Прямолинейные колебания материальной точки. Методические указания

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задачи на исследование прямолинейного колебательного движения материальной точки весьма многочисленны. Колебательные системы могут состоять из нескольких пружин, соединенных различными способами, содержать демпфер, создающий сопротивление движению. Точка присоединения пружины к поверхности также может совершать колебания. Колебания происходят вертикально или по наклонной плоскости с различными начальными условиями.

При решении колебательную систему сначала приводят к простейшему виду: материальная точка (груз) на одной пружине, прикрепленной к поверхности. Для этого систему пружин приводят к одной пружине эквивалентной жесткости, демпфер заменяют силой сопротивления, пропорциональной скорости, колебания конца пружины учитывают соответствующим изменением деформации пружины при определении силы упругости. Массой пружин, жесткого бруска, к которому прикрепляются пружины, и демпфера пренебрегают.

При выводе дифференциального уравнения колебаний груза пружину с грузом необходимо изобразить в трех положениях: недеформированном (только пружина), в положении статического равновесия и в процессе колебаний. Для систем, состоящих из двух грузов, один из которых убирают или присоединяют к другому грузу, изображают статические положения одного и двух грузов. Начало координат на оси X помещают в положение статического равновесия, около которого происходят колебания точки, или в точку присоединения пружины к поверхности. Полученные дифференциальные уравнения движения имеют стандартный вид, и для их решения можно использовать таблицу, приведенную в приложении.

Рассмотрим различные частные случаи упрощения колебательной системы и вывода дифференциального уравнения колебаний груза.

1. Определение жесткости эквивалентной пружины

В системе, совершающей прямолинейные колебания, пружины могут быть соединены последовательно, параллельно и груз может находиться между пружинами, прикрепленными к непо-

11

движным поверхностям. Во всех этих случаях система приводится к простейшему виду «груз на пружине», при этом исходные пружины с жесткостями c1 и c2 заменяются эквивалентной пружиной

сжесткостью с.

1.Последовательное соединение пружин (рис. 8)

c c1 c2.

3. Груз между пружинами (рис. 10)

2. Наличие демпфера, создающего силу сопротивления, пропорциональную скорости

Груз массой m совершает прямолинейные колебания вдоль оси X с помощью системы двух параллельных пружин одинаковой жесткости c1, содержащей демпфер, создающий силу сопротивле-

ния движению, пропорциональную скорости (рис. 11).

Приведем систему к простейшему виду «груз на пружине», заменив исходные пружины, соединенные параллельно, эквивалентной пружиной с жесткостью c 2c1; действие демпфера – си-

лой сопротивления, модуль которой R x. Изобразим пружину

с грузом в трех положениях: недеформированном (только пружина), в положении статического равновесия и в процессе колебаний. На груз в статическом положении действуют сила тяжести mg

и статическая сила упругости пружины Fупрст , на груз, совершающий колебания, – сила тяжести mg , сила упругости пружины Fупр и си-

ла сопротивления R (рис. 12). Начало координат на оси X (точка О) поместим в положение статического равновесия, около которого происходит колебание груза.

Составим для груза основное уравнение динамики в проекции на ось X:

mx mg R Fупр.

С учетом того, что R x, Fупр c l и l ( ст x), получим mx mg x c( ст x).

13

Для определения статического удлинения пружины ст рас-

смотрим груз в статическом положении (см. рис. 12) и запишем для него уравнение равновесия

Отсюда

Fупрст mg и ст mgc .

Подставив значение статического удлинения в уравнение движения, получим

уравнение колебаний материальной точки в виде

x 2nx k 2x 0.

Согласно дифференциальному уравнению груз совершает свободные затухающие колебания.

Решение данного уравнения берем из приложения.

3. Колебание верхнего конца пружины

Груз массой m присоединяют к недеформированной пружине жесткости с и отпускают без начальной скорости, одновременно верхний конец пружины (точка В) начинает совершать движение по закону Qsin pt . Ось направлена вертикально вниз (рис. 13).

Изобразим пружину с грузом в трех положениях: недеформированную, в статическом положении груза, в процессе колебаний

(рис. 14).

На груз в статическом положении действуют сила тяжести mg и статическая сила упругости пружины Fупрст ; на груз, совершающий колебания, – сила тяжести mg и сила упругости пружины Fупр.

14

Начало координат (точка О) поместим в положение статического равновесия, около которого происходит колебание груза.

Составим для груза основное уравнение динамики в проекциях на ось X:

mx mg Fупр.

С учетом того, что сила упругости Fупр c l и l cт x , так как за счет движения точки B деформация пружины уменьшается на величину , получим

mx mg c( ст x ).

Для определения статического удлинения пружины ст рас-

смотрим груз в статическом положении (см. рис. 14) и запишем для него уравнение равновесия

Отсюда

Fупрст mg и ст mgc .

Подставив значение статического удлинения в уравнение колебаний, получим

mx mg c mgc cx с

или

mx cx Q sin pt .

Преобразуем полученное уравнение:

x mc x Qm sin pt .

15

уравнение вынужденных колебаний материальной точки в виде

x k 2x H sin pt .

Решение данного уравнения берем из приложения.

4. Прямолинейные колебания точки на гладкой наклонной плоскости

Груз массой m, подвешенный на пружине, совершает прямолинейные колебания по гладкой наклонной плоскости вдоль оси X

(рис. 15).

Изобразим пружину с грузом в трех положениях: недеформированном (только пружина), в положении статического равновесия и в процессе колебаний. Схемы на рисунке расположим так, чтобы поверхности, к которым прикреплена пружина, находились на одной линии и можно было определить деформации пружин (рис. 16).

16

На груз в статическом положении действуют сила тяжести mg , статическая сила упругости пружины Fупрст и нормальная реак-

ция поверхности N ; на груз, совершающий колебания, – сила тяжести mg , сила упругости пружины Fупр и нормальная реакция по-

верхности N . Начало координат на оси X (точка О) поместим в положение статического равновесия, около которого происходит колебание груза.

Составим для груза основное уравнение динамики в проекции на ось X:

mx mg sin Fупр.

С учетом того, что сила упругости Fупр c l и l ст x , получим

mx mg sin c( ст x).

Для определения статического удлинения пружины рассмотрим груз в статическом положении (см. рис. 14) и запишем для него уравнение равновесия

Отсюда

Fупрст mg sin и ст mg sinc .

Подставив значение статического удлинения в уравнение движения, получим

mx mg sin c mg sinc cx

или

mx cx .

Преобразуем полученное уравнение:

x mc x 0.

Обозначив: mc k 2, получим дифференциальное уравнение

свободных колебаний материальной точки в виде

x k 2x 0.

Из уравнения видно, что наклонная плоскость не влияет на характер колебаний.

17

5.Пример решения задачи на прямолинейные колебания точки

Дано: грузы D и E массами mD = 2 кг и mE = 1 кг, соединенные нитью, висят на двух последовательно соединенных пружинах, коэффициенты жесткости которых c1 = 1200 Н/м, c2 = 3600 Н/м

(рис. 17). В некоторый момент времени нить, соединяющую грузы, перерезают.

Определить уравнение движения груза.

Решение

Приведем исходную систему к виду «груз на пружине», заменив пружины, соединенные последовательно, эквивалентной пружиной с жесткостью:

Изобразим пружину с грузом D в трех положениях: недеформированном (только пружина), в статическом положении и в процессе колебаний, а также два соединенных груза D и E в статическом положении. На грузы D и E в статическом положении дей-

ствуют сила тяжести mDE g и статическая сила упругости Fупрст DE , на груз D в статическом положении действуют сила тяжести mg и статическая сила упругости Fупрст , на груз D, совершающий колебания, – сила тяжести mg и сила упругости Fупр (рис. 18). Для удобства за-

писи значения величин для груза D будем обозначать без дополнительных индексов. Начало координат (точка О) поместим в положение статического равновесия груза D, около которого происходит колебание груза.

18

Составим для груза D основное уравнение динамики в проекции на ось X:

mx mg Fупр.

С учетом того, что Fупр c l и l ( ст x), получим

mx mg c( ст x).

Для определения статического удлинения пружины ст рассмотрим груз D в статическом положении (см. рис. 18) и запишем

колебаний груза в виде

x k 2x 0.

Это стандартное дифференциальное уравнение, его решение

где С1 и С2 – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Для определения двух неизвестных постоянных интегрирования необходимы два уравнения. Одно из них – уравнение движения (колебаний) (1); второе – уравнение скорости – получим, взяв производную по времени:

Запишем начальные условия (при t0 0).

По условию задачи в начальный момент времени груз D находился в положении статического равновесия двух грузов, тогда его

начальная координата x0 ( DEcт cт); когда перерезали нить, си-

стема находилась в покое, следовательно, начальная скорость x0 0.

Для определения статического удлинения пружины DEcт рас-

смотрим статическое положение грузов D и E (см. рис. 18) и запишем для них уравнение равновесия

Подставим начальные условия при t 0 в уравнения (1) и (2),

получим:

cт C1 1 C2 0; 0 C1k 0 C2k 1.

Отсюда C1 cт – 0,01 м, C2 0.

Определим циклическую частоту:

20