Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные проблемы надежности и качества систем. Курс лекций
.pdf
в достижения цели по каждому виду продукции, являются взаимно
зависимыми.
Определение 4. Под вероятностью успешной реализации произ-
водственного задания понимают вероятность достижения некоторой
векторной цели.
Сформулируем две основные группы целей в соответствии с характерными задачами управления производством.
Первая группа: реализация производственной программы по объему каждого вида продукции в заданный срок. Эта группа целей характерна для задач оперативного планирования на относительно длительный срок (до месяца).
Вторая группа: исключить потери, связанные с задержками материального потока (потока изделий). Потери здесь связаны как с недостаточным объемом произведенной продукции (снижением производительности), так и с потерями качества изделий при ожидании в
очереди, если имеет место «горячий поток». Эта группа характерна
для задач оперативного управления на относительно коротком интервале (порядка суток).
В первой группе целей в виде компоненты векторной цели (локальной цели) выступает выполнение объемного задания по отдельному виду продукции. Таких компонентов, как известно, может быть
довольно много.
2.3.2. Понятие отказа в сложной ПС
Как сформулировать отказ в достижении векторной цели? Классическая методика, отраженная в ГОСТе, дает единственную интерпретацию. Если система имеет несколько контролируемых параметров, то отказом называется выход любого из них за заданные
пределы. Это означает, что в качестве показателя надежности системы принимают произведение вероятностей нахождения каждого
из параметров в заданных пределах. Попытка применить указанное
определение отказа к ПС (такие попытки имеются) приводит к тому, что вероятность выполнения всего задания оказывается близкой
к нулю. Это означает неадекватность принятой методики определения отказа реальному функционированию ПС. В реальной ПС ориентируются не на конкретное значение объема по данному виду
продукции, а на некоторый интервал (допуск) по этому объему,
внутри которого не все значения приемлемы с одинаковым «желанием». Размер интервала, а также уровень «желательности» каждо-
41
го его значения оцениваются обычно по интуиции управлявшим
X
XX∈
( )
max 1
A
X
xµ=
персоналом и связаны с опытом коррекции допущенных отклонений. Чем труднее прогнозируемая коррекция, тем менее «желательно» данное отклоненное значение. Опыт работы конкретного предприятия здесь обычно выражается в инструкциях по экономическому стимулированию.
Во второй группе цели также имеют нечеткий характер. Поскольку период управления более короткий, то возможности последующей
коррекции отклонений весьма велики, когда речь идет об отклонении
от заданного объема продукции данного вида. Если же регулируется
значение некоторого технологического параметра (возможно имеющего смысл качества), то нет смысла формулировать цель четко (как,
например, недопустимость значений параметра меньше некоторого
заданного довольно высокого предела). Ведь изделия со значением
параметра несколько ниже предела могут быть вполне кондиционными для использования по другому назначению.
Итак, тактические задачи управления производственным процессом в ПС построены гибко и ориентированы на нечеткие цели, хотя в
формальных документах этого может быть не отражено. Нечеткость
целей принципиальна и является естественной реакцией на стохастичность системы.
2.3.3. Формализация понятия нечеткого отказа
из которых в той или иной мере обладает свойством А. Мера этого
обладания определена как функция μ
доченных пар A = {x, μ
принадлежности. Носителем нечеткого множества А называется та-
кое подмножество
обычным. Нечеткое множество А для удобства обращения с ним
принято нормировать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение:
кон распределения случайной величины. В таких случаях возникает
42
Пусть имеется совокупность некоторых объектов X = {x}, каждый
(x).
A
Определение 5. Нечеткое множество А есть совокупность упоря-
(x)}. Функция μA(x) называется функцией
A
Если μ
, что μA(x) ≥ 0, если
(x) = const на своем носителе, то множество А является
A
.
.
Некоторые функции принадлежности внешне очень похожи на за-
большой соблазн отождествить неопределенность, связанную со слу-
( )
px
( ) ( ) ( )
d.
A
X
pA x px= µ
∫
( )
px
( ) ( ) ( )
d,
A
X
pA xf x x= µ
∫
( )
( )
d
.
d
px
fxx=
чайностью, и неопределенность, связанную с нечеткостью, распространив тем самым на нечеткие множества идеологию и методы теории вероятностей. Но этого делать принципиально нельзя. К тому же
в общем случае функция принадлежности может иметь достаточно
произвольную форму. Подчеркнем, что классики теории нечетких
(расплывчатых) множеств Р. Беллман и Л. Заде предостерегали от
такого смешения понятия. Случайность, как отмечали указанные авторы, связана с неопределенностью, касающейся принадлежности
или не принадлежности некоторого объекта к нерасплывчатому (т. е.
обычному) множеству. Понятие же расплывчатости (или нечетности)
относится к классам, в которых могут иметь место различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и полной не принадлежностью объектов к данному
классу. На основе этих определений Беллман и Заде ввели понятие
нечеткого случайного события.
Пусть X – случайная величина, на множестве значений которой
задана вероятностная мера
лено также нечеткое событие А с функцией принадлежности μ
Тогда вероятность события А равна
, на множестве значений X опреде-
(x).
A
В общем случае это интеграл Стильтьеса–Лебега.
Определение 6. Вероятность нечеткого случайного события А
равна математическому ожиданию функции принадлежности.
Если
где
Понятие нечеткого отказа можно ввести как частный случай нечеткого случайного события. Пусть задан вектор состояний Х и система может находиться в n-м состоянии x
работоспособность системы в этом состоянии определена функцией
принадлежности μ(x
дифференцируема по X, то
), оценивающей близость системы к отказу.
n
(2.10)
, (2.11)
с вероятностью p(xn), а
n
43
Определение 7. Нечетким отказом называется нечеткое случай-
X
( )
n
px
( ) ( )
0
1
N
nn
n
p x px
=
= µ
∑
0
p
xX∈
0
0
( )d
X
p fx x=
∫
0
0
( ).
xX
p px
∈
=
∑
1
0
XX
∪
( )
1Xµ=
0
xX∈
( )
0Xµ=
1
xX∈
ное событие, определенное на носителе
ной меры
и функции принадлежности μA(x).
Тогда вероятность нечеткого отказа p
с помощью вероятност-
вычисляется по формуле,
0
полученной согласно (2.10):
Если множество состояний непрерывно, то
. (2.12)
вычисляется по
формуле (2.11).
Уточним различие понятий обычного и нечеткого отказа. Понятие
обычного отказа вводится следующим образом. На множестве состояний системы X определен векторный параметр Q, в соответствии
со значениями которого множество X разбивается на два подмножества: X
ний нет. Задана также вероятность p(x),
– рабочие состояния и X0 – состояния отказа. Других состоя-
1
любого состояния X
системы, если множество X дискретно. Если множество X непрерывно, задана плотность распределения f(x). Вероятность обычного отказа вычисляется по формулам:
(2.13)
или
(2.14)
Понятие нечеткого отказа подразумевает число различных состояний работоспособности систем большее, чем два. Множество
состояний системы Х разбивается на три подмножества: X
ния полной работоспособности; X
– состояния полного отказа и X1 –
0
– состоя-
1
состояния частичного отказа. Объединение подмножеств
есть носитель нечеткого множества состояний нечеткого отказа. На
множестве Х задается функция принадлежности μ(X):
44
, если
, если
,
,
( )
01X<µ <
1
xX∈
1
X
X
( )
}
{
0
,XXµ
, если
. (2.15)
Из (2.15) видно, что для обычного отказа, где
– пустое множество, формулы (2.11) и (2.12) переходят в (2.13) и (2.14) соответственно. Таким образом, обычный отказ есть частный случай нечеткого
отказа. Любопытно отметить, что в классической терминологии проблем надежности давно существует понятие частичного отказа. Однако оно фигурирует на описательном уровне, не имея количественной меры.
2.3.4. Нечеткий отказ по цели в ПС
Локальная цель ПС может быть формализована следующим обра-
зом. Имеется некоторый контролируемый параметр X
, являющийся
j
случайным в силу свойств системы. Задана его плотность распределения f
значений). Задана функция принадлежности μ
(X) (для каждого параметра заданы вероятности отдельных
j
(x) нечеткого множе-
0
ства «0», элементы которого трактуются как «отказы». Элементы
этого множества формально тождественны соответствующим значениям X
иное значение X
ций принадлежности показаны на рис. 2.4.
. Функция принадлежности определяет, в какой мере то или
j
можно считать отказом. Примеры различных функ-
j
Сплошными линиями показаны функции μ
(j)
(X) и fj(X), пунктир-
0
ными линиями для сравнения функции принадлежности обычного
множества отказов.
На рис. 2.4, а показан случай, когда значение X
меньше некоторого предела X
1
. На рис. 2.4, б, наоборот: значение Xj
j
не должно превышать некоторого предела X
j
не должно быть
j
2
. Случай, показанный
на рис. 2.4, в, есть объединение первых двух случаев.
Определение 8. Нечеткой локальной целью называется множест-
во пар {X
(j)
, μ
(X)}, где функция принадлежности μ
j
0
(j)
(X) имеет смысл
0
степени приближения к достижению j-й цели (1 – цель достигнута,
0 – цель не достигнута).
Обозначим через
рого являются X
j.
вектор размерности N, компонентами кото-
Определение 9. Нечеткой векторной целью назовем множество
пар
, где функция принадлежности μ0 вычисляется как
45
взвешенная сумма функций принадлежности μ
i
g
( )
( )
( )
0
1
N
i
C ii
i
X gX
=
µ=µ
∑
( )
Xϕ
()()d,
CC
B
p X XX=µϕ
∫
X
fi,µ
fi(Xi)
µ
(i)
(Xi)
X
2
i
X
i
fi,µi
fi(Xi)
µ
0
(i)
(Xi)
X
1
X
i
эффициентами
:
(j)
(X) с весовыми ко-
0
Если
ных X
есть совместная плотность распределения перемен-
(i = 1, N), a dx – элементарный объем в пространстве значе-
i
. (2.16)
ний аргументов, то аналогично (2.16) можно записать выражение для
вероятности нечеткого отказа по векторной цели:
(2.17)
где В – область значений
надлежности μ
(X).
0
, на которой определена функция при-
i
а
i
46
0
б
Рис. 2.4. Виды функций принадлежности (начало)
3
3
() ()
,
()
p
i
Vi V i
X
Vi
−
=
fi,µ
i
fi(Xi)
µ
0
(i)
(Xi)
X
1
i
X
2
i
X
i
в
Рис. 2.4. Виды функций принадлежности (окончание)
2.3.5. Методика вычисления показателей надежности
управления ПС
В качестве показателя надежности в задаче месячного календарного планирования примем вероятность нечеткого отказа реализации
месячного задания на производство. Задание состоит в том, что нужно произвести изделия N различных типов. Для каждого i-го типа (i =
1, N) задан предельный момент t
лий должно быть закончено в полном заданном объеме V
n
(i), к которому производство изде-
(i). Время
3
измеряется в сутках. Таким образом, в первой группе целей выполнение задания по i-му типу изделия рассматривается как i-я цель. В
качестве i-го параметра рассмотрим величину
(i) – реальный объем продукции i-го типа на момент tn(i).
где V
р
(2.18)
В общем случае вследствие стохастичности процесса производства управляющий орган вынужден допускать положительные значения X
штрафные санкции. Таким образом, налицо нечеткий отказ с функцией принадлежности μ
(т. е. недовыпуск), накладывая в этом случае определенные
i
(i)
(Xi).
0
Будем считать, что в нашем распоряжении имеется имитационная
модель ПС, пригодная для вычисления соответствующих статистических оценок. Если при одних и тех же исходных данных провести
47
L экспериментов на модели, в каждом l-м из них реализуется значе-
() ()
0
o
1
( ) ( ).
N
li
ii
l
i
X gX
=
µ=µ
∑
()
1
0
1
1
( ).
L
l
l
PX
L
=
= µ
∑
ние μ
(i)
(Xi) по каждому из N типов изделий.
0l
Тогда в соответствии с (2.16) реализованное в l-м эксперименте
значение функции принадлежности нечеткого отказа по первой
группе целей равно
(2.19)
Оценивая математическое ожидание функции принадлежности
(т. е. вероятность нечеткого отказа), усредним ее значением по L экспериментам, получим оценку вероятности нечеткого отказа по первой группе целей:
(2.20)
Вычислим теперь вероятность нечеткого отказа по второй группе
целей, т. е. нечеткого отказа по уровню некоторого технологического
параметра. Предположим, что изделие i-го типа имеет некоторый
технологический параметр θ
, значение которого определяет уровень
i
качества изделия, причем уменьшение этого параметра соответствует
понижению качества. Однако изделие со сниженным качеством в
принципе может быть использовано в дальнейшем производстве, т. е.
нецелесообразно определить четкую границу параметра θ
, ниже ко-
i
торой фиксируется отказ. Таким образом, для описания надежности
наиболее адекватным является нечеткий отказ, функция принадлежности которого μ
ческого содержания параметра θ
(i)
(θi) может быть определена из конкретного физи-
0
и технологических инструкций на
i
обработку.
Очевидно, что для каждой j-й группы изделий (j = 1, J), имеющей
параметр θ
ввести одинаковую функцию принадлежности μ
, меняющийся сходным образом для всей группы, можно
j
0
(j)
(θj).
Предположим теперь, что в каждом из L экспериментов на модели
(l = 1, L) в ПС проходят обработку n
дого k-го (k = 1, n
) из них реализуется значение μ
j
изделий j-й группы и для каж-
j
(j)
(θj) функции
0lk
принадлежности.
Вычислим в соответствии с (2.16) значение функции принадлежности в l-м эксперименте по j-й группе изделий, приняв весовые ко-
48
эффициенты равными
1/jn
() ()
00
1
1
() ().
j
n
jj
jj
l lk
j
kn=
µ θ= µ θ
∑
() ( )
0
0
1
( ) ( ).
J
lj
jj
l
j
g
=
µ θ= µ θ
∑
()
2
0
1
1
( ).
L
l
l
p
L
=
= µθ
∑
, поскольку изделия одной группы следу-
ет считать одинаково важными:
(2.21)
Тогда, используя (2.16), запишем реализованное в l -ом эксперименте значение функции принадлежности нечеткого отказа ПС:
(2.22)
Оценивая математическое ожидание функции принадлежности ее
средним арифметическим по L экспериментам, получаем:
(2.23)
Таким образом, получена оценка вероятности нечеткого отказа по
второй группе целей.
2.3.6. Примеры вычисления функций принадлежности
для реального производства
На первый взгляд заводского работника совершенно парадоксально звучит формулировка «нечеткая цель» или «размытый» норматив.
Но замечательно то, что имеется известный прецедент именно такого
возникшего стихийно подхода к решению задач управления. Это
премиальные системы. Ни одна из них не построена по принципу
«да-нет», а отражает созданное в процессе практики отображение
функции принадлежности нечеткого множества отказов. Действительно, тяжесть наказания соответствует определенной мере недовыполнения задания, т. е. нечеткому отказу.
Покажем, как по данным премиальной системы вычислить функцию принадлежности. Возьмем для примера премиальную систему
сталеплавильного производства Карагандинского металлургического
комбината.
Нечеткий отказ состоит в определенном проценте ΔV недовыпуска плавок. Графики функций, показывающих процент лишения премии в мартеновском D
(ΔV) и конвертерном Dk(ΔV) цехах за недо-
m
49
выпуск ΔV в срок определенного процента годного металла, можно
о
()0,16()0,84().
mk
DV D V DV∆= ∆+ ∆
∆V, %
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
μo 0 0 0 0 0 0 0,04
0,08
0,12
0,37
0,37
0,58
0,79
0,79
1,0
0
0,
0,24 0,04
()
1,08 0,13
1,
V
−+
µ∆ =
−+
6
0 8,5
3,5 15
15
V
V
V
V
∆≤
<∆ ≤
<∆ ≤
∆>
100
50
∆V, %
6 9 15
изобразить в виде отрезков прямых (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Графическое изображение премиальной системы КарМК для
сталеплавительных цехов
Судя по виду графиков, недовыпуск 6 % в мартеновском цехе и
9 % в конвертерном цехе являются восполнимыми с учетом страховых запасов. Учитывая, что в общем потоке металла мартеновский
цех дает примерно 16% плавок, вычислим общий средний процент
D
(ΔV) лишения премии:
о
Примем D
(ΔV) за ненормированную функцию принадлежности
o
нечеткого отказа и нормируем ее. Результаты расчетов приведены в
табл. 2.1. Нормированная функция принадлежности μ
делением D
(ΔV) на D
о
= 100 %.
max
Результаты расчета функции μ
Полученную функцию принадлежности целесообразно сгладить и
аппроксимировать выражением:
50
(2.24)
(ΔV) получена
0
Таблица 2.1
(ΔV)
о
,
(2.25)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]