Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка качества материалов. Учебное пособие
.pdf
a
Изображение по отношению к
3
4
4
3
a
=
V
Элементы симметрии кристаллических многогранников.
Симметрия форм кристаллов отражает симметрию их физических
свойств, в первую очередь симметрию скоростей роста.
Элементы симметрии конечных фигур и их обозначения на
Название
2
a
π⋅
4
3
%.%
74100
=⋅
cтереографической проекции
Обозначение
Таблица 5
плоскости чертежа
символ
по формуле
международный
Плоскость симметрии m P
Центр симметрии
Поворотная ось
1
n Ln
С
симметрии:
двойная 2 L
тройная 3 L
четверная 4 L
шестерная 6 L
Инверсионная ось
n
Ln = Lni
симметрии:
тройная
четверная
шестерная
41
L3 = L
3
L4 = L
4
L6 = L
6
симметрии
перпендику-
параллельное
лярное
2
3
4
6
3i
4i
6i
Симметричной фигурой (симметричным многогранником)
называется фигура, которая может совместиться сама с собой в
результате симметричных преобразований.
Отражения и вращения, приводящие многогранник в
совмещение с самим собой, называются преобразованиями
симметрии, или симметричными операциями.
Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых
осуществляются эти отражения и вращения, называются элементами
симметрии.
Плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии –
характерные элементы симметрии кристаллических многогранников.
Плоскость симметрии – плоскость, которая делит фигуру на две
части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его
зеркальное отражение, как правая и левая руки (рис.15).
Рис. 15. Примеры плоскостей
симметрии. Сплошными линиями
показаны следы плоскостей
симметрии, перпендикулярных
плоскости чертежа
Например, в кубе можно насчитать девять плоскостей
симметрии (рис.16): три плоскости взаимно перпендикулярны, они
делят пополам противоположные ребра куба как координатные
плоскости прямоугольной системы координат, а шесть плоскостей
42
проходят по диагоналям граней куба. Все девять плоскостей
симметрии куба пересекаются в одной точке в центре.
Плоскости симметрии располагаются в симметричной фигуре
строго определенно, и все пересекаются друг с другом.
У шара – бесконечное число плоскостей симметрии; они
проходят через диаметры и пересекаются в центре шара. Через
плоский равносторонний треугольник проходят три плоскости
симметрии, пересекающиеся в одной точке и перпендикулярные
плоскости самого треугольника. У неравностороннего треугольника
нет ни одной плоскости симметрии.
Рис. 16. Плоскости симметрии куба и их стереографические
проекции: а – три координатные плоскости симметрии;
б, в – шесть диагональных плоскостей симметрии
Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг
которой на некоторый определенный угол фигура совмещается сама с
собой. Порядок оси симметрии n показывает, сколько раз фигура
совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. У куба
есть три оси 4-го порядка (4, L4), к
оторые проходят через центры
противоположных граней, четыре оси 3-го порядка (3, L3),
являющиеся пространственными диагоналями куба, и шесть осей 2-го
порядка (2, L2), п
43
роходящих через середины пар противоположных
ребер (рис.17). Соответственно углы поворота для них 2n/4, 2n/3, 2n/2.
Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке в центре куба.
Рис. 17. Некоторые из осей симметрии куба и их
стереографические проекции
Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства) –
особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая
прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые
(соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных
расстояниях. Симметричное преобразование в центре симметрии – это
зеркальное отражение в точке: каждая точка фигуры отражается в
центре так, что фигура как бы поворачивается при этом «с лица
наизнанку». Обратная параллельность прямых – характерное свойство
фигур, обладающих центром симметрии.
В природе и в произведениях искусства можно найти примеры
осей симметрии различного порядка; так, у пятиконечной звезды есть
ось симметрии 5-го порядка (L5); у ром
ашки или подсолнуха ось
симметрии n-го порядка (Ln), где n – число лепестков цветка. У
кругового конуса есть одна ось симметрии бесконечного порядка ∞
(L∞), через нее проходит бесконечное число плоскостей симметрии. У
шара имеется бесконечное число осей симметрии бесконечного
порядка: каждый диаметр шара является такой осью. В свою очередь
через каждый диаметр шара проходит бесконечное число плоскостей
симметрии.
Формально можно говорить и об оси симметрии 1-го порядка:
любая фигура, даже несимметричная, совместится рама с собой при
полном обороте вокруг любой оси, проходящей через эту фигуру.
44
В кристаллах возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6. В
кристаллах невозможны оси симметрии 5-го порядка и порядка,
большего, чем 6. Это ограничение обусловлено тем, что
кристаллическое вещество – бесконечная система материальных
частиц, симметрично повторяющихся в пространстве. Такие
симметричные бесконечные ряды, сетки, решетки, непрерывно
заполняющие пространство, несовместимы с осями 5, 7 и других
порядков.
У куба есть три оси 4 (3L4), четыре оси 3 (4L3), шесть осей 2
(6L2). Ось 4 выходит в центре грани куба, там же пересекаются
четыре плоскости симметрии 4m (L44P). Разместим на такой грани
равносторонний треугольник. У самого треугольника есть ось 3 (L3) и
вдоль нее три плоскости симметрии 3m (L33P).
Таблица 6
Характерные элементы симметрии
Сингония
Триклинная Центр симметрии
Моноклинная Ось 2
Ромбическая Три оси 2
Тригональная Ось 3
Тетрагональная Ось 4
Гексагональная Ось 6
Кубическая Четыре оси 3
Пример.
Определите тип сингонии по формулам симметрии: С, L2PC,
L66L2, 3L44L36L29PC.
Последовательность решения задачи
Тип сингонии определяется по таблице 6, в которой приведены
характерные элементы симметрии. Таким образом, получим: C –
триклинная, L2PC – м
оноклинная, L66L2 – гексагональная,
3L44L36L29PC – кубическая.
Характерная
симметрия
45
Формы кристаллов. Простой формой кристалла называется
многогранник, все грани которого можно получить из одной грани с
помощью преобразований симметрии, свойственных точечной группе
симметрии данного кристалла. Для всех граней простой формы
скорости роста одинаковы. Все грани идеальной простой формы
кристаллографически равны.
Рис. 18. Простые формы высшей категории
46
В каждом классе симметрии может быть одна общая форма и
несколько частных форм. Одна и та же простая форма может
встретиться в нескольких классах симметрии; например, куб – частная
простая форма для всех классов кубической сингонии.
Всего существует 47 простых форм кристаллов. Для кристаллов
низшей и средней категории возможны 22 простые формы. Моноэдр –
форма, состоящая всего из одной грани (рис.19а). Пинакоид (рис.19б)
состоит из двух параллельных граней. Диэдр (рис.19в,г) состоит из
двух граней. Различают диэдр осевой (сфеноид), в котором две грани
пересекаются друг с другом по оси симметрии 2-го порядка, идиэдр
плоскостной (дома), в котором две грани связаны между собой
плоскостью симметрии.
Рис. 19. Простые формы низшей категории и их сечения: а – моноэдр;
б – пинакоид; г – диэдр осевой (сфеноид); в – диэдр плоскостной
(дома); д – ромбическая призма; е – ромбический тетраэдр; ж –
ромбическая пирамида; з – ромбическая дипирамида
Следующие формы – пирамиды, призмы, дипирамиды и
дипризмы (рис.20) – различаются по сингониям в зависимости от
порядка оси и формы сечения, перпендикулярного главной оси:
тригональные – в сечении равносторонний треугольник (тригон),
47
тетрагональные – в сечении квадрат (тетрагон), гексагональные – в
сечении правильный шестиугольник (гексагон).
У призм грани пересекаются по ребрам, параллельным главной
оси, у пирамид – по ребрам, сходящимся в одной точке на главной
оси.
Рис. 20. Призмы, пирамиды и дипирамиды средней категории (верхний
ряд – их сечения): а – тригональная; б – дитригональная;
в – тетрагональная; г – дитетрагональная; д – гексагональная;
е – дигексагональная
48
В планальных классах симметрии, в которых кроме главной оси
есть еще и плоскости, проходящие вдоль этой оси, возможны также
дипризмы и дипирамиды: каждая грань призмы или пирамиды
удвоена, сечения, нормальные к главной оси, представляют собой
дитригон, дитетрагон и дигексагон (см. рис.20). Удвоение сторон
здесь не повышает симметрию многоугольника: шесть сторон
дитригона связаны между собой не осью 6, а осью 3; то же можно
сказать о дитетрагоне и дигексагоне: углы у них равны друг другу, но
не соседние, а чередующиеся через один. Соответственно получаются
дитригональные, дитетрагональные и дигексагональные призмы и
пирамиды.
В высшей категории все простые формы закрытые. Основные из
них – куб (гексаэдр), октаэдр, тетраэдр. Остальные простые формы
кубической сингонии можно получить из основных, удваивая,
утраивая, учетверяя и даже ушестеряя число граней (рис.18).
«Надстраивая» на гранях тетраэдра по три треугольника,
четырехугольника, пятиугольника, получаем тригонтритетраэдр,
тетрагонтритетраэдр, пентагонтритетраэдр. Еще одна форма –
гексатетраэдр – получается, если надстроить на каждой грани
тетраэдра по шесть треугольников. Аналогично из октаэдра получают
тригонтриоктаэдр (по три треугольника на каждой грани октаэдра),
тетрагонтриоктаэдр (по три четырехугольника), пентагонтриоктаэдр
(по три пятиугольника) и 48-гранник, или гексаоктаэдр (по шесть
треугольников на каждой грани октаэдра). Пентагонтритетраэдры и
пентагонтриоктаэдры могут быть правыми и левыми. Надстраивая на
гранях куба правильные четырехскатные крыши, получаем
пирамидальный куб (тетрагексаэдр). Притупляя ребра куба гранями,
одинаково наклоненными к координатным осям, получаем
ромбический додекаэдр, 12 граней которого имеют форму ромбов.
Надстраивая на гранях куба двухскатные «крыши», получаем
пентагондодекаэдр, 12 граней которого имеют форму пятиугольников.
Наконец, удваивая каждую грань пентагондодекаэдра, получаем
дидодекаэдр.
Различные сочетания простых форм дают причудливое
многообразие природных форм кристаллов.
49
Пример 1.
Сколько граней у моноэдра, пинакоида, дитригональной
пирамиды и гексагональной дипирамиды?
Последовательность решения задачи
Используется кристаллографическая терминология
(приложение). Моноэдр – одна грань, пинакоид – две грани,
дитригональная пирамида – семь граней, гексагональная дипирамида –
двенадцать граней.
Пример 2.
Сколько граней у кристалла, если известно, что у него 8 вершин
и 12 ребер?
Последовательность решения задачи
Для расчета используется уравнение Эйлера
у = r + 2, (34)
h +
где h – количество граней; y – количество вершин; r – количество
ребер.
Получим
h = -у + r + 2 = -8 + 12 + 2 = 6.
Определение символов направлений. Символ ребра простой
формы определяется так же, как символ направления в решетке.
Пример 1.
Определить символ направления, проходящего через начало
координат О и точку с координатами (а/8, 3b/8, 5с/8).
Последовательность решения задачи
Целочисленные значения отношений координат
1/8 : 3/8 : 5/8 = 1 : 3 : 5.
Это соответствует переносу заданной точки вдоль заданного
направления в ближайший к началу координат узел кристаллической
решетки с координатами (1,3,5). Символ заданного направления [135].
Пример 2.
Определить символ направления, проходящего через точки А (0,
b/
2, с/2) и В (а/2, 0, с/2).
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]