Прямолинейные колебания материальной точки. Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Строительный факультет

Кафедра механики

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Методические указания

Санкт-Петербург

2016

1

УДК 531.31 (076)

Рецензент д-р техн. наук, профессор В. М. Петров (СПбГАСУ)

Прямолинейные колебания материальной точки: метод.

указания / сост. Н. К. Лукашевич; СПбГАCУ. – СПб., 2016. – 24 c.

Содержатся общие сведения по прямолинейным колебаниям материальной точки. Рассмотрены варианты составления дифференциальных уравнений колебаний при разных постановках задач: наличие демпфера, колебание верхнего конца пружины и т. д. Приведен пример выполнения типовой задачи.

Предназначены для выполнения расчетно-графической работы по динамике студентами специальности 15.03.03 «Прикладная механика».

Ил. 18. Библиогр.: 5 назв.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2016

2

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Колебательное движение

Колебаниями называется движение, при котором точка неограниченное число раз проходит по одному и тому же пути в противоположные стороны. Колебание материальной точки происходит, если на точку, отклоненную от положения равновесия, действует восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в это положение.

Колебательные процессы часто встречаются в механике. Для изучения основных законов колебаний достаточно рассмотреть наиболее простой случай – прямолинейные колебания материальной точки. В механике различают:

1)свободные колебания под действием только восстанавливающей силы;

2)свободные затухающие колебания под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению;

3)вынужденные колебания под действием восстанавливающей силы и возмущающей силы;

4)вынужденные колебания под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления движению.

2.Свободные колебания под действием только восстанавливающей силы

Пусть на материальную точку, движущуюся прямолинейно вдоль оси X, действует восстанавливающая сила, модуль которой F cx, где с – коэффициент, характеризующий восстанавливающую силу (рис. 1).

Составим для точки основное урав-

Обозначив коэффициент mc k 2, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки в виде

Это однородное дифференциальное уравнение, решение которого записывается в виде

x C1coskt C2 sinkt,

где С1 и С2 – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Из уравнения видно, что прямолинейные колебания материальной точки совершаются по гармоническому закону, где А – амплитуда колебаний; – начальная фаза; (kt ) – фаза колебания.

Амплитуда – величина, равная наибольшему отклонению точки от центра колебаний.

Период колебаний Т – промежуток времени, в течение которого происходит одно полное колебание. Период колебаний связан с циклической частотой выражением

T 2kπ.

Частота колебаний – число колебаний, совершаемых за одну секунду. Это величина, обратная периоду колебаний:

T1 2kπ.

Амплитуда А и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий. Циклическая частота k и период T от начальных условий не зависят, они зависят только от массы точки и от коэффициента с, характеризующего восстанавливающую силу. Частота и период являются неизменными характеристиками данной колебательной системы.

4

3. Влияние постоянной силы на свободные колебания

Пусть на материальную точку, совершающую прямолинейные колебания вдоль оси X (рис. 2), действуют сила тяжести mg (посто-

янная сила) и сила упругости пружины Fупр (восстанавливающая

сила). На рисунке пружина показана в трех положениях: недеформированном, в положении статического равновесия точки и в процессе колебаний. Начало координат на оси X находится в положении статического равновесия точки. Модуль силы упругости Fупр c( ст x), где ст – статическое удлинение пружины.

X X

Рис. 2

Составим для точки основное уравнение динамики в проекции на ось X:

m

уравнение свободных колебаний материальной точки

5

x k 2x 0.

Из уравнения видно, что постоянная сила не изменяет характера колебаний, она смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического удлинения ст.

4. Свободные затухающие колебания под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной скорости

Пусть на материальную точку, совершающую прямолинейные колебания вдоль оси X, действует восстанавливающая сила, модуль которой F cx, и сила сопротивления, пропорциональная скорости, модуль которой R x (рис. 3).

Составим для точки основное урав-

уравнение колебаний материальной точки в виде

x 2nx k 2x 0.

Решение данного дифференциального уравнения:

1. Если k < n или k = n, решения уравнения имеют соответственно вид

xС1e (n )t C2e (n )t и x e nt (C1 C2t), где n2 k2.

Колебания при этом не возникают, так как силы сопротивле-

ния очень велики.

2. Если k > n, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало, решение уравнения записывается в виде

x e nt (C1 cosk1t C2 sink1t),

6

Из формулы видно, что период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.

где А – амплитуда колебаний; – начальная фаза; (k1t ) – фаза колебания.

5.Вынужденные колебания под действием восстанавливающей силы и возмущающей силы

Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую вместе с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей.

Пусть на материальную точку, совершающую прямолинейные

Составим для точки основное уравнение динамики в проекции на ось X:

mx cx Q0 sin pt.

Преобразуем полученное уравнение к виду

x mc x Qm0 sin pt.

7

Обозначив: mc k 2 и Qm0 H , получим дифференциальное

уравнение вынужденных колебаний материальной точки при отсутствии сопротивления в виде

x k 2x H sin pt,

где k mc – циклическая (круговая) частота колебаний.

Это неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого записывается как сумма двух решений:

x x1 x2,

где x1 – общее решение однородного дифференциального уравнения (x k 2x 0); x2 – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

При одновременном действии на точку восстанавливающей силы и возмущающей силы точка совершает сложные колебания, состоящие из собственных колебаний с амплитудой А и частотой k и вынужденных колебаний с амплитудой В и частотой р.

Амплитуда А и начальная фаза свободных колебаний зависят от начальных условий. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий.

8

Биение – явление, возникающее при частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний. При этом амплитуда вынужденных колебаний периодически изменяется (рис. 5).

Резонанс – явление, возникающее при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний. При этом размах (амплитуда) колебаний неограниченно возрастает (рис. 6).

6. Вынужденные колебания при наличии силы сопротивления

Пусть на материальную точку, совершающую прямолинейные колебания вдоль оси X, действуют восстанавливающая сила, модуль которой F cx, сила сопротив-

Q Q0 sin pt (рис. 7).

Составим для точки основное уравнение динамики в проекции

на ось X:

mx x cx Q0 sin pt .

Преобразуем полученное уравнение к виду

x m x mc x Qm0 sin pt .

9

Обозначив: m 2n , mc k 2 и H Qm0 , получим дифференци-

альное уравнение вынужденных колебаний материальной точки при наличии сопротивления в виде

x 2nx k 2x H sin pt .

Это неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого записывается как сумма двух решений:

x x1 x2,

где x1 – общее решение однородного дифференциального уравнения; x2 – частное решение неоднородного дифференциального

уравнения.

При k < n или k = n собственные колебания не возникают, поэтому рассмотрим случай, когда k > n, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало:

x2 Bsin(pt ), где B k 2 H p2 ; – сдвиг фазы.

Решение дифференциального уравнения имеет вид x Ae nt sin(k1t ) B sin(pt ).

При наличии силы сопротивления собственные колебания точки быстро затухают и по истечении некоторого времени установления tу ими практически можно пренебречь. Колебания будут

происходить по закону x B sin(pt ).

Частота р и период 2 вынужденных колебаний равны ча- p

стоте и периоду возмущающей силы. Фаза вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления (pt ) отстает от фазы возмущающей силы на величину , называемую сдвигом фазы.

Сдвиг фазы зависит от отношения kp , характеризующего возму-

щающую силу, и от отношения kn , характеризующего сопротивле-

ние среды.

10