Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проявление автоколебательных процессов. Особенности строения и работы шарикоподшипников. Учебное пособие
.pdf
или
2
0
20
2
rf
I
2
0
mgl
I
( ) 0f
()fr
( ) 0f
( ( ) )fr
2
0
20
()
2
rf
I
( ) constf
0
cos ,
t
et
22
0
0, ( )
( ) constf
. (39)
Здесь
В случае, когда
, (40)
. (41)
и при этом
, происхо-
дят затухающие колебания. В этих условиях процесс затухания
более медленный, чем при нахождении маятника на подвесе
с осью, не испытывающей вращения.
В другом случае, когда
абсолютной величине больше r
и при этом значение по
, коэффициент при
будет иметь отрицательное значение.
В результате приходим к дифференциальному уравнению
вида
Здесь коэффициент
может иметь отрицательное
. (42)
значение.
В том случае, когда функция
, уравнение (42)
становится линейным. В результате решение дифференциального уравнения имеет несколько другой вид и реализуется процесс
нарастания амплитуды колебаний по величине:
где
В реальном случае, когда
ражает нелинейный характер колебаний, что находит отражение
в следующем явлении (рис. 13).
(43)
.
, уравнение (42) от-
31
Рис. 13. Графическая зависимость, отражающая переход к устойчивым
колебаниям от неустановившихся колебаний
Как видно из рис. 13, нарастание колебаний происходит до
критических значений, пока не установятся стационарные автоколебания. В результате наступает энергетический баланс: потери энергии системы равны подводимой энергии к системе.
Таким образом, наглядно продемонстрировано проявление
автоколебательных процессов, в которых определяющую роль
играют силы трения.
32
7. БИЕНИЯ. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
10
.
С БЛИЗКИМИ ЧАСТОТАМИ,
ПРОИСХОДЯЩИМИ ВДОЛЬ ОДНОЙ ПРЯМОЙ
Особый интерес представляет сложение двух гармониче-
ских колебаний одинакового направления с близкими частота-
ми. Установлено, что результирующее колебание при таких
условиях можно с хорошим приближением считать гармоническим колебанием с пульсирующей амплитудой. Колебания тако-
го вида получили название биения (рис. 14).
Рис. 14. Графическое представление процессов биений при
и график изменений амплитуды биений (б)
Проведем сложение двух колебаний одного направления
и одинаковой амплитуды A1 = A2 = A. Частоты этих двух колеба-
ний 1 и 2 близки и, соответственно, 1 2= очень мало
отличаются
Здесь 1 2=.
Запишем два уравнения гармонических колебаний с этими
условиями:
(а)
33
11
1
cos( )x A t
2
22
cos( )x A t
1 2 1 1 2 2
cos( ) cos( )x x x A t A t
1 2 1 2
2 cos cos
22
x A t t
12
2
12
2 cos cos
2
x A t t
12
2
12
2
12
рез
cos
2
А A t
,
.
Используя принцип суперпозиции, проведем сложение
двух гармонических колебаний:
Для упрощения расчетов примем, что 1 = 2 = 0, тогда
уравнение можно преобразовать к виду
Обозначим
.
.
С учетом выше приведенных обозначений окончательно
получаем:
.
Так как по условию 1 близка к 2, то величина
.
мала по сравнению с угловой скоростью . Отсюда следует, что
результирующее движение с частотой
исходить с медленно меняющейся амплитудой.
Для процессов биений является характерным периодическое изменение амплитуды результирующего колебания
34
будет про-
.
Абсолютное значение функции cos используется в этом
12
12
биений
2
2
биений
12
2Т
уравнении из следующих соображений. Согласно свойству три-
гонометрической функция cos, которая может быть > 0 или < 0,
частота изменения амплитуды максимального по модулю значения функции cos будет в два раза больше частоты функции cos.
Тогда частота биений
.
В результате период колебаний биений будет равен:
.
Таким образом, из приведенных расчетов следует, что биения можно считать условно гармоническим колебанием. При этом
в биениях амплитуда колебаний то увеличивается, то уменьшается
и изменяется по некоторому периодическому закону.
35
8. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
00
0
1
( ) ( cos( ) sin( )),
2
n
n
a
x t a n t n t
0
0
1
( ) cos( ).
2
n
n
n
a
x t a n t
22
,
n
n
A a b
n
,
n
n
n
b
tga
/2
/2
2
( )cos( ) ,
T
n
T
a x t n t dt
T
В более общих случаях возможно сложение гармонических колебаний, когда их частоты не равны друг другу 1 2.
В результате получается гармоническое колебание с непостоян-
ной амплитудой. Поэтому такие колебания относят к сложным
колебаниям.
Приведем определение сложного колебания. Сложное не-
гармоническое периодическое колебание с периодом Т вида
х = x(f) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний (гармоник) с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте = 2 / T разложением
в ряд Фурье:
(44)
где a0, aп и bп коэффициенты Фурье; n номер гармоники,
первая гармоника названа основной.
Выражение (44) в амплитудной форме имеет вид
Коэффициенты в этом выражении определяются по фор-
мулам
36
/2
/2
2
( )sin( ) ,
T
n
T
b x t n t dt
T
/2
/2
2
( ) .
T
n
T
a x t dt
T
0
( ) ( )cos( )x t A t t
0
( ) (1 cos( ))A t A m t
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
00
( ) (1 cos( ))cos( ) cos( ) cos( )cos( )
cos( ) cos( ) cos( ) .
22
x t A m t t A t A m t t
A m A m
A t t t
где n = 0, 1, 2, ... .
Когда п = 0, коэффициент аn равен выражению
В реальных процессах наблюдаются негармонические пе-
риодические колебания х(t), которые обычно представляют в виде
экспериментальных графических или табличных зависимостей.
Затем эти зависимости описываются приближенным образом на
основе коэффициентов Фурье, с помощью методов численного
интегрирования. Стандартным методом является использование
нескольких первых значений коэффициентов ряда Фурье. Таким
образом, используют только первые гармоники. Разложение
сложного колебания на составляющие его простые гармоники
называется гармоническим анализом. Главной особенностью гар-
монического анализ является возможность детального анализа
при описании сложных колебательных процессов.
Рассмотрим пример амплитудно-модулированного колебания
где амплитуда меняется по закону
,
; кон-
станта m < 1 называется глубиной модуляции.
Для разложения этой функции в ряд Фурье не обязательно
пользоваться формулами разложения в ряд. Можно использо-
вать простейшие тригонометрические преобразования:
37
Итак, амплитудно-модулированное колебание представля-
00
0
0
1
0
2
0
3
( ) cos( ),
( ) cos( ) ,
2
( ) cos( )
2
x t A t
A
x t t
A
x t t
ется в виде суммы трех гармонических функций (трех гармоник):
с частотами 0, + , и амплитудами А0, А0т/2 и А0т/2.
Колебание х
(t) называется несущим колебанием, a х2(t)
1
и х3(t) боковыми гармониками. Полученный результат обычно представляют в графическом виде, как показано на рис. 15.
На графике по оси абсцисс откладывают частоты слагаемых
гармонических колебаний, а по оси ординат частоты амплитуд колебаний.
Рис. 15. Частотно-амплитудная зависимость гармоник колебаний
Таким образом, приведенные в этом разделе основы колебательных процессов в простых модельных системах необходимы для понимания колебательных процессов в различных кон-
струкциях и механизмах.
38
9. ПОДШИПНИКИ КАЧЕНИЯ И ВИБРАЦИЯ
9.1. Общие положения
Вибрация в технике рассматривается главным образом как
вредный фактор. Очень часто основной причиной поломок
и аварий является вибрация. Как известно, из прикладной теории колебаний следует раздел механики теории вибрационных
процессов и устройств. Ниже мы кратко рассмотрим, как вибрационные процессы проявляются в работе подшипников.
Подшипники относятся к нелинейным системам, и поэто-
му колебания в них могут возникать и устойчиво существовать,
это обусловлено природой автоколебаний. При этом надо учи-
тывать, что в нелинейных механических системах автоколебания могут быть причиной нежелательных явлений [1].
В подшипниках проходят процессы и явления, происходящие при наличии вибрации. Для этих явлений характерно нало-
жение «быстрых» высокочастотных колебаний на «медленное»
движение. В результате проявляются эффекты исчезновения
прежних и появление новых положений равновесия и видов
движения системы. При этом происходит смена характера по-
ложений равновесия (т. е. их устойчивости или неустойчивости)
с изменением частот малых свободных колебаний вблизи положений устойчивого равновесия.
Величина вибрации подшипников связана с биениями, которые возникают в процессе эксплуатации. Изготовленные со-
гласно государственным стандартам подшипники всегда обладают биениями, величина которых, согласно ГОСТ 520–2011,
должна находиться в определенных границах.
9.2. Назначение, типы, область применения,
разновидности конструкций подшипников качения
Подшипники являются важным элементом различных технических устройств. Существуют подшипники скольжения, подшипники качения, магнитные подшипники.
39
Главной функций подшипника является поддержание в про-
странстве различных деталей или элементов конструкций, враща-
ющихся на осях, или линейное перемещение с минимальными
энергопотерями и с высоким коэффициентом полезного действия.
При эксплуатации подшипники воспринимают различные нагрузки: радиальные и осевые. Эти нагрузки приложены к валу или оси.
Затем эти нагрузки передаются к корпусу или части конструкций.
Причины, вызывающие быстрый выход из работы
подшипников. Подшипники качения относятся к важным эле-
ментам различных механизмов и конструкций. Их надежная работа зависит от дефектов, которые образуются как при изготов-
лении, установке, так и в процессе эксплуатации.
Дефекты изготовления могут оказать значительное влияние на срок эксплуатации подшипников. Отметим основной ти-
пичный дефект изготовления: плавные отклонения формы по-
верхностей качения от идеальной. Эти дефекты рекомендуют
выявлять во время выходного контроля на специальных вибрационных стендах. В этом случае частота вращения подшипника
может достигать достаточно больших значений порядка 3–5 Гц.
Другие дефекты изготовления относятся к скрытым. Это
трещины, сколы и т. д. Эти дефекты способствуют появлению
ударных импульсов. Наличие этих дефектов можно обнаружить
измерением высокочастотного шума подшипника. Таким мето-
дом контроля подшипников можно диагностировать работу низ-
кооборотных подшипников. Типовые дефекты монтажа подшипников, приводящие к значительному увеличению локальных
нагрузок на поверхности качения и снижению толщины масляной пленки в точках приложения этих нагрузок, чаще всего обнаруживаются по росту среднечастотной вибрации подшипни-
кового узла.
Выявлен целый ряд проблем, влияющих на качество диа-
гностики подшипников. Рассмотрим некоторые из них.
Первая проблема. В механизмах, в которых используют
низкооборотные подшипники, дефекты монтажа проявляют себя
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]