Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практический курс математического и компьютерного моделирования. Учебно-практическое пособие
.pdf
IV. Задания
τ
∂
τ
τ
где t — время, g — ускорение свободного падения.
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
. Входными параметрами моде-
ли являются: w, R, L, x
, τ.
0
Рис. IV.5
IV.2.8. Морская волна
Пусть функция u(x,t) задает профиль волны в момент времени t. Тогда уравнение распространения волны имеет вид
(рис. IV.6):
Функции u
u
∂
−
t
∂
(x) (возмущение в начальный момент времени) и
0
u
uc
x
∂
,)0,(,0)(
uxu
==
0
c(u) — «скорость распространения» возмущения волны — заданы.
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели,
подобрав подходящий масштаб времени
. Входные параметры:
, u0(x), c(u) (подобрать 2–3 варианта таких функций, необходи-
мо выполнение условия: c'(u) > 0). Для каждого варианта определять временной момент t
«опрокидывания» (рис. IV.6) волны.
В
Рис. IV.6
Литература: [18, c. 189; 15, c. 23–31].
131
Математическое и компьютерное моделирование
τ
IV.2.9. Волки и медведи
Имеются две биологические популяции — волки и медведи (численностью N и M соответственно). Их развитие описывается системой уравнений
&
&
−=
MM
−=
NN
где положительные правильные дроби e
прироста и g
, gN — «коэффициенты прожорливости» соот-
M
)),,((
NMFgeMM
)),,((
NMFgeNN
,)0(,)0(
NNMM
==
00
, eN — коэффициенты
M
ветствующих популяций. F(M,N) — количество пищи, поедаемой обеими популяциями в единицу времени, задается
одним из двух соотношений
,),(
qNpMNMF
+=
qNNMF
=
,),(
здесь p, q — некоторые положительные константы. Первое
соотношение соответствует случаю, когда обе популяции активны, а второе — когда медведи впадают в спячку. Переключение между режимами происходит автоматически, причем
переход с режима 2 на 1 совершается через 3 месяца, а с 1 на
2 — через 9 месяцев.
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели (графики зависимости M
ходящий масштаб времени
M
, N0, eM, eN, gM, gN, p, q, τ.
0
, N от времени), подобрав под-
. Входные параметры модели:
Литература: [19, с. 436–437].
IV.2.10. Удар
Дана система из груза массой m, связанного с невесомой,
жесткой, упруго закрепленной балкой длины 2L. Один конец
балки закреплен на шарнире, расположенном на неподвижной
132
IV. Задания
τ
опоре. Балка опирается на пружину, жесткость которой равна
. В начальный момент времени t = 0 происходит вертикаль-
c
0
ный удар по грузу с величиной мгновенного импульса S. После
этого колебания системы (рис. IV.7) описываются уравнением
0
&&&&
xxxcxm ===+
S
2
mL
,
)0(,0)0(,04
Рис. IV.7
где x — угол отклонения системы от положения равновесия.
Если угол x становится больше предельного значения x
= S/(c
mL)
0
1/2
, то происходит
разрушение системы. Построить графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб
времени
Входные параметры модели: L, m, c
.
, S, τ.
0
Литература: [19, с. 428–430].
IV.2.11. Три точечные массы
Три точечные массы m закреплены на струне так, что расстояния между ними и от крайних масс до закрепленных концов струны равны L. В начальный момент времени все массы
находятся в состоянии равновесия, а средней массе сообщает-
max
133
Математическое и компьютерное моделирование
4
=−+
τ
ся скорость v0. Пусть x1(t), x2(t),x3(t) — отклонения масс от положения равновесия, тогда движение системы (рис. IV.8) описывается системой уравнений:
&&
&&
xx
=
,13
,0)2(
xxkx
211
,0)2(
xxxkx
=−−+
3122
где k = P/(mL), P — константа, зависящая от материала струны.
Начальные условия: x
= 0,
i
&
x
= 0,
1
&
x
= 0,
3
&
x
2
= v0.
Рис. IV.8
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
m, v
параметры:
, L, P, τ.
0
Литература: [20].
IV.2.12. Модель сердца
Деятельность сердца протекает в виде периодически повторяющихся циклов.
В каждом цикле происходит наполнение
сердца и изгнание крови из него. В целом
процессы развития давления и изгнания
крови обозначаются термином «систола»,
а процессы снижения давления и наполнения желудочков — термином «диасто-
Рис. IV.9
ла». Общая длительность цикла при час-
. Входные
13
IV. Задания
5
ε
ε
тоте 75 сокращений в минуту составляет около 0,8 с, при этом
на долю систолы приходится 0,3 с, а диастолы — 0,5 с. Модель сердцебиения, впервые предложенная Е. Зееманом (E.
Zeeman), включает две основные переменные —
x, b. Первая
соответствует длине мышечных волокон сердца, а вторая —
электрохимической активности. Для диастолы (момент полного расслабления сердца)
сжатия сердца)
x = x
x = x
, b = b0, для систолы (момент
0
, b = b1. Уравнения модели (рис. IV.9)
1
3
&
ε
&
;
bTxxx
−+−=
),(
xxuxxb
−+−=
100
T — параметр упругости,
где
щий от масштаба времени,
При
b0 ≤ b ≤ b
(
x3 – Tx + b) > 0, параметр u = 1. Если b > b
имеем
u = 1. В противном случае u = 0.
и таких x, что выполнено условие
1
— малый параметр, завися-
u — управляющий параметр.
, то для любых x
1
Построить графическую анимированную иллюстрацию
модели. Входные параметры:
x0, b0, b1,T,
. Изобразить вывод
кардиограммы (зависимость b от времени).
IV.2.13. Мяч в ящике
Шар массы
рон которого равна
ном под углом
m, находящийся в ящике (длина каждой из сто-
L), наклонен-
c к горизонтали,
падает под действие силы тяжести, отражаясь от стенок ящика
до тех пор, пока не остановится.
Коэффициент восстановления
0 <
k < 1, зависит от материала
шара. При прямом ударе (при
падении под углом 90
v — скорость до удара, u —
где
о
) k = v/u,
k,
cкорость после удара. При не-
Рис. IV.10
13
Математическое и компьютерное моделирование
6
τ
τ
α
τ
τ
прямом ударе k = tg a/tgb, где a, b — соответственно углы падения и отражения, отсчитываемые от нормали. Построить
графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав
подходящий масштаб времени
Входные параметры:
L, c, k,
(рис. IV. 10).
, x
, y
— координаты на-
0
0
чального положения шара.
Литература: [21, с. 575].
IV.2.14. Маятник на наклонной
плоскости
Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки, висящей на нерастяжимой
нити длины
данному закону
L, движется по за-
S = S(t) по на-
клонной плоскости, образую-
Рис. IV.11
щей угол
ния (рис. IV.11):
2
&&
&&
&
,0)0(,)0(
==
xxx
0
. Уравнение движе-
,0sin)cos(
=+−−
xgLaxLSLx
где
g — ускорение свободного падения.
Построить графическую анимированную иллюстрацию
модели, подобрав подходящий масштаб времени
L,
параметры:
2
S(t)= t
, S(t) = t3.
, S(t), α, x0. Рассмотреть, в частности, случаи:
. Входные
Литература: [16].
IV.2.15. Маятник на нити
Механическая система представляет собой материальную
точку
P, подвешенную на изменяющейся по заданному закону
13
IV. Задания
7
τ
τ
τ
нити длины L = L(t). Переменную координату точки P зададим
как угол ее отклонения от вертикали
x = x(t), где t — время.
Уравнение движения
&
где
g — ускорение свободного падения.
&&&
&
,0)0(,)0(,0sin22
===++ xxxxgLLLxxL
0
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
случаи:
S(t) = sin(kt), S(t) = kt
2
. Входные параметры: k, L, x0, τ.
. Рассмотреть
Литература: [16].
IV.2.16. Рычаг на диске
К диску радиуса
R, вра-
щающемуся с постоянной угловой скоростью
w, шарнирно
присоединен рычаг, несущий на
концах массы
m
, m2. Рас-
1
стояния масс от шарнира равны, соответственно,
L
1
, L2.
Массой рычага пренебрегаем.
Уравнение движения и
Рис. IV.12
начальные условия для данной модели следующие (рис.
IV.12):
2
22
11
&
xxx
0
22
&&
.0)0(,)0(
==
2211
,0)cos()()(
=−−−+
wtxxLmLmRwxLmLm
Сделать графическую анимированную иллюстрацию модели, подобрав подходящий масштаб времени
параметры:
m1, m2, L1, L2, w,
, x0.
. Входные
Литература: [16].
13
Математическое и компьютерное моделирование
×
τ
τ
IV.2.17. Модель системы «хищник — жертва»
Остров размером 40
(начальное количество которых равно
число равно
V) и волчицами (их начальное количество — W).
30 клеток заселен дикими кроликами
K), волками (их начальное
Каждое животное может передвигаться из клетки в клетку.
Кролики в каждый момент времени с одинаковой вероятностью
1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов или
сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0,2 превращается в двух кроликов. Волчицы передвигаются случайным
образом до тех пор, пока в одном
из соседних восьми квадратов
не окажется кролик. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и получает одно очко, в
противном случае она теряет 0,1 очка за каждую единицу времени. Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают.
В начальный момент времени все волки и волчицы
имеют 1
очко. Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; в этом случае, если
волчица находится в одном из восьми ближайших квадратов,
волк гонится за ней. Если волк и волчица окажутся в одном
квадрате, они производят потомство случайного пола.
Построить графическую анимированную
модели, подобрав подходящий масштаб времени
иллюстрацию
. Преду-
смотреть возможность начальной расстановки пользователем
животных при помощи мыши. В программе реализовать возможность сохранения результатов работы в специальном текстовом файле. Входные параметры модели:
K, V, W,
.
Литература: [37].
IV.2.18. Модель движения Земли и Луны
вокруг Солнца
Эксцентриситет орбиты Земли равен 0,017. Например, Земля
проходила точку
перигелия, ближайшую к Солнцу, в 1998 г. 4 янва-
138
IV. Задания
ря в 21 час 15 минут 1 секунду всемирного времени (UT). При этом
ее расстояние от Солнца составляло 147 099 552 км. Противоположную точку орбиты,
афелий, Земля проходила 3 июля 1998 г. в 23
часа 50 минут 11 секунд всемирного времени UT. При этом Земля
была от Солнца на расстоянии 152 095 605 км. Ось вращения Земли
отклонена от оси орбиты на угол, равный примерно 23,5
о
.
Масса Луны составляет около 0,0123 земной, ее диаметр
примерно равен 3 500 км. Расстояние от Земли до Луны равно
в среднем 380 000 км. Продолжительность интервала времени,
в течение которого Луна совершает полный оборот вокруг
Земли, если смотреть с Солнца, равен 29,5306 суток («синодический месяц»). Все другие нужные для построения модели
числовые величины указаны в
таблице к заданию IV.2.6.
Построить графическую анимированную иллюстрацию
модели движения Земли и Луны вокруг Солнца. Использовать
законы Кеплера. При движении должна выводиться дата, реально соответствующая положению Земли и Луны, и текущее
расстояние от Земли до Солнца.
Входные параметры: дата, модельное время одного года (т.
е.
время, за которое Земля на модели будет делать один полный оборот вокруг Солнца). Масштабы расстояний соблюдать не нужно.
Литература: [16, с. 104–112].
IV.2.19. Цилиндры
Цилиндр радиуса r катится без скольжения под действием
только силы тяжести по внутренней поверхности неподвижного цилиндра радиуса
R. Уравнение движения (рис. IV.13)
2
g
&&
+
x
)(3
−
rR
&
xx
,0sin
=
x
,0)0(,0)0(
==
где
g — ускорение сво-
бодного падения.
Сделать графическую
Рис. IV.13
анимированную иллюст-
139
Математическое и компьютерное моделирование
τ
τ
τ
−
=
рацию модели, подобрав подходящий масштаб времени τ.
Входные параметры:
r, R,
, x0.
Литература: [21, с. 564–565].
IV.2.20. Распространение тепла
Распространение тепла в металлическом стержне длины
L,
который нагревается с одного конца, описывается уравнением
теплопроводности
2
T
∂
∂
k
T(x, t) — температура в точке x в момент времени t, k —
где
=
tT∂
∂
,
2
x
константа, зависящая от материала, из которого изготовлен
стержень.
Начальная температура стержня
0, L]. Температура на левом нагреваемом конце стержня T(0,
[
= T1.
t)
T(x,0) = T
, для всех x из
0
Построить графическую анимированную иллюстрацию
модели, подобрав подходящий масштаб времени
. Процесс
нагревания стержня иллюстрировать цветными областями от
синей (самая холодная область) до красной и желто-белой (самая горячая). Выводить в цвете также температурную шкалу.
Входными параметрами модели являются:
T0, T1, k,
.
Литература: [1, с. 72–73].
IV.2.21. Фармакокинетическая модель
Камера содержит некоторый объем жидкости, неизменный
в течение всего времени. Заданный объем лекарственного препарата всасывается в камеру пропорционально своей массе
согласно уравнению (рис. IV.14)
&
,1mkm
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]