Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные проблемы надежности и качества систем. Курс лекций
.pdf
В и наоборот. Взаимное влияние элементов и в этом случае можно
интерпретировать как обратную связь по состоянию. Пусть теперь
входы элементов А и В различны, а выходы соединены (т. е. элементы А и В получают изделия из разных источников и выдают на один
и тот же последующий элемент). Если последующий элемент имеет
ограниченную промежуточную емкость, то ясно, что вариации потока изделий элемента А будут влиять на состояния элемента В и наоборот. Значит и здесь присутствует эффект обратной связи по состоянию. Если соединены и входы и выходы элементов А и В, естественно, эффект обратной связи усиливается. Следует отметить при
этом, что обратная связь является дестабилизирующей, т. е. по известной терминологии управления – положительной.
2.1.3. Эффект положительных обратных связей
Наличие положительных обратных связей приводит к усилению
стохастичности системы, порождаемой первоначально слабыми
флюктуациями интервалов операций по обработке изделий.
Кроме указанных типов выше, существует еще один вид обратной
связи, характерный для дискретного (в частности, металлургического) производства. До сих пор предполагалось, что время хранения
изделия в промежуточной емкости не ограничено. Это характерно,
например, для механического производства.
В таком производстве, как металлургическое существует «горячий поток». Последний термин можно употреблять для любого производства, где изделие теряет некоторое качество, ожидая в очереди
на обработку. Потерю этого качества можно компенсировать при последующей обработке за счет увеличения времени операций и определенных материальных затрат.
Практика показывает, что оперативное управление такими ПС
происходит в более напряженной обстановке. Это свидетельствует о
дополнительной неустойчивости процесса. Задача минимизации потерь качества делает необходимым введение ограничений на время
нахождения изделий в промежуточных емкостях, что еще больше
обостряет напряженную ситуацию.
Какова бы ни была величина указанных выше потерь качества,
они, как правило, ведут к увеличению продолжительности последующих технологических операций и, следовательно, к еще большим
задержкам в предыдущих промежуточных емкостях. Таким образом,
налицо эффект положительной обратной связи. Назовем ее обратной
31
связью по потерям. Все рассмотренные виды обратных связей являются дестабилизирующими.
Замечание. Влияние обратной связи по состоянию можно умень-
шить, увеличив промежуточные емкости. В противоположность этому, обратная связь по потерям не может быть уменьшена подобным
образом.
Проблема исследования надежности ПС включает, как и для любой системы, два аспекта.
Первый аспект – оценка функциональной надежности ПС, касающаяся поддержания ПС в работоспособном состоянии. Надежность здесь, как и раньше, оценивается коэффициентом готовности
K
, который при желании позволяет вычислить среднее время, в те-
г
чение которого ПС способна производить продукцию, и интервалом
безотказной работы.
Второй аспект – оценка надежности решения системой ее задачи,
т. е. надежность достижения цели в интервале времени, на который
было рассчитано оперативное управление. Именно в этом смысле
можно говорить о надежности оперативного управления.
Определение 2. Надежность ПС можно охарактеризовать вероят-
ностью p
сти K
, которая является произведением коэффициента готовно-
с
на показатели функциональной надежности pф и надежности
г
оперативного управления. Последний может быть представлен условной вероятностью p
успешной реализации производственного
у
задания при условии абсолютной функциональной надежности и
фиксированном управлении, обеспечивающем максимум р
:
у
p
= Kгpфpу. (2.1)
c
Замечание. Коэффициент готовности ПС имеет несколько иной
смысл, чем в технической системе. Готовность связана не только с
исправностью оборудования, но и с запасами полуфабрикатов. В задачах оперативного управления на коротких интервалах часто можно
принять р
тия K
= 1. В задачах управления на больших интервалах поня-
ф
и рф теряют смысл и требуется уточнить показатель надежно-
г
сти в соответствии с задачей.
32
2.2. Функциональная надежность простой ПС
C1
C
C2
C
S
1
S
2
SN ≡ S
с однородным потоком продукции
2.2.1. Структура системы и понятие отказа
Рассмотрим ПС, представляющие собой последовательную технологическую цепочку, предназначенную для производства однородной продукции. Однородность будем понимать в смысле стационарности распределения интервалов операций по обработке. В частном случае это может быть продукция одного вида, где интервал
операции над одним изделием варьируется случайным образом, или
это может быть равномерная смесь нескольких потоков разного вида.
Даже если сам интервал операции имеет небольшую дисперсию,
нужно учитывать, что в него включается также время транспортировки, которое может иметь существенную дисперсию в зависимости
от нагрузки транспортных средств.
Заметим, что ПС отличается от других видов технических систем
тем, что имеет в своем составе два типа элементов: 1) предметы тру-
да и 2) орудия труда. Предметы труда не функционируют в обычном
смысле слова и даже могут очень слабо влиять на надежность орудий
труда. Однако надежность системы зависит от резерва как орудий
труда, так и предметов, т. е. от наполнения промежуточных емко-
стей, которые будем называть складами С. Орудиями труда будут
служить агрегатные узлы А, которые могут состоять из одного или
нескольких агрегатов с определенной последовательностью обработки, часть из которых находится в резерве. Схема системы со связями
по потоку продукции изображена на рис. 2.1. Верхний индекс – но-
мер соответствующего агрегатного узла или склада. Через S
n
обозначена n-я подсистема (n = 1,N), выделение которой связано с методом
расчета показателя надежности.
1
A
Рис. 2.1. Структура простой ПС с однородной продукцией
2
A
N
N
A
33
Объем n-го склада (n = 1, N) ограничен и равен Mn. Это не отно-
1
s
p
C
n
m
n
α
n
β
сится к входному складу С
1
и выходному С
N+1
Агрегатный узел, находясь в исправном состоянии, имеет произ-
n
водительность R
тервалы между изделиями распределены по экспоненциальному закону, т. е. имеем пуассоновский поток изделий с плотностью R
. Для дальнейших выводов предположим, что ин-
n
. Это
позволяет применить аналитическую модель надежности. Полученные оценки показателей надежности верны приближенно и для других законов распределения. Это можно показать имитационным моделированием.
Обозначим через p
регатного узла или, что-то же самое, его коэффициент готовности.
Соответственно через p
n
вероятность исправного состояния n-го аг-
1
n
= 1 – p
0
n
обозначим вероятность неис-
1
правного состояния. Отказ узла состоит в том, что он не выпускает
продукцию.
Определение 3. Функциональным отказом системы называется
отсутствие продукции на выходе агрегата А
функциональной надежности принимается вероятность
на выходе системы (или, что то же самое, на выходе агрегата А
N
. В качестве показателя
того, что
N
имеется продукция.
2.2.2. Динамическая модель состояния склада
)
Пусть значения p
бов в зависимости от структуры агрегатного узла А
ясно, что любой А
не пуст. Но это не единственное условие. Для выпуска продукции
узлом А
n
необходимо также, чтобы склад С
n
вычислены каким-либо из известных спосо-
1
n
способен выпускать продукцию, если склад Сn
n+1
n
. Совершенно
не был переполнен.
В противном случае выпуск должен быть приостановлен. Для
оценки вероятности этих событий рассмотрим переход состояний
склада. На склад С
потребляет то, что находится в С
n
склада С
, при котором в нем имеется m изделий. Обозначив вероятность этого события через q
полнения склада С
n
поступает продукция от узла А
n
. Обозначим через
n
. Обозначим через
n
, а через
m
– поток потребления из него. То-
n+1
, а узел Аn
состояние
поток на-
гда схему перехода состояний можно изобразить как представлено
на рис. 2.2.
34
n
α
n
β
0
10
d
,
d
n
nn nn
q
qq
t
=β −α
1
2 1 01
d
,
d
n
nn nn nn nn
q
q q qq
t
=β−α+α−β
11
d
,
d
n
nn nn nn nn
m
m mm m
q
q qq q
t
+−
=β −α +α −β
1
d
.
d
n
nn
n
nn nn
M
MM
q
qq
t
−
=α −β
1
n
m
m
q =
∑
10
;
n
nn
n
qq
α
=
β
2
20
;
n
nn
n
qq
α
=
β
0
;
n
n
m
n
nn
n
m
qq
α
=
β
( )
00
2
1
,, .
1 ...
n
n nn n
M
nn n
nn n
q qM= = αβ
αα α
+ + ++
ββ β
C
0
n
C
n
C
n
C
n
C
n
n
M
α
n
α
n
αn α
n
βn βn β
n
β
n
1
Рис. 2.2. Схема состояний склада
2
m
Предположим, что поток наполнения склада и поток потребления
и
из него также пуассоновские, a
соответственно их плотно-
сти. Тогда в соответствии с рис. 2.2 можно записать следующие
уравнения Колмогорова:
(2.2)
Из уравнений, соответствующих стационарному режиму (все
производные слева равны нулю), и уравнения
следует:
…,
(2.3)
35
Опустив верхний индекс n получим:
0
1
1
.
1
Mq+
α
−
β
=
α
−
β
1
n
S
p
11n
S
p
−
1
1
1
.
n
n nS
Rp
−
−
α=
1n
C
−
1
nA−
n
C
n
A
α
n
β
n
S
n–1
S
n
(2.4)
2.2.3. Вычисление показателя функциональной
надежности
Представим схему производственной системы (см. рис. 2.1) в виде
вложенных друг в друга подсистем: S
Заметим, что подсистема S
n
S
начинается складом С1 и заканчивается агрегатным узлом
n
А
.Обозначим через
n
выпускается продукция. Изобразим соответствующий фраг-
мы S
N
вероятность того, что на выходе подсисте-
1
, S2, …, Sn, …, SN.
тожественна всей системе S. Система
мент системы (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Фрагмент системы
Поток αn имеет плотность R
n–1
, когда подсистема S
n–1
выпускает
продукцию. Вероятность этого события (выпуск продукции) равна в
принятых обозначениях
. Следовательно, αn есть математиче-
ское ожидание плотности наполняющего потока:
(2.5)
36
Поток βn существует и плотность его равна Rn, когда работает узел
1
.
n nn
Rpβ=
11n
S
p
−
( )
( )
1
1 1 1 1 1 1 11
10 1
1 ,, ; .
S
p p q M Rp= − αβ β=
2
1
( )
( )
2
2 2 22 2
10
1 ,, ;
S
pp q= − αβΜ
11
22 222
11
;.
S
Rp Rpα= β=
( )
( )
11 1 0
1 ,, ;
N
S S N n nn n
pp p q M≡ = − αβ
1
11
;.
n
nnS nnn
Rp Rpα= β=
1
n
S
p
11n
S
p
−
n
А
. Вероятность этого события равна p
n
. Следовательно, βn есть ма-
1
тематическое ожидание плотности потребляемого потока:
Замечание 1. При вычислении
n–1
склады C
и Сn не переполняются. Чтобы это предположение было
верно, считаем объемы складов достаточно большими.
Строго говоря, при пуассоновских потоках R
(2.6)
и βn предполагается, что
n–1
и Rn потоки αn и βn
не будут пуассоновскими, так как имеются случайные вариации
плотности.
Однако будем считать их приближенно пуассоновскими. Это тем
более верно, чем меньше интервал восстановления агрегатного узла
по сравнению с интервалом безотказной работы. Во всяком случае,
суммарная погрешность вывода может быть оценена на имитационной модели.
Тогда подсистема S
1
А
исправен, склад С1 не пуст и склад С2 не переполнен. Но вероят-
1
выпускает продукцию, если агрегатный узел
ность последнего события считаем равной единице. Тогда имеем:
Точно также для подсистемы S
2
вероятность
(2.7)
S
есть произведе-
p
ние вероятностей аналогичных событий:
Продолжив эту последовательность до конца, будем иметь:
Замечание 2. Для того чтобы вычислить очередное значение
n
нужно знать α
и βn. Но αn вычисляется через
(2.8)
,
(2.9)
. Значит, для вы-
37
числения
1
n
S
p
1
1
S
p
1
n
0
n
n
M
n
nn
n
M
qq
α
=
β
0
n
q
n
n
M
q
1An−
( )
(
)
(
)
( )
1
1 1 11
11 0
1 , , 1 ,, ,
n
n
S n n nn n n nn n
M
pp q q M
−
− − −−
= − αβ Μ − αβ
1
1
1
n
nSn
pR
−
−
α=
11n
S
p
−
n
α
n
β
, нужна рекуррентная процедура. Однако значение α1
пока не определено.
Здесь существуют два варианта, имеющиеся в практике. Первый –
1
C
есть склад-источник настолько большой емкости, что q
1
= p
. Второй – имеется постоянный поток R0 на склад С1. Тогда
1
= R0. Теперь вычисление всех q
α
реполняются, т. е. все M
полнения склада M
1
Замечание 3. При выводе
n
n
настолько велики, что вероятность пере-
n
(αn, βn, Mn) полностью определено.
0
S
предполагалось, что склады не пе-
p
1
0
= 0 и
пренебрежимо мало по сравнению с
. Для этого, по крайней мере,
необходимо иметь значения интенсивности потоков α
2.2.4. О практическом применении модели
функциональной надежности простой ПС
S
Величина p
может быть использована для практических задач.
1
Например, если рассматривается производство на интервале (0, Т), то
математическое ожидание объема выпуска будет равно R
Если требуется учитывать ограничение объема складов, т. е. величина
ности потоков α
регатный узел
не слишком мала, нужно включить ее в вычисление плот-
n
n–1
и β
, учитывая, что с указанной вероятностью аг-
должен останавливаться.
Тогда
где
Это означает, что значение
.
нужно искать как корень трансцендентного уравнения. Не говоря об аналитических трудностях, в
этом случае возникает сомнение в том, что потоки
считать пуассоновскими, т. е. в справедливости всего вывода. В та-
38
n
≤ βn.
и
n
T p
S
.
1
(2.9)
можно
ких случаях гораздо проще построить имитационную модель и ре-
n
n
M
q ≤δ
1
S
p
шить указанные проблемы методами статистического анализа.
Имеет смысл постановка следующей оптимизационной задачи:
при заданных M
n
найти такие Rn, чтобы вероятность p
S
была макси-
1
мальной. Для корректности задачи следует ввести ограничение:
.
Сравним понятие функциональной надежности в технической и
производственной системах. Напомним, что в технической системе
показателем функциональной надежности является произведение
коэффициента готовности на вероятность безотказной работы, вычисляемой по закону распределения интервала, оставшегося до отказа. Если бы мы попытались вычислить коэффициент готовности рассмотренной ПС как произведение коэффициентов готовности агрегатных узлов (склады всегда исправны), то получили бы довольно
маленькое число, не отвечающее реальному представлению о работоспособности системы. Совершенно ясно, что представление надежности ПС без учета движения предметов труда ошибочно. Таким
образом, смысл коэффициента готовности ПС в данном случае имеет
вероятность выпуска продукции на выходе системы. Значение же
вероятности безотказной работы следует формально принять равным
единице, так как прерывание выпуска не означает отказ в смысле
выполнения задачи. Таким образом, значение
, рассматриваемое
как коэффициент готовности ПС, определяет математическое ожидание реального ресурса времени.
2.3. Модель надежности сложной ПС
2.3.1. Характеристика целей сложной ПС
Всякая техническая система построена для достижения определенной цели. Но в простых системах целенаправленность не всегда
явно выражена. В таких системах понятия надежности функционирования и достижения цели могут совпадать. Для сложных систем
следует разделять понятия надежности функционирования и достижения цели.
Целенаправленность ПС всегда сформулирована достаточно ясно,
даже если системa простая. Для нее на любом отрезке времени функционирования всегда имеется плановое задание, выполнение которо-
39
го и является наиболее общей целью для любой ПС. В простейшем
случае однородной продукции достижение цели определяется по
трем основным параметрам: время, количество, качество. Экономические показатели, характеризующие затраты на производство, прибыль от реализации продукции и т.д., выступают в качестве критериев оптимальности функционирования ПС. Определенные виды потребления ресурсов (например, энергии, материалов) могут быть
сформулированы в виде ограничения при выборе оптимальных режимов функционирования. При рассмотрении достаточно длинного
интервала санкционирования ограничения могут быть наложены
также на производную количества продукции (примером является
известное требование ритмичности).
Вообще говоря, время производства, количество продукции и
пределы изменения качественных параметров также является ограничениями. Тогда можно определить цель ПС как выполнение в процессе функционирования некоторой системы ограничений.
Сложная ПС является многоцелевой по своей природе. Степень
достижения той или иной компоненты цели обычно связывают с некоторым показателем эффективности. Эти показатели, как правило,
противоречивы в том смысле, что отсутствует их согласованное изменение в том или ином направлении. Такая ситуация является следствием того, что сложная ПС представляет собой комплекс подсистем, более или менее автономных. Являясь элементами единого производственного организма, подсистемы, естественно, должны согласовывать свое поведение, что в определенной степени ограничивает
автономию. Однако полное ограничение автономии подсистем привело бы к распаду системы, так как управление стало бы невозможным вследствие резкого увеличения потока информации в управляющий орган, имеющий всегда физическое ограничение на объем
памяти. Получив относительную автономию, каждая подсистема
должна самостоятельно (в некоторых пределах) формулировать свое
поведение. Последнее же невозможно без формулирования собственной цели. Это и приводит к тому, что всякая сложная ПС является
многоцелевой.
Даже в простейшем случае ПС с однородной продукцией цель
бывает векторной. Компоненты цели есть события, происходящие на
рассматриваемом интервале функционирования ПС и состоящие в
выполнении указанных выше ограничений. В сложной ПС с разнородной продукцией число компонент-вектора цели возрастает в соответствии с числом видов продукции. При этом события, состоящие
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]