления дисперсии по выборке можно
использовать функцию VAR.
1
Джордж Уоддел Снедекор (1881–1974) – выдающийся статистик, ученик Фишера.
110 Методический справочник
3.3 Измерение и расчёт некоторых
характеристик стимула
3.3.1 Вычисление угловых размеров визуального
стимула
В психофизике принято выражать размеры стимула в угловых единицах, т. к. в противном случае нужно было бы указывать и расстояние от
глаз испытуемого до объекта, и метрические размеры объекта. Допустим,
глаз испытуемого (или область nasion – в этом случае расчёт будет менее
точным) расположен в точке O (рис. 3.5). Можно измерить расстояние
до объекта OA, а также размер объекта 2AB. Чтобы вычислить угловой размер объекта 2α, можно построить прямоугольный треугольник
OAB с катетами AB (противолежащий искомому углу α) и OA (прилежащий к α). Тангенс α равен отношению AB к OA; таким образом,
2α = 2 arctg
AB
OA
1
.
Рисунок 3.5: пример вычисления угловых размеров объекта
1
Для вычисления арктангенса в табличном процессоре можно использовать функцию ATAN,
возвращающую величину угла в радианах, для перевода радианов в градусы – функцию DEGREES.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]