Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практический курс математического и компьютерного моделирования. Учебно-практическое пособие
.pdf
IV. Задания
−
=
ε
τ
τ
Рис. IV.14
где
m — масса лекарственного препарата, k
— константа ско-
1
рости поступления препарата в камеру.
Масса лекарственного препарата в месте введения в начальный момент времени равна
ный момент препарата нет. Масса
m
, а в самой камере в началь-
0
m
лекарственного препара-
1
та в камере меняется в соответствии с уравнением
где
k
— константа выведения препарата из камеры.
el
&
,
mkmkm
111
el
Как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения
отрезок времени
T, по истечении которого в месте введения
, засекается
уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится
m
новая доза
.
0
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
, k
, k
параметры модели:
, m0, T, ε.
1
el
. Входные
Литература: [19].
IV.2.22. Система «поршень — газ»
В вертикальной трубке, закрытой с нижнего конца и заполненной идеальным газом, может ходить без трения поршень массой
поршнем и дном трубки равно
ния трубки равна
сферное давление
m. В положении равновесия расстояние между
L
. Площадь поперечного сече-
0
S, на поршень действует нормальное атмо-
p
. В начальный момент времени поршень
0
141
Математическое и компьютерное моделирование
+
τ
отклоняют от положения равновесия на расстоя-
x
, после чего он начинает совершать коле-
ние
0
бания, описываемые следующими уравнениями
(рис. IV.15):
Spmg
&&
+
xm
&&
x
xL
где
g — ускорение свободного падения.
0
L
0
g
0
p
px
,0если,0
≠=
0
,0если,0
==+
0
Сделать графическую анимированную иллю-
страцию модели, подобрав подходящий масштаб
Рис. IV.15 времени
L
, τ, p0.
0
. Входные параметры модели: S, m, x0,
IV.2.23. Колебания струны
Гибкая упругая тонкая струна длины
новесия расположена вдоль оси X между точками
L в положении рав-
x = 0 и x = L.
При выводе струны из положения равновесия каждая ее точка
x в момент времени t смещается перпендикулярно оси X на
величину
u(x,t).
Колебания струны описываются уравнением
где
a — константа, зависящая от материала, из которого сде-
2
a
=
2
x
∂
,
2
t
∂
2
2
u
u
∂
∂
лана струна. Начальные условия
u
=
∂
xfxu
t
∂
t
=
)(),()0,(
xg
=
0
задают форму струны после выхода из положения равновесия
и скорость струны при «отпускании». Граничные условия:
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0.
142
IV. Задания
τ
τ
=
τ
τ
Построить графическую анимированную иллюстрацию
модели, подобрав подходящий масштаб времени
параметры:
a, L, f(x), g(x),
. Рассмотреть случаи: 1) f(x) = 0,
. Входные
g(x) = 0; 2) f(x) = sin 3x, g(x) = 0 и еще 2–3 варианта по своему
выбору.
Литература: [23, с.188–190].
IV.2.24. Маятник с цилиндром
Система состоит из материальной точки массы
m, подве-
шенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса
r. Длина свисающей в положении равновесия части нити
равна
L.
Движение системы описывается уравнением (рис. IV.16)
2
где
g — ускорение свободного
&&&
,0sin)(
=+++ xgxrxxrl
падения. Начальные условия:
&
= xxx
0
.0)0(,)0(
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели,
подобрав подходящий масштаб
времени
L, r,
. Входные параметры:
, x0.
Рис. IV.16
Литература: [16, с. 104].
IV.2.25. Жидкость в сосуде
Жидкость занимает часть сосуда
ставляющего собой изогнутую трубку радиуса
кости
M, ее плотность r. Стенки сосуда считаем идеально
U-образной формы, пред-
a. Масса жид-
гладкими, поверхностным натяжением пренебрегаем. После
143
Математическое и компьютерное моделирование
τ
α
+
τ
τ
того как жидкость выведена из
состояния равновесия, ее движение описывается уравнением
(рис. IV.17)
2
π
g — ускорение свободного
где
падения,
h = (h1 – h
&&&
)/2.
2
Сделать графическую ани-
мированную иллюстрацию мо
Рис. IV.17
дели, подобрав подходящий масштаб времени
h
параметрами модели являются:
, a, τ, r.
0
. Входными
Литература: [1, с.48–49].
IV.2.26. Задача И.Е. Жуковского
Балка длины
2L, вес которой
сосредоточен в середине и равен
P, упирается концами в идеально
гладкие стену и пол, образуя с последним угол
. По балке бегает
животное, вес которого равен
Найти, как должно двигаться животное, чтобы балка не падала. Ответ дается уравнением (рис. IV.18)
Рис. IV.18
)2(
&&
s
где
g — ускорение свободного падения.
gs
sin2
L
&
+−=
vsss
==
gqP
,
αα
sin2
q
,)0(,)0(
00
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
параметры:
L, P, q, s,
, v0, α.
. Входные
,0)0()0(,
==−= hhghrahM
q.
144
Литература: [16, с.152–153].
γ
τ
IV.2.27. Модель колец Сатурна
Модель колец
Сатурна описывает движение точечной массы
m в
поле тяготения,
созданном материальным кольцом с
радиусом
R и ли-
нейной плотностью
s. Кольцо
считается бесконечно тонким.
Рис. IV.19
Уравнение движения точечной массы
(рис. IV.19):
&&
Mr−−=
γ
r
,
2/322
Rr
)(
IV. Задания
m вдоль оси r
M = 2πRs — полная масса кольца,
где
Начальные условия:
r(0) = r
, =)0(r
0
— постоянная тяготения.
&
v
.
0
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
параметрами модели являются:
R, s, r
, τ, v0.
0
. Входными
Литература: [1].
IV.2.28. Маятник на свободной подвеске
Система состоит из двух точечных масс
ных невесомым жестким стержнем длины
m
, m2, соединен-
1
L. Движение проис-
145
Математическое и компьютерное моделирование
α
α
=++
τ
++=
ходит в плоскости, причем точка
подвески с массой
m
не за-
1
креплена и может свободно перемещаться вдоль оси X. Уравнение
движения в координатах
=
a(t) дается системой уравнений
Lmxmm
221
2
αα
Lm
=
2
g — ускорение свободного па-
где
;)sin(
&&&&
−=+
gaLx
x = x(t), a
&&&&
)cos()(
,sin)cos(
αα
дения.
Рис. IV.20
Начальные условия:
,)0(,)0(
xx
x
==
αα
00
&&
α
.0)0(,0)0(
==
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели,
подобрав подходящий масштаб времени
L, m
ры модели:
, m2, α, τ, x0.
1
. Входные парамет-
Литература: [1, с. 105].
IV.2.29. Система итерирующих функций
Система итерирующих функций (IFS, Iterated Function Sys-
tem) является совокупностью аффинных преобразований, задающихся линейными уравнениями
,
cbyaxx
+
1
1
+
причем если коэффициенты
nnn
,
feydxy
++=
nnn
a, b, c, d, e, f выбираются на каж-
дой итерации случайным образом, с определенными вероятностями, то такую систему называют
Random Iterated Function
146
IV. Задания
a
b
System (RIFS). При помощи RIFS моделируются изображения
различных природных живых растительных форм. Впервые
такой подход к моделированию применил М. Барнсли
(M. Barnsley). Им же была решена обратная задача об определениии набора преобразований для наперед заданной формы
— «теорема коллажа».
Написать программу для построения изображений, применяя
RIFS. Требуется использовать
большое количество итераций (не
менее 20000), начальную
точку
выбрать случайным образом, величины коэффициентов
a, b, c, d, e,
f и вероятности их выбора p долж-
ны храниться во внешнем файле.
Входные параметры: тексто-
вый файл, содержащий значения
a, b, c, d, e, f, p. Предусмотреть
возможность редактирования в
программе входного файла и сохранения изображения в виде
графического файла. Классический пример (рис. IV.21), который
можно использовать в качестве
Рис. IV.21
тестового, — лист папортника —
получается при следующих значениях величин:
0,00 0,20 –0,15 0,75
0,00 –0,26 0,28 0,04
c 0,00 0,23 0,26 -0,04
d 0,16 0,22 0,24 0,85
e 0,00 0,00 0,00 0,00
f 0,00 1,60 0,44 1,60
p 0,1 0,08 0,08 0,74
Литература: [8—11].
147
Математическое и компьютерное моделирование
+
=
IV.2.30. Фракталы
Фракталом называют геометрическую фигуру, которая
может быть разбита на части, каждая из которых (по крайней
мере, приблизительно) является уменьшенной копией целого.
Понятие фрактала было впервые сформулировано французским математиком Б. Мандельбротом (B. Mandelbrot).
Фракталы применяются при моделировании таких объектов,
как облака, горы, системы кровеносных сосудов, турбулентный водный поток, различные биологические формы и
т. п.
Характерной особенностью фракталов является необычайная
сложность и «самоподобность» их геометрической структуры
при относительно простых аналитических правилах задания
фрактального множества.
Написать программу для генерации изображений фракта-
лов, которые определяются как множество точек
c комплекс-
ной плоскости, не уходящих в бесконечность при итерациях
,)(
czpz
3
4
где
a
, (i = 1, …, 4) — вещественны. При этом нужно будет решить
i
)( +++= , величины zk, c комплексные,
3
4
2
1
+
2
kkkk 1
zazazazazp
kk
следующие задачи:
1) оценить границы фрактального множества;
2) определить критические точки множества, решив урав-
нение 0)('
3) фрактал строится расчетом для всех точек
найденных границах, начиная с точки z
кой-либо критической точкой, при
=zp ;
c, лежащих в
, совпадающей с ка-
0
k = 0, …, N, где N — боль-
шое число (чем оно больше, тем четче будет видна структура
фрактала). Если при некотором
k точка z
выходит за границы
k
множества, то счет прекращается и точка окрашивается в зависимости от количества сделанных итераций (цвета можно
устанавливать по своему усмотрению), в противном случае ее
цвет — черный, она принадлежит фракталу.
148
IV. Задания
Конечно, речь идет только о построении приближения к
фрактальному множеству — тем более точному, чем больше
делается итераций.
Рассмотрим пример, который можно использовать в качестве тестового, —
2
z . Нетрудно показать, что в этом случае:
k
1) ;2||
≤c
множество Мандельброта. Для него p(z
) =
k
2) (0, 0) — критическая точка (в данном случае она един-
ственна);
3) множество Мандельброта имеет вид, как показано на
рисунке IV.22 (здесь число итераций
N = 100).
Рис. IV.22
Входные параметры модели: ai (i = 1, …, 4), N. Предусмотреть возможность масштабирования изображения фрактала,
увеличения выделенных пользователем частей картинки, получения координат всех его точек, сохранения по
строенных изображений в графическом файле. Расчеты оптимизировать, используя для этих целей свойства симметрии
фракталов.
Литература: [8; 9; 11].
149
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое модели-
рование. М., 1997.
2.
Латышев К.С., Зенкин В.И. Уравнения математической
физики и математическое моделирование. Калининград, 2003.
3.
Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.
М., 1974.
4.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977.
5.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М., 1978.
Клоткин Г.А., Черкасский В.С. Компьютерное модели-
6.
рование физических процессов с использованием MATLAB.
Новосибирск, 2001.
7.
Мациевский С.В. Математическая культура. Игры. Кали-
нинград, 2003.
8. http://spanky.triumf.ca/www/fractint
9.
Barnsley M. Fractals Everywhere. Academic Press, 1988.
10.
Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., 1986.
11.
Дж. Глейк. Хаос. Создание новой науки. СПб., 2001.
12.
Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические билли-
арды. М., 1990.
13.
Prusinkiewicz P., Hanan J. Lindenmayer Systems, Fractals,
and Plants. Springer-Verlag; New York, 1989.
14.
Галиулин А.С. Аналитическая динамика. М., 1989.
15.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977.
16.
Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М., 1987.
17.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математиче-
ской физики. М., 1972.
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные
18.
дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М., 1986.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]