Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проявление автоколебательных процессов. Особенности строения и работы шарикоподшипников. Учебное пособие
.pdf
3. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
0mx bx kx
0
bk
mm
xxx
2
0
2 ;
bk
mm
h
2
0
20x hx
12
0x Ae Be
22
0
20h
ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ
От рассмотренной выше идеальной системы перейдем
к другой идеальной системе с силами терния. В этой системе
будем рассматривать гармонический осциллятор, в котором
действуют силы трения, пропорциональные скорости. Здесь
идеализация заключается в том, что это предположение находится в удовлетворительном согласии с реальными процессами
в колебательной системе при жидком трении или трении о воз-
дух при достаточно малых скоростях. В том случае, когда силы
трения пропорциональны скорости, происходит нарушение линейности осциллятора. Для понимания физики процесса удобно
рассматривать явления в линейных системах.
Уравнение движения в рамках предложенной модели о за-
коне трения можно представить в следующем виде:
где b – коэффициент трения, т. е. сила трения при скорости, равной единице.
Приводим это уравнение к виду
В этом уравнении, обозначая коэффициенты в виде
Решение этого уравнения имеет вид
где 1 и 2 – корни квадратного уравнения:
, (7)
.
, можно привести уравнение (7) к обычному виду:
. (8)
, (9)
. (10)
11
В зависимости от соотношения между параметрами
2
h
2
0
22
0
h
22
0
h
22
0
h
22
0
h
22
0
h
и
, при решении уравнения (10) получают разные корни.
В том случае, когда
ные. При
комплексные.
, корни уравнения (10) действитель-
В соответствии с этим, в зависимости от знака
мы имеем два типа решений и, соответственно, два различных
процесса:
при
при
– затухающий осцилляторный процесс;
– затухающий апериодический процесс.
,
12
4. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
22
0
h
1,2
hj
2 2 2
00
( ), 1hj
( cos sin )
ht
x e A t B t
0
хх
0
0
2
0
0
cos sin ,
cos sin .
ht
ht
x hx
x e x t t
x hx
x e x t t
2
2 2 2
00
0
00
0
0 0 0
cos( ),
,
tg ,
cos , sin .
ht
x Кe t
x hx
K A B x
x hx
B
Ax
x x hx
KK
КАК ОСЦИЛЛЯТОРНЫЙ ПРОЦЕСС
При условии, что силы трения достаточно малы и это от-
вечает условию
, корни характеристического уравнении
(10) можно представить в виде
где
,
(11)
и для общего решения уравнения (8) получаем:
. (12)
Здесь коэффициенты А и В определяются из начальных условий.
В том случае, когда t = 0, х = х0 и
, имеем:
Решение (12) может быть также записано в виде
(13)
13
Подобное уравнение получаем и для скорости:
0
sin( )
ht
x K e t
00
sin , cos .h
()xt
( ) ( ).f t f t
2Т
где
определено следующими соотношениями:
, (14)
(15)
Уравнения (13) и (14) описывают осцилляторный затуха-
ющий процесс. Здесь уменьшение амплитуды колебаний происходит по экспоненциальному закону, который относится к од-
ному из типов затухающего колебательного движения.
Полученные функции x(t) и
не являются периодиче-
скими функциями. Согласно определению, периодическими
функциями называются функции f(t), для которых можно выбрать такое минимальное значение времени , при котором при
любом значении аргумента t выполняется соотношение вида
При выполнении этого условия наименьшая величина
называется периодом функции f(t). В приведенных функциях (13)
и (14) не выполняется условие периодичности для любых значений аргумента t. Поэтому следует использовать промежуток времени, который называют «условным периодом» затухающего осцилляторного процесса. Этот промежуток соответствует времени
между двумя последовательными переходами системы из
одного состояния равновесия в другое. Полученные выражения
свидетельствуют о том, что зависимость смещения колеблющегося тела, как показано на рис. 4, от времени имеет вид, характер-
ный для затухающих колебаний (рис. 5, 6).
Скорость затухания рассматриваемого осцилляторного
процесса может быть охарактеризована величиной h, так называемым показателем затухания. Этот показатель выбирают при
помощи отношения двух последовательных экстремумов,
14
направленных в одну и ту же сторону, например, двух последо-
2
max
max
h
hT
x
ee
x
2 h
d hT
1
d
()x
вательных максимумов:
. (16)
Рис. 6. График затухающих колебаний
Логарифмируя уравнение (16), получают параметр, кото-
рый называют логарифмическим декрементом затухания
. (17)
Здесь обратная величина логарифмического декремента затуха-
ния
характеризует число условных периодов, после которого
амплитуда уменьшается в е раз (е – основание натуральных лога-
рифмов). Полученный в таких приближениях закон затухания ко-
лебаний отражает идеализированный закон трения. А именно: на
основании предположения, что сила трения пропорциональна
скорости смещения системы из положения равновесия
, убы-
15
вание максимумов в этом законе происходит по геометрической
1
d
e
прогрессии с показателем прогрессии
. Все это позволяет кон-
статировать, что полученный таким образом логарифмический
декремент затухания возможен только при таком законе затухания. Если отношение двух последовательных максимумов не является постоянной величиной, то в таком виде логарифмический
декремент затухания не описывает затухающие колебания. Таким
образом, строго параметр логарифмического декремента затухания можно применять только к линейным системам. Графическое
определение логарифмического декремента затухания показано
на рис. 6. А именно: по кривой зависимости максимумов от времени, нанесенной в полулогарифмическом масштабе (вместо отклонений по оси ординат откладываются логарифмы наибольших
отклонений).
Таким образом, показано, что затухающее колебательное
движение может быть адекватно описано четырьмя параметрами:
условного периода колебаний Т (или соответствующей условной
угловой частоты ), логарифмического декремента затухания d,
амплитуды K и фазы α. При этом Т и d определяются свойствами
системы, а K и α – начальными условиями.
16
5. АВТОКОЛЕБАНИЯ И ФРИКЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
0mx bx kx
2
0
2 ;
bk
mm
h
2bm
h
x
2
0 0 0
( ) 0.m x xdt b x dt k x xdt
2
22
0
0
0
( ) ( ) .
22
m kx
x b x dt
Согласно классическим положениям механики, к автоколе-
баниям (или самовозбуждающимся колебаниям) относят незатухающие колебания, которые поддерживаются за счет поступления
энергии от внешних источников. Причем эти внешние источники
энергии не обладают колебательными свойствами. Определяющим моментом является то, что переменная сила, поддерживающая движение системы при автоколебаниях, управляется самим
движением.
Выше были представлены системы с трением, движение
в которых описывалось уравнением вида
. (7)
В этом уравнении коэффициенты представлены в виде
. Коэффициент
является всегда положи-
тельной величиной, поскольку трение всегда препятствует движению и b > 0. Положительное значение коэффициента трения
отражает явление – на преодоление сил трения всегда расходу-
ется энергия. Действительно, если в уравнении движения (7)
умножить все члены на
и затем взять интеграл за некоторый
промежуток времени от 0 до , то получим:
После интегрирования получаем уравнение
(18)
Слева в уравнении (18) стоят члены, выражающие измене-
ние кинетической и потенциальной энергии системы за время от
17
0 до . Сумма кинетической и потенциальной энергии системы
равна изменению полной энергии системы за время от 0 до .
Если коэффициент b > 0, то на основе анализа уравнения (18)
можно сделать следующий вывод: при таком значении коэффициента b изменение полной энергии системы будет отрицательным. Следовательно, полная энергия системы убывает. Таким
образом, из приведенных расчетов видно, что убыль энергии
обусловлена потерями энергии на трение.
В ситуации, когда b, а вместе с тем и h, имели бы отрицательные значения, энергия системы возрастала бы, и тогда «трение» стало бы источником энергии, который поддерживал бы
колебание системы. Очевидно, что в системе, не обладающей
собственным источником энергии, это невозможно, и, поскольку b > 0 и вместе с тем h > 0, трение всегда положительно.
В том случае если система обладает собственным источником
энергии, а это значит, что в предположении h < 0, энергия системы будет возрастать, и «трение» будет этому способствовать.
Таким образом, можно констатировать, что это уже не бу-
дет «трением» в обычном смысле. Здесь необходимо отметить:
т. к. оно характеризуется тем же членом дифференциального
уравнения (7), что и обычное трение, т. е. именно членом, содержащим скорость x, это позволяет нам в случае отрицательного h применять термин «трение», но при этом можно говорить
об «отрицательном трении».
18
6. ПРИМЕРЫ ПРОЯВЛЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ
В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Простейшими примерами являются механические системы,
в которых «трение» в известной области отрицательно (рис. 7–9).
В этих модельных примерах определяющими являются процессы,
характеризующиеся нелинейным характером изменения сухого
трения. В этом случае при таких автоколебаниях скорость скольжения колеблется около среднего значения v0.
Рис. 7. Схема устройства, создающего горизонтальные автоколебания
упруго закрепленного груза, находящегося на движущейся бесконечной ленте
Рис. 8. Схема устройства, создающего вертикальные автоколебания
упруго закрепленного тела 1, прижатого к вращающемуся диску 2
19
Рис. 9. Схема устройства, создающего горизонтальные автоколебания
тела в режиме, близком к равномерному движению:
а начальное состояние; б система выведена из положения равновесия
сжатием пружины; в состояние системы в результате перехода по инерции через состояние равновесия
Рассмотрим более подробно процессы, происходящие
в разных механических системах.
Пример 1. Моделирование автоколебаний закрепленного
груза, находящегося на движущейся бесконечной ленте (рис. 7).
Эта модель представляет собой ленту, движущуюся равномерно
со скоростью v0, на которой лежит тело массой т. Тело массой
т закреплено при помощи двух пружин k1 и k2 (рис. 7). В этом
устройстве создаются горизонтальные автоколебания упруго
закрепленного груза за счет взаимодействия с движущейся бесконечной лентой, и здесь «трение» в известной области отрица-
тельно (рис. 7). Сила трения F, возникающая в результате взаимодействия тела массой т с лентой, зависит от относительной
скорости ленты и тела. Описать действие этой силы F возможно
при помощи достаточно сложной функциональной зависимости
от скорости.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]