Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проявление автоколебательных процессов. Особенности строения и работы шарикоподшипников. Учебное пособие
.pdf
Смещение тела массой т выразим через х. Скорость, с ко-
0
v v x
0
( ) ( )F v F v x
0
()mx bx kx F v x
0
( ) ( )F v F v x
0
xv
0 0 0
( ) ( ) ( ) ...F v x F v xF v
)
00
( ( )mx b F v x kx F v
0
()Fv
k
)
0
(b F v
0
()Fv
()Fv
торой смещается тело из положения равновесия – черезx. В этой
системе сила трения, действующая на тело массой m, функцио-
нально зависит от относительной скорости
и может
быть записана таким образом:
. «Результирую-
щий» коэффициент упругости выразим через k и сделаем предположение, что он пропорционален первой степени скорости. Это
относится ко всем силам трения, действующим в этой системе:
сопротивление воздуха, внутреннее трение в пружинах. В этом
случае уравнение движения тела массой т запишется так:
Здесь
является функцией, характеризующей за-
. (19)
висимость силы трения от относительной скорости v. Здесь x –
ускорение, с которым смещается тело из положения равновесия.
Эта функция является характеристикой трения. Для случаев
проводим разложение функции F в ряд. В окрестности
значений v0 ограничимся одним первым членом ряда. Тогда
В результате уравнение движения (19) примет вид
. (20)
В этом уравнении стоящий справа член F(0) характеризу-
ет смещение из положения равновесия на величину
в направлении движения ленты на рис. 7. Выражение в квадрат-
ных скобках
ние зависит от вида характеристики трения. Значение
можно определить по углу наклона на зависимости
в точке v0. Если характеристика трения в области v0 спадает до-
определяет его знак. Численное значе-
от v
21
статочно круто, то
b
0
( ) 0Fv
()Fv
0
xv
xvv
0
0.
dF
d
+
, и уравнение (20) описывает
систему с «отрицательным трением». Эту ситуацию можно реализовать практически, поскольку характеристика трения для сухих поверхностей может быть представлена функциональной
зависимостью вида, как на рис. 10. Это отражает ситуацию, ко-
гда в начальный момент при малых скоростях наблюдается зависимость
от v, как показано на рис. 10. На этой зависимо-
сти почти всегда проявляется хорошо выраженный участок до-
статочно заметного понижения силы трения. Это приводит
к тому, что в этой области устройство при данных условиях
и будет представлять собой линейную систему с «отрицатель-
ным трением» в области значений скоростей
. Причем
это ограничение является существенным.
Рис. 10. Нелинейная зависимость силы трения от относительной ско-
рости
Это условие отражает наличие фрикционных автоколебаний
(наличие падающего участка) и соответствует неравенству
Важным свойством автоколебаний является независимость
их амплитуды и частоты от начальных условий.
В результате дифференциальное уравнение возмущенного
движения можно преобразовать следующим образом:
22
0
( , ) 0mx F x cx
0 0 0
( , ) ( ) ( ) 0F x F F x
0
n
dA h
A
dt kT
0
1
1
0
( 1)
1
n
n
A
A
n ht
A
kT
. (21)
Здесь перемещение х отсчитывают от невозмущенного уровня,
т. е. от положения равновесия схем на рис. 4 и 9.
В уравнении (21) разность
представляет собой приращение силы трения. Это приращение
силы возникает из-за изменения скорости скольжения. На спа-
дающем участке характеристики эта разность отрицательна
(«отрицательное» демпфирование, способствующее раскачке
колебаний).
Дифференциальное уравнение огибающей график движе-
ния верхней системы (см. рис. 6) с нелинейным внутренним
трением можно представить в следующем виде:
. (22)
Здесь k – коэффициент жесткости системы; Т – период колеба-
ний (приближенно равный периоду свободных колебаний недемпфированной системы). Решить дифференциальное уравне-
ние (22) можно в том случае, если n 1 будет иметь вид
. (23)
Обычно анализ уравнения (23) проводят, основываясь на
различных приближениях.
Первое приближение. В основе этого упрощения лежит
приближение, при котором происходит значительное уменьше-
ние коэффициента трения с ростом коэффициента k жесткости
упругой связи. При таком упрощении в уравнении (3) можно
пренебречь инерционным слагаемым, следовательно, можно пре-
небречь массой системы и перейти к дифференциальному урав-
нению первого порядка:
23
00
( ) ( ) 0F F x kx
cos( ).x A t
0
0
Т
Fxdt
sin( ).x A t
. (24)
Для такого случая закон автоколебаний уже не будет гар-
моническим, т. е. не будет описываться функциями вида sin или
cos. Графически пример таких автоколебаний представлен на
рис. 5, график 3. График системы существенно отличается от
гармонического, и возможны интервалы полного сцепления (отсутствия скольжения, рис. 5), такие автоколебания называют
разрывными (из-за разрывов скорости), или релаксационными.
Второе приближение. В основе этого приближения лежит
следующее предположение. Возможно существование систем
с незначительным уменьшением коэффициента трения при незначительной упругой связи между элементами системы k.
В этом случае для таких систем автоколебания могут принимать
гармонический характер с частотой свободных колебаний той
же системы (но без трения)
Такую систему можно отнести к квазилинейной. Определе-
ние амплитуды в такой квазилинейной системе удобно получить
на основе уравнений энергетического баланса
Выражение (26) характеризует важное свойство системы:
работа силы трения за один цикл колебаний равна нулю.
В уравнение (26) вместо скорости x следует подставить ее
выражение:
Пример 2. Моделирование горизонтальных автоколебаний
тела в режиме движения, близкого к равномерному.
Рассмотрим процессы в модели с автофрикционными ко-
лебаниями (см. рис. 9). Тело массой т соединено пружиной, за-
24
(25)
. (26)
(27)
фиксированной другим концом в неподвижной точке А. Тело
расположено на горизонтальной плоскости ВС. Тело выводится
из состояния покоя и ускоряется при помощи приложенной си-
лы до постоянной скорости в v0 в указанном на рис. 9 направле-
нии. Под действием силы трения и силы натяжения пружины
тело массы т будет находиться в положении неустойчивого
равновесия, поскольку эти силы действуют в противоположных
направлениях. Таким образом, в этом неустойчивом состоянии
в системе возникают горизонтальные колебания.
Осложняющим моментом в этой системе является зависи-
мость силы сухого трения от скорости: сила сухого трения
не является постоянной величиной и уменьшается с увеличением
скорости скольжения (см. рис. 10). В случае малого возмущения
возникнут колебания тела массой m. В этих колебательных движениях сила трения F, всегда имеющая направление v
, не будет
0
постоянной. В результате сила сухого трения будет больше при
движении тела массой m в направлении скорости перемещения v0,
чем при движении тела в противоположном направлении. Следовательно, работа, совершаемая телом под действием силы F, за-
висит от направления движения тела. В первом случае сила совершает положительную работу, а во втором отрицательную.
Таким образом, за полный цикл колебаний в системе будет совершена положительная работа, что приведет к увеличению об-
щей энергии тела массой m и, следовательно, к увеличению ам-
плитуды колебания тела. Явление, описанное в этой модели, отражает автоколебательные процессы, поскольку это согласуется
с определением автоколебаний.
Автоколебания это незатухающие колебания в нелиней-
ной диссипативной системе с нелинейной обратной связью, вид
и свойства которых определяются самой системой и не зависят
от начальных условий. С энергетической точки зрения автоко-
лебания поддерживаются за счѐт энергии непериодического
внешнего воздействия. На примере простейших автоколеба-
тельных систем можно четко выделить четыре необходимых
25
элемента, которые позволяют наглядно продемонстрировать ав-
()
,
2
()
.
2
a
b
M a x
F
a
M a x
F
a
токолебательный процесс при помощи устройства, приведенного на рис. 11.
Рис. 11. Схема устройства, создающего автофрикционные колебания
Модель для изучения автофрикционных колебаний состо-
ит из двух круглых дисков с неглубокими канавками на ободах
и стержня АВ весом M.
Расстояние между осями дисков равно 2а. Диски вращают-
ся с равными угловыми скоростями w в противоположных
направлениях. Прежде чем промоделировать работу устройства,
приведенного на рис. 11, примем следующие допущения. Первое: коэффициенты сухого трения равны в каждой точке сопри-
косновения диска со стержнем АВ. Второе стержень смещен
от среднего положения на расстояние х.
На основе приведенных допущений можно рассчитать си-
лы реакции в точках А и В на стержне при помощи следующих
уравнений:
26
(28)
Для нашей модели соответствующие силы трения равны
( ) .
ab
Mx
F F F
a
.
M Mx
x
ga
0.
g
xx
a
2
0
.
ga
2
2.
a
T
g
Fa и Fb. Здесь коэффициент трения; 2а расстояние меж-
ду осями вращающихся дисков. В результате равнодействующая
горизонтальных сил, действующих на стержень, будет равна:
(29)
Далее уравнение движения стержня может быть записано
в виде
(30)
Это уравнение можно упростить и привести к виду
(30)
Это выражение соответствует уравнению гармонического
осциллятора, описанного ранее в уравнении вида (2). Тогда угловая частота колебаний может быть записана в виде
(31)
Из выражения (31) можно определить период колебаний
(32)
процессов в другом приближении. А именно, коэффициент трения
не является постоянной величиной и зависит от скорости сколь-
жения: с увеличением скорости скольжения уменьшается. Это
приведет к следующему дисбалансу. Диск, вращающийся с угловой скоростью в сторону, противоположную движению стержня,
имеет большую относительную скорость скольжения. Соответ-
Усложним задачу и проведем моделирование колебательных
27
ственно, происходит уменьшение , тогда как при скольжении
2
2
.
a
Tg
стержня по второму диску коэффициент трения будет иметь
большее значение, чем для первого диска. В результате получаем
отклонение значений коэффициентов трения в местах контакта на
первом и втором дисках со стержнем относительно среднего значения . Как следствие, при среднем значении коэффициента тре-
ния в данной системе с соответствующими гармоническими ко-
лебательными движениями, описанными уравнением (31), появляется вторичная дополнительная сила. Эта сила будет действовать
в направлении движения все время.
За счет этой силы механическая энергия вращательного
движения дисков при таком процессе переводится в положительную работу. С течением времени начинает постепенно расти амплитуда колебаний и происходит переход в самовозбуждающееся
состояние.
Приведенная модель показывает проявление законов трения в зависимости от периодов колебаний стержня и от вариа-
ции угловых скоростей дисков.
Используя данные, полученные в результате таких экспериментов, и на основе уравнения (32) можно определить коэф-
фициент трения из уравнения
(33)
Пример 3. Генерирование автоколебаний при помощи ма-
ятника Фроуда.
Маятник Фроуда, названый в честь английского ученого,
представляет собой физический маятник с подвесом, который со-
единен с муфтой 1, одетой на горизонтальный вал 2 (рис. 12).
Фроудом был проведен один из первых экспериментов над самовозбуждающимися механическими колебаниями. Им было уста-
новлено, что при вращении вала колебания качающегося на валу
физического маятника могут не затухать или даже возрастать.
28
Рис. 12. Маятник Фроуда
Маятник подвешен на оси, которая вращается с постоянной угловой скоростью. Между муфтой маятника и вращающей-
ся осью возникает момент силы трения, значение которого зави-
сит от величины скорости вращения муфты маятника относи-
тельно оси.
Меняя угловую скорость вала, можно добиться того, что
в любой момент она начинает иметь значения больше угловой
скорости маятника. Момент сил трения, который действует на
муфту маятника, имеет постоянное направление. В результате
это приводит к тому, что на одном полупериоде колебаний маятник и вал движутся в разные стороны. В этом случае будет
происходить торможение движения. На другом полупериоде колебания, когда маятник и вал движутся в одну сторону, будет
наблюдаться другой процесс. Момент сил трения будет способ-
ствовать движению маятника. Следовательно, во время каждого
цикла колебательного процесса силы трения будут совершать
положительную работу. Маятник Фроуда является хорошим
примером неконсервативной механической системы.
Опишем процессы, происходящие при колебании маятника
Фроуда, с помощью дифференциальных уравнений. Для этого
введем следующие обозначения: угловая скорость вала;
29
угол отклонения маятника от вертикали;
sin .I r mgl M
( ).Mf
( ).I r mgl f
()f
( ) ( ).I r mgl f f
()
0
r f mgl
II
угловая ско-
рость маятника; I средний момент инерции маятника, m масса маятника; l приведенная длина физического маятника; М
момент сил сухого трения (F
) муфты маятника. С учетом
сух.тр
этих обозначений запишем уравнение движения маятника в виде
(34)
В уравнении (34) учтено и сопротивление воздуха. Величина сопротивления воздуха полагается пропорциональной угловой скорости
что F
является функцией от относительной скорости по-
сух.тр
маятника. Здесь используем предположение,
верхностей между вращающимся валом и муфтой маятника, ко-
торый испытывает колебательные движения. Тогда момент силы
трения можно записать в виде следующего выражения:
(35)
В случае малых отклонений маятника из положения рав-
новесия с учетом того, что sin , уравнение (34) можно представить в виде
(36)
Используя стандартную процедуру разложения в ряд
функции
в области значений и ограничиваясь пер-
выми двумя членами разложения ряда, получим выражение
(37)
Постоянный член f(Ω) в уравнении (37) приводит к смещению колебаний маятника из положения равновесия маятни-
ка. С учетом нового положения равновесия маятника (новой
начальной угловой координаты) уравнение движения можно
представить в виде
30
(38)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]